HDU 4609 3-idiots ——（FFT）

　　这是我接触的第一个关于FFT的题目，留个模板。

　　这题的题解见：http://www.cnblogs.com/kuangbin/archive/2013/07/24/3210565.html。

　　FFT的模板如下：

 #include<bits/stdc++.h>
 using namespace std;
 const double pi = atan(1.0)*;
 struct Complex {
     double x,y;
     Complex(double _x=,double _y=)
         :x(_x),y(_y) {}
     Complex operator + (Complex &tt) { return Complex(x+tt.x,y+tt.y); }
     Complex operator - (Complex &tt) { return Complex(x-tt.x,y-tt.y); }
     Complex operator * (Complex &tt) { return Complex(x*tt.x-y*tt.y,x*tt.y+y*tt.x); }
 };
 Complex a[],b[];
 void fft(Complex *a, int n, int rev) {
     // n是(大于等于相乘的两个数组长度)2的幂次 ； 比如长度是5 ,那么 n = 8    2^2 < 5          2^3 > 5
     // 从0开始表示长度，对a进行操作
     // rev==1进行DFT，==-1进行IDFT
     for (int i = ,j = ; i < n; ++ i) {
         for (int k = n>>; k > (j^=k); k >>= );
         if (i<j) std::swap(a[i],a[j]);
     }
     for (int m = ; m <= n; m <<= ) {
         Complex wm(cos(*pi*rev/m),sin(*pi*rev/m));
         for (int i = ; i < n; i += m) {
             Complex w(1.0,0.0);
             for (int j = i; j < i+m/; ++ j) {
                 Complex t = w*a[j+m/];
                 a[j+m/] = a[j] - t;
                 a[j] = a[j] + t;
                 w = w * wm;
             }
         }
     }
     if (rev==-) {
         for (int i = ; i < n; ++ i) a[i].x /= n,a[i].y /= n;
     }
 }
 int main(){
     a[] = Complex(,); //  a[0]: x的0次项。
     a[] = Complex(,);
     a[] = Complex(,);
     a[] = Complex(,);

     b[] = Complex(,);
     b[] = Complex(,);
     b[] = Complex(,);
     b[] = Complex(,);
     fft(a,,);
     fft(b,,);
     for(int i =  ; i <  ; i ++){
         a[i] = a[i] * b[i];
     }
     fft(a,,-);
     for(int i =  ; i <  ; i ++){
         cout << i << "   " << a[i].x << endl;;
     }
 /*
  * fft:nlogn求两个多项式相乘,(原来要n^2)
  *
  * f1 = 0x^0 + 1x^1 + 2x^2 + 3x^3
  * f2 = 3    + 2x^1 + x^2  + 0x^3;
  *
  * f1 = a  +   b  +   c  +  d;
  * f2 = x  +   y  +   z  +  k;
  * f3 =                             __
  *        dp[1] dp[2] dp[3] dp[4] dp[5];
  *              c[0]   c[1]  c[2] c[3];
  */
 /*
 0   0 * x^0
 1   3 * x^1
 2   8 * x^2
 3   14
 4   8                    -----> 0x^0 + 3x^1 + 8x^2 ...... 3x^5
 5   3
 6   0 * x^6
 7   0 * x^7
  * */
     return ;
 }

FFT模板

　　关于这个模板有几点需要注意的：　　

　　1.在系数转化成整数时，会有精度误差，需要加eps。

　　2.假设a和b之前的长度都是n，卷积以后的大小应该是2*n-1，再考虑到fft中第二个参数n必须是大于等于卷积长度的2的幂次，因此最后的数组长度必须是n的4倍，也就是说这里的a数组大小应该开4倍才行。

　　3.注意在对a和b进行fft(a, LIM, 1)之前需要对n+1~LIM之间的复数也初始化为Complex(0, 0)以免多组测试中之前的操作对当前的操作产生影响。

　　最后，本题的AC代码如下：

 #include<bits/stdc++.h>
 using namespace std;
 const double pi = atan(1.0)*;
 const int N = 1e5 + ;
 typedef long long ll;

 struct Complex {
     double x,y;
     Complex(double _x=,double _y=)
         :x(_x),y(_y) {}
     Complex operator + (Complex &tt) { return Complex(x+tt.x,y+tt.y); }
     Complex operator - (Complex &tt) { return Complex(x-tt.x,y-tt.y); }
     Complex operator * (Complex &tt) { return Complex(x*tt.x-y*tt.y,x*tt.y+y*tt.x); }
 };
 Complex a[N*],b[N];
 void fft(Complex *a, int n, int rev) {
     // n是(大于等于相乘的两个数组长度)2的幂次 ； 比如长度是5 ,那么 n = 8    2^2 < 5          2^3 > 5
     // 从0开始表示长度，对a进行操作
     // rev==1进行DFT，==-1进行IDFT
     for (int i = ,j = ; i < n; ++ i) {
         for (int k = n>>; k > (j^=k); k >>= );
         if (i<j) std::swap(a[i],a[j]);
     }
     for (int m = ; m <= n; m <<= ) {
         Complex wm(cos(*pi*rev/m),sin(*pi*rev/m));
         for (int i = ; i < n; i += m) {
             Complex w(1.0,0.0);
             for (int j = i; j < i+m/; ++ j) {
                 Complex t = w*a[j+m/];
                 a[j+m/] = a[j] - t;
                 a[j] = a[j] + t;
                 w = w * wm;
             }
         }
     }
     if (rev==-) {
         for (int i = ; i < n; ++ i) a[i].x /= n,a[i].y /= n;
     }
 }

 int A[N];
 ll num[N*], sum[N*];

 int main(){
     /*a[0] = Complex(0,0); //  a[0]: x的0次项。
     a[1] = Complex(1,0);
     a[2] = Complex(2,0);
     a[3] = Complex(3,0);

     b[0] = Complex(3,0);
     b[1] = Complex(2,0);
     b[2] = Complex(1,0);
     b[3] = Complex(0,0);
     fft(a,8,1);
     fft(b,8,1);
     for(int i = 0 ; i < 8 ; i ++){
         a[i] = a[i] * b[i];
     }
     fft(a,8,-1);
     for(int i = 0 ; i < 8 ; i ++){
         cout << i << "   " << a[i].x << endl;;
     }*/
     //a[0] = Complex(0, 0); b[0] = Complex(0, 0);
     int T; scanf("%d",&T);
     while(T--)
     {
         int n; scanf("%d",&n);
         memset(num,,sizeof num);
         for(int i=;i<=n;i++)
         {
             scanf("%d",A+i);
             num[A[i]]++;
         }
         sort(A+, A++n);
         int len = A[n];
         int LIM = ;
         while()
         {
             if(LIM >= len*+) break;
             else LIM <<= ;
         }
         for(int i=;i<=len;i++)
         {
             a[i] = Complex(num[i], );
         }
         for(int i=len+;i<LIM;i++)
         {
             a[i] = Complex(, );
         }
         fft(a,LIM,);
         for(int i=;i<LIM;i++) a[i] = a[i] * a[i];
         fft(a,LIM,-);
         // finish fft
         len = len * ;
         for(int i=;i<=len;i++) num[i] = (ll)(a[i].x + 0.5);
         for(int i=;i<=n;i++) num[A[i]*]--; // 减去两个相同的组合
         for(int i=;i<=len;i++) num[i] /= ; // 选择的是无序的
         for(int i=;i<=len;i++) sum[i] = sum[i-] + num[i];
         ll ans = ;
         for(int i=;i<=n;i++)
         {
             int now = A[i];
             ans += sum[len] - sum[now]; // 对于每个数，加起来比它大的都是可行的
             ans -= 1LL * (i-) * (n-i); // 减去一个大的一个小的组合的情况
             ans -= 1LL * (n-); // 减去自己和任意一个组合的情况
             ans -= 1LL * (n-i) * (n-i-) / ; // 减去比它大的两个组合的情况
             // 剩下的就是两个小的加起来比A[i]大的情况
         }
         ll all = 1LL * n*(n-)*(n-) / ;
         printf("%.7f\n",1.0*ans/all);
     }
     return ;
 }

AC代码