题意

判断一个存在哈密顿回路的图是否是平面图。

n≤200,m≤10000n\le200,m\le10000n≤200,m≤10000

题解

如果一定存在一个环,那么连的边要么在环里面要么在外面。那么把在同侧会矛盾的边之间连边,如果是一个二分图就是平面图。

有问题的是边数是O(m2)O(m^2)O(m2)的。但是可以发现当m>n∗3−6m>n*3-6m>n∗3−6的时候一定形成不了平面图。所以就判一下,如果小于等于就O(m2)O(m^2)O(m2)做。

证明:先画出一条环,有nnn条边,然后这个环的一个点向非相邻的n−3n-3n−3个点连接n−3n-3n−3条边可以保证两两不相交,外面一侧如此,故如果边数m>n∗3−6m>n*3-6m>n∗3−6,就直接判断NONONO即可。保证了复杂度。

判二分图的方法可以用带权并查集或者直接染色,这里写的是带权并查集。

CODE

  1. #include <bits/stdc++.h>
  2. using namespace std;
  3. inline void rd(int &x) {
  4. char ch; for(;!isdigit(ch=getchar()););
  5. for(x=ch-'0';isdigit(ch=getchar());)x=x*10+ch-'0';
  6. }
  7. const int MAXN = 205;
  8. const int MAXM = 10005;
  9. int n, m, u[MAXM], v[MAXM], seq[MAXN], id[MAXN];
  10. int d[MAXM], fa[MAXM];
  11. int find(int x) {
  12. if(x != fa[x]) {
  13. int old = fa[x];
  14. fa[x] = find(fa[x]);
  15. d[x] ^= d[old];
  16. }
  17. return fa[x];
  18. }
  19. int main() {
  20. int T; rd(T); while(T--) {
  21. rd(n), rd(m);
  22. for(int i = 1; i <= m; ++i) rd(u[i]), rd(v[i]);
  23. for(int i = 1; i <= n; ++i) rd(seq[i]), id[seq[i]] = i;
  24. if(m > 3*n-6) puts("NO");
  25. else {
  26. bool flg = 1;
  27. for(int i = 1; i <= m && flg; ++i) {
  28. fa[i] = i; d[i] = 0;
  29. int l = min(id[u[i]], id[v[i]]);
  30. int r = max(id[u[i]], id[v[i]]);
  31. for(int j = 1; j < i && flg; ++j)
  32. if(id[u[j]] != l && id[u[j]] != r && id[v[j]] != l && id[v[j]] != r && ((l <= id[u[j]] && id[u[j]] <= r)^(l <= id[v[j]] && id[v[j]] <= r))) {
  33. int u = find(i), v = find(j);
  34. if(u == v) flg &= (d[i] != d[j]);
  35. else fa[u] = v, d[u] = d[i] ^ d[j] ^ 1;
  36. }
  37. }
  38. puts(flg ? "YES" : "NO");
  39. }
  40. }
  41. }

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