HDU 4918 Query on the subtree（动态点分治+树状数组）

题意

给定一棵 \(n\) 个节点的树，每个节点有点权。完成 \(q\) 个操作——操作分两种：修改点 \(x\) 的点权、查询与 \(x\) 距离小于等于 \(d\) 的权值总和。

\(1 \leq n,q \leq 10^5\)

思路

从最简单的情况分析——只有一次查询。当然一遍 \(O(n)\) 的 \(\text{dfs}\) 可以直接写，不过要用点分治写的话，\(\text{solve}\) 函数直接容斥一下就可以了。

如果多个询问呢？其实在回答关于点 \(x\) 的询问时，其实只需要计算管辖 \(x\) 的所有重心的答案。我们只需要将点分治的过程记录下来，查询只查管辖 \(x\) 的重心，就可以在 \(\log n\) 的复杂度内回答一次询问了。

具体的实现每道题略有区别，但具体思路大致相同。别忘了我们是从一次查询作优化，那么我们对于一个点，记录它到重心的距离；对于每个重心开一个数组，表示管辖范围内距离为 \(d\) 的节点权值总和，然后前缀和一下就变成了距离小于等于 \(d\) 的权值总和，由于还有容斥的部分，故符号也要记录。若节点 \(x\) 询问为 \(d\) ，对于某一级重心 \(C\) ，距离为 \(dis\) ，对应前缀和数组 \(A\) ，对应符号为 \(s\ (s\in\{1,-1\})\) ，那么 \(x\) 与 \(C\) 的贡献就是 \(s\cdot A[d-dis]\) 。

而带上修改其实也没什么区别，只要把前缀和换成树状数组，然后每次修改，对于某一级重心 \(C\) ，在树状数组的 \(dis\) 位置做修改即可。

动态点分治就是把点分治的过程用适当容器去维护的算法。

代码

#include<bits/stdc++.h>
#define FOR(i,x,y) for(int i=(x),i##END=(y);i<=i##END;++i)
#define DOR(i,x,y) for(int i=(x),i##END=(y);i>=i##END;--i)
typedef long long LL;
using namespace std;
const int N=1e5+5;
template<const int maxn,const int maxm>struct Linked_list
{
	int head[maxn],to[maxm],nxt[maxm],tot;
	Linked_list(){clear();}
	void clear(){memset(head,-1,sizeof(head));tot=0;}
	void add(int u,int v){to[++tot]=v,nxt[tot]=head[u],head[u]=tot;}
	#define EOR(i,G,u) for(int i=G.head[u];~i;i=G.nxt[i])
};
struct FenwickTree
{
	#define lowbit(x) ((x)&-(x))
	vector<int>c;int n;
	void build(int _n){c.clear();FOR(i,0,n=_n+1)c.push_back(0);}
	void update(int k,int val){for(k++;k<=n;k+=lowbit(k))c[k]+=val;}
	int query(int k){int res=0;for(k=min(k+1,n);k>0;k^=lowbit(k))res+=c[k];return res;}
	#undef lowbit
};
Linked_list<N,N<<1>G;
FenwickTree FT[N*2];int Fc;
int Fid[N][45],dis[N][45],lv[N];bool sgn[N][45];
int sz[N];bool mark[N];
int pw[N],n,q;

void CFS(int u,int f,int tot,int &C,int &Mi)
{
	sz[u]=1;int res=0;
	EOR(i,G,u)
	{
		int v=G.to[i];
		if(v==f||mark[v])continue;
		CFS(v,u,tot,C,Mi);
		sz[u]+=sz[v];
		res=max(res,sz[v]);
	}
	res=max(res,tot-sz[u]);
	if(res<Mi)C=u,Mi=res;
}
void dfs_init(int u,int f,int D,bool s)
{
	Fid[u][++lv[u]]=Fc,dis[u][lv[u]]=D,sgn[u][lv[u]]=s;
	EOR(i,G,u)
	{
		int v=G.to[i];
		if(v==f||mark[v])continue;
		dfs_init(v,u,D+1,s);
	}
}
int dfs_dep(int u,int f,int d)
{
	int res=d;
	EOR(i,G,u)
	{
		int v=G.to[i];
		if(v==f||mark[v])continue;
		res=max(res,dfs_dep(v,u,d+1));
	}
	return res;
}
void dac(int u,int tot)
{
	int Mi=1e9;
	CFS(u,0,tot,u,Mi);
	mark[u]=1;
	FT[++Fc].build(dfs_dep(u,0,0));
	dfs_init(u,0,0,1);
	EOR(i,G,u)
	{
		int v=G.to[i];
		if(mark[v])continue;
		FT[++Fc].build(dfs_dep(v,u,1));
		dfs_init(v,u,1,0);
		dac(v,sz[u]>sz[v]?sz[v]:tot-sz[u]);
	}
}

void update(int u,int val)
{
	FOR(i,1,lv[u])
	{
		int v=Fid[u][i],w=dis[u][i];
		FT[v].update(w,val);
	}
}
int query(int u,int d)
{
	int res=0;
	FOR(i,1,lv[u])
	{
		int v=Fid[u][i],w=dis[u][i];bool s=sgn[u][i];
		if(s)res+=FT[v].query(d-w);
		else res-=FT[v].query(d-w);
	}
	return res;
}

int main()
{
	while(~scanf("%d%d",&n,&q))
	{
		G.clear();
		FOR(i,1,n)scanf("%d",&pw[i]);
		FOR(i,1,n-1)
		{
			int u,v;
			scanf("%d%d",&u,&v);
			G.add(u,v),G.add(v,u);
		}
		Fc=0;
		memset(lv,0,sizeof(lv));
		memset(mark,0,sizeof(mark));
		dac(1,n);
		FOR(i,1,n)update(i,pw[i]);
		while(q--)
		{
			char str[5];int x,y;
			scanf("%s%d%d",str,&x,&y);
			if(str[0]=='!')
			{
				update(x,y-pw[x]);
				pw[x]=y;
			}
			else if(str[0]=='?')printf("%d\n",query(x,y));
		}
	}
	return 0;
}