BZOJ.1443.[JSOI2009]游戏Game(二分图博弈匈牙利)

\(Description\)

一个\(N*M\)的有障碍的棋盘，先手放置棋子后，从后手开始轮流移动棋子，不能走重复的位置，不能移动的输。求在哪些位置放棋子是先手必胜的。

\(Solution\)

依旧先黑白染色，移动棋子对应一个匹配。

那么原图有两种情况：

一是存在完美匹配：那么无论先手选哪个点开始，假设是S集合某点，那么后手沿匹配边走，先手要么沿匹配边再走到S集合某点，要么没法走。即先手必败；

二是不存在完美匹配：

1.先手从最大匹配点开始，好像胜负情况都有，先不考虑；

2.先手从非最大匹配点开始，后手只能走到一个最大匹配点（若能走到非匹配点则又是一个匹配，与最大匹配矛盾），然后先手再走匹配边，发现后手只能走匹配边。

因为当前点如果存在非匹配边，则与起点那个非匹配点又形成了一条增广路，与最大匹配矛盾。

那这又成了情况一了，即后手必败。

即如果起点是非最大匹配点则必胜。起点只要在某种最大匹配下不是最大匹配点就满足。

再看情况二的1，如果起点可以不是最大匹配点，则先手必胜。否则先手必败，和情况二的2的结论一样。

现在问题是判断有哪些点不一定在最大匹配中。首先跑一遍最大匹配，未匹配的点肯定是。

然后这些未匹配点\(x\)可以替换掉邻接点\(v\)的一条匹配边，即\(match[v]\)也可以不在最大匹配中（原先的匹配边\(v\rightarrow match[v]\)替换为\(v\rightarrow x\)）。

对未匹配点DFS一遍就可以了。

复杂度在于匹配，\(O(n^2)\)？

刚想起来最大匹配要拆点。。或者黑白染色？也不用拆点或者染色，每个点向四周都连边即可。

不拆点要注意match[]/lk[]这个数组对两边的集合都要给它赋值，匹配（bool OK()）的时候保证它之前没有匹配。。

做题前已经忘了最大匹配长什么样了...

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#include <cstdio>

#include <cctype>

#include <algorithm>

//#define gc() getchar()

#define MAXIN 350000

#define gc() (SS==TT&&(TT=(SS=IN)+fread(IN,1,MAXIN,stdin),SS==TT)?EOF:*SS++)

#define ID(i,j) ((i-1)*m+j)

#define Ck(i,j) (mp[i][j]&&1<=(i)&&(i)<=n&&1<=(j)&&(j)<=m)

const int N=10005,M=N<<2;

int n,m,vis[N],Time,Enum,H[N],nxt[M],to[M],lk[N],q[N];

bool mp[105][105],ok[N];

char IN[MAXIN],*SS=IN,*TT=IN;

inline int read()

{

	int now=0;register char c=gc();

	for(;!isdigit(c);c=gc());

	for(;isdigit(c);now=now*10+c-'0',c=gc());

	return now;

}

#define AE(u,v) to[++Enum]=v,nxt[Enum]=H[u],H[u]=Enum,to[++Enum]=u,nxt[Enum]=H[v],H[v]=Enum

bool OK(int x)

{

	vis[x]=Time;

	for(int i=H[x],v; i; i=nxt[i])

		if(vis[v=to[i]]!=Time)

		{

			vis[v]=Time;

			if(!lk[v]||OK(lk[v])) return lk[v]=x,lk[x]=v;//两个都有啊

		}

	return 0;

}

void DFS(int x)

{

	ok[x]=1;

	for(int i=H[x]; i; i=nxt[i])

		if(lk[to[i]] && !ok[lk[to[i]]]/*vis[lk[to[i]]]!=Time*/) DFS(lk[to[i]]);

}

int main()

{

	n=read(), m=read();

	for(int i=1; i<=n; ++i)

	{

		register char c=gc();

		for(; c!='.'&&c!='#'; c=gc());

		for(int j=1; j<=m; ++j,c=gc()) mp[i][j]=c=='.';

	}

	int t=0;

	for(int i=1,tot=0; i<=n; ++i)

		for(int j=1; j<=m; ++j)

			if(++tot,mp[i][j])

			{

				if(mp[i+1][j]/*i+1<=n*/) AE(tot,tot+m);

				if(mp[i][j+1]) AE(tot,tot+1);

			}

	for(int i=1,tot=0; i<=n; ++i)

		for(int j=1; j<=m; ++j)

			if((++tot,mp[i][j]) && !lk[tot]/*!*/ && (++Time,!OK(tot)))

				q[++t]=tot;

	if(!t) return puts("LOSE"),0;

	puts("WIN");

	for(int i=1; i<=t; ++i) DFS(q[i]);

	for(int i=1,tot=0; i<=n; ++i)

		for(int j=1; j<=m; ++j)

			if(ok[++tot]) printf("%d %d\n",i,j);

	return 0;

}