最长递增子序列 (LIS) Longest Increasing Subsequence
问题描述:
有一个长为n的数列a0, a1,..., an-1.请求出这个序列中最长的上升子序列。请求出这个序列中最长的上升子序列。
上升子序列:对于任意i<j都满足ai<aj的子序列.
限制条件
i <= n <= 1000
0 <= ai <= 1000000
两种定义方式 具体看程序注释
#include <iostream>
#include <stdio.h>
#include <string.h>
#include <algorithm>
#define INF 0x3f3f3f3f
using namespace std; int n;
int a[];
//定义 dp[i] 以a[i]作为最末数字的的最长子序列
//状态转移方程 dp[i] = 1//自己
// = max(dp[i], dp[j]+1) //i > j && a[i] > a[j] 将a[i] 添加在a[j]后面
int main()
{
freopen("in.txt", "r", stdin);
scanf("%d", &n);
for (int i = ; i < n; i++)
{
scanf("%d", &a[i]);
}
int dp[];
memset(dp, , sizeof(dp));
for (int i = ; i < n; i++)
{
dp[i] = ;
for (int j = ; j < i; j++)
{
if (a[j] < a[i]) dp[i] = max(dp[i], dp[j]+);
}
}
cout << dp[n-] << endl;
//复杂度 O(n^2)
//---------------------------------------------------------------------------//
//定义dp[i] 长度为i+1 的序列 的最小结尾值 因为结尾值最小 在后面更新时 越有优势
//状态转移方程 dp[i] = min(dp[i], a[j])
fill(dp, dp+, INF);
for (int j = ; j < n;j++)//注意是要对每一个数从前往后只检查一次 去看能否替换 dp数列中的某个值
{
for (int i = ; i < n; i++)
{
if (i == || dp[i-] < a[j]) dp[i] = min(dp[i], a[j]);//因为是要求递增 那么比前一个大的话更新这一位 使这一位为最小值
}
}//这样实现也是O(n^2)的复杂度
//但是在查找a[j]的过程 可以使用二分查找 优化这样复杂度变为n*logN
int ans = ;
for (int i = ; i < n; i++)
{
if (dp[i] < INF) ans = i+;
}
cout << ans << endl;
//--------------------------------------------------------------------//
fill(dp, dp+, INF);
for (int i = ; i < n; i++)
{
*lower_bound(dp, dp+n, a[i]) = a[i];//dp[0] 到 dp[n-1] >= a[i] 的最小指针 也就是按照从左到有的顺序
}
for (int i = ; i < n; i++)
{
if (dp[i] < INF) ans = i+;
}
cout << ans << endl;
return ;
}
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