[HNOI2009]最小圈 (二分答案+负环)

题面：[HNOI2009]最小圈

题目描述：

考虑带权的有向图 $ G=(V,E) $ 以及 $ w:E\rightarrow R $ ,每条边 $ e=(i,j)(i\neq j,i\in V,j\in V) $ 的权值定义为 $ w_{i,j} $ ，令 $ n=|V| $ 。 $ c=(c_1,c_2,\cdots,c_k)(c_i\in V) $ 是 $ G $ 中的一个圈当且仅当 $ (c_i,c_{i+1})(1\le i\lt k) $ 和 $ (c_k,c_1) $ 都在 $ E $ 中，这时称 $ k $ 为圈 $ c $ 的长度同时令 $ c_{k+1}=c_1 $ ，并定义圈 $ c=(c_1,c_2,\cdots,c_k) $ 的平均值为 $ \mu(c)=\sum\limits_{i=1}^{k} w_{c_i,c_{i+1}}/k $ ，即 $ c $ 上所有边的权值的平均值。令 $ \mu'(c)=Min(\mu(c)) $ 为 $ G $ 中所有圈 $ c $ 的平均值的最小值。现在的目标是：在给定了一个图 $ G=(V,E) $ 以及 $ w:E\rightarrow R $ 之后，请求出 $ G $ 中所有圈 $ c $ 的平均值的最小值 $ \mu'(c)=Min(\mu(c)) $

输入格式：

第一行2个正整数，分别为 $ n $ 和 $ m $ ，并用一个空格隔开，只用 $ n=|V|,m=|E| $ 分别表示图中有 $ n $ 个点 $ m $ 条边。

接下来m行，每行3个数 $ i,j,w_{i,j} $ ，表示有一条边 $ (i,j) $ 且该边的权值为 $ w_{i,j} $ 。输入数据保证图 $ G=(V,E) $ 连通，存在圈且有一个点能到达其他所有点。

输出格式：

请输出一个实数 $ \mu'(c)=Min(\mu(c)) $ ，要求输出到小数点后8位。

输入样例#1：

4 5

1 2 5

2 3 5

3 1 5

2 4 3

4 1 3

输出样例#1：

3.66666667

输入样例#2：

2 2

1 2 -2.9

2 1 -3.1

输出样例#2：

-3.00000000

说明:

对于100%的数据， $ n\le 3000,m\le 10000,|w_{i,j}| \le 10^7 $

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$ solution: $

这道题要我们求平均值的最小值，所以我们考虑二分答案的可能性，先列出答案的意义：

$ ans=\frac{\sum\limits_{i=1}^{k} w_{c_i,c_{i+1}}}{K}\quad _{(c_{k+1}=c_1)} $

我们将它转换一下：

$ ans\times k={\sum\limits_{i=1}^{k} w_{c_i,c_{i+1}}}\quad _{(c_{k+1}=c_1)} $

$ 0=\sum\limits_{i=1}^{k} (w_{c_i,c_{i+1}})-ans\times k\quad _{(c_{k+1}=c_1)} $

$ 0=\sum\limits_{i=1}^{k}(w_{c_i,c_{i+1}}-ans)\quad _{(c_{k+1}=c_1)} $

这样我们发现它已经化成了一个二分答案的常用等式（等式右边可以 $ O(n) $ 求出来，且具备单调性）而我们注意到等式左边为0，所以我们可以二分ans，并将边权改为 $ w_{c_i,c_{i+1}}-mid $ ，然后求负环即可。

为什么可以这样做呢？这个较地震那一题好讲一些，我们当前二分出来的平均值mid，我们将每一条边的边权都减去它，如果存在负环，说明这个环上所有边权实际边权值加起来的平均值一定小于mid！（这里需要仔细想一下）

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$ code: $

#include<iostream>
#include<cstdio>
#include<iomanip>
#include<algorithm>
#include<cstring>
#include<cstdlib>
#include<ctime>
#include<cmath>
#include<vector>
#include<queue>
#include<map>
#include<set>

#define ll long long
#define db double
#define inf 0x7fffffff
#define rg register int

using namespace std;

const db cha=1e-9;

struct su{
	db v;int to,next;
}a[10005];

bool f;
int n,m,top;
int tou[3005];
bool vis[3005];
db mid,dis[3005];

inline int qr(){
	char ch;
	while((ch=getchar())<'0'||ch>'9');
	int res=ch^48;
	while((ch=getchar())>='0'&&ch<='9')
		res=res*10+(ch^48);
	return res;
}

inline void add(int x,int y){
	scanf("%lf",&a[++top].v);
	a[top].to=y;
	a[top].next=tou[x];
	tou[x]=top;
}

inline void spfa(int i){
	vis[i]=1;
	for(rg j=tou[i];j;j=a[j].next){
		if(dis[a[j].to]>dis[i]+a[j].v-mid){
			dis[a[j].to]=dis[i]+a[j].v-mid;
			if(vis[a[j].to])return void(f=1);
			else spfa(a[j].to);
		}
	}vis[i]=0;
}

inline bool check(){
	for(rg i=1;i<=n;++i)
		dis[i]=vis[i]=0;;f=0;
	for(rg i=1;i<=n&&!f;++i)
		if(!vis[i])spfa(i);
	return f;
}

int main(){
	freopen("cycle.in","r",stdin);
	freopen("cycle.out","w",stdout);
	n=qr(),m=qr();
	for(rg i=1;i<=m;++i)
		add(qr(),qr());
	db l=-1e7,r=1e7;
	while(l<=r){
		mid=(l+r)/2;
		if(check())r=mid-cha;
		else l=mid+cha;
	}printf("%.8lf\n",l);
	return 0;
}