Tarjan 强连通分量 及 双联通分量(求割点,割边)
Tarjan 强连通分量 及 双联通分量(求割点,割边)
众所周知,Tarjan的三大算法分别为
(1) 有向图的强联通分量
(2) 无向图的双联通分量(求割点,桥)
(3) 最近公共祖先
今天主要给未来的自己讲解一下前两个应用,让未来的自己不会向现在的自己一样又忘了Tarjan怎么写。熟悉DFS的话,理解起来会简单很多。
(1) 有向图的强联通分量
首先解释Tarjan中几个比较重要的值
DFN[i] : 节点i被访问到的次序
LOW[i]: 节点i的子孙节点能够追溯到的次序最早的祖先节点
Stack[i]: 存储强连通分量
VIS[i] : VIS[i] = 1 则节点在栈中,否则不在
DFN[i] == 0 时,很明显,就是该点没有被访问过
DFN[i]==LOW[i], 切换成中文,意思就是节点i被访问到的次序,是他的子孙节点中能够追溯到的最早次序,换句话说,i和i的子孙节点(并非所有子孙节点,而是所有进栈的子孙节点)构成了一个强连通分量。
接下来就是重头戏了。让我们开始DFS。
(1) Tarjan开始,对于节点u
有DFN[u] = LOW[u] = ++deep
因为第u个点第一次被访问到的时候还没有访问其子节点
把u加入栈中(将来用于回溯)并且打上VIS标记
(2) 对于u的每一条边,所访问到的v节点
如果v节点没有被访问过,那就直接回到第一步
回溯结束后(对于没有子节点的节点,可以见得它的LOW 就等于它的 DFN)
LOW[u] = min(LOW[u],LOW[v])
因为LOW[u] 要取到u的所有子节点中最小的LOW[v]值
如果v节点已经在栈中了,
直接LOW[u] = min(LOW[u],LOW[v])
同理,此时已构成环
如果v节点被访问到,且v节点不在栈中了
证明v已经出栈,不可与u点构成强联通分量
(3) DFN[i]==LOW[i]
当我们回溯到底i个点发现它满足上述条件的话,证明该点和子孙节点能够构成强联通分量。且i是最早入栈的(LOW的定义),这时候只需要退栈到栈顶不是i点就OK了。
附上一份代码,
模板Tarjan POJ 2186
写一次就明白了
const int maxn = 150000;
struct Edge
{
int from,to,next;
}edge[maxn];
int head[maxn],DFN[maxn],low[maxn];
int Stack[maxn],vis[maxn],color[maxn],deg[maxn];
int deep,top,k,tol;
void init()
{
k = tol = top = deep = 0;
CLR(head,-1);
CLR(DFN,0);
CLR(low,0);
CLR(color,0);
CLR(Stack,0);
CLR(vis,0);
CLR(deg,0);
}
void addedge(int u,int v)
{
edge[tol].from = u;
edge[tol].to = v;
edge[tol].next = head[u];
head[u] = tol++;
}
void tarjan(int u)
{
DFN[u] = low[u] = ++deep;
vis[u] = 1;
Stack[++top] = u;
for(int i = head[u]; ~i; i = edge[i].next){
int v = edge[i].to;
if(!DFN[v]){
tarjan(v);
low[u] = min(low[v],low[u]);
}
else if(vis[v]){
low[u] = min(low[v],low[u]);
}
}
if(DFN[u] == low[u]){
color[u] = ++k;
vis[u] = 0;
while(Stack[top]!=u){
color[Stack[top]] = k;
vis[Stack[top]] = 0;
top--;
}
top--;
}
}
求割边:当LOW[V]>DFN[U]时,证明v点和它的子孙节点无法回溯到u,v间为桥
求割点:当LOW[V]>=DFN[U]时,证明v点和它的子孙节点无法回溯到u的祖先(可以回溯到u).u点为割点
根节点如果有多个子节点,则为割点
const int maxn = 1500;
struct Edge
{
int from,to,next;
int cut;
}edge[maxn];
int head[maxn],low[maxn],DFN[maxn];
int n,deep,tol,ans;
int cut_point[maxn]; void init()
{
ans = tol = deep = 0;
CLR(head,-1);
CLR(cut_point,0
CLR(DFN,0);
CLR(low,0);
} void addedge(int u,int v)
{
edge[tol].from = u;
edge[tol].to = v;
edge[tol].next = head[u];
head[u] = tol++;
} void tarjan(int u, int fa) { //u在DFS树中的父节点是fa
low[u] = DFN[u] = ++deep;
int child = 0; //子节点数目
for(int i = head[u]; ~i; i = edge[i].next) {
int v = edge[i].to;
if( fa == v ) continue;
if(!DFN[v]) {
child++;
tarjan(v, u);
low[u] = min(low[u], low[v]);
if(low[v] >= DFN[u]) {
if(low[v] > DFN[u]) edge[i].cut = 1;
cut_point[u] = 1;
}
}
else low[u] = min(low[u], DFN[v]);
}
if(fa < 0 && child == 1) cut_point[u] = 0;
} int search_cut_point()
{
tarjan(1,-1);
for(int i=1;i<=n;i++)
if(cut_point[i])
ans++;
}
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