【loj#2524】【bzoj5303】 [Haoi2018]反色游戏(圆方树)
题意中的游戏方案可以转化为一个异或方程组的解,将边作为变量,点作为方程,因此若方程有解,方程的解的方案数就是2的自由元个数次方。我们观察一下方程,就可以发现自由元数量=边数-点数+连通块数,或者换句话说,若对原图的每个联通块指定一棵生成树,那么确定了生成树之外的边是否进行操作,那么生成树内的边的操作方案就是一定存在并唯一确定的。
那么我们就只需要判断一下什么样的图无解。我们发现每对一条边进行操作,原图内的黑点数量奇偶性不变,那么我们只需判断图中的是否存在某个联通块有奇数个黑点,若存在即无解。
加上了删点操作后,我们可以用圆方树来维护连通块信息。因为圆方树的连通性与原图上的连通性相互对应,删除单个点之后,原图被新分成的连通块就是圆方树删除对应点的连通块,那么使用圆方树就可以快速维护删除单个点的连通块信息。
代码:
#include<cstdio>
#include<cstring>
#include<cmath>
#include<cstdlib>
#include<algorithm>
#define ll long long
#define inf 0x3f3f3f3f
#define mod 1000000007
#define maxn 200010
inline ll read()
{
ll x=; char c=getchar(),f=;
for(;c<''||''<c;c=getchar())if(c=='-')f=-;
for(;''<=c&&c<='';c=getchar())x=x*+c-'';
return x*f;
}
inline void write(ll x)
{
static int buf[],len; len=;
if(x<)x=-x,putchar('-');
for(;x;x/=)buf[len++]=x%;
if(!len)putchar('');
else while(len)putchar(buf[--len]+'');
}
inline void writeln(ll x){write(x); putchar('\n');}
inline void writesp(ll x){write(x); putchar(' ');}
struct edge{
int to,nxt;
};
struct Graph{
edge e[*maxn];
int fir[*maxn],deg[*maxn];
int tot;
inline void clear()
{
memset(fir,,sizeof(fir)); tot=;
memset(deg,,sizeof(deg));
}
inline void add_edge(int x,int y)
{
e[tot].to=y; e[tot].nxt=fir[x]; fir[x]=tot++;
++deg[x];
}
}G,T;
int dfn[maxn],low[maxn],st[maxn],ans[maxn];
int val[*maxn],size[*maxn],fa[*maxn],rt[*maxn];
char s[maxn];
int n,m,tot,tp,cnt;
inline ll power(ll a,ll b)
{
ll ans=;
for(;b;b>>=,a=a*a%mod)
if(b&)ans=ans*a%mod;
return ans;
}
void tarjan(int now,int last)
{
dfn[now]=low[now]=++tot; st[++tp]=now;
for(int i=G.fir[now];~i;i=G.e[i].nxt)
if(i!=(last^)){
if(!dfn[G.e[i].to]){
tarjan(G.e[i].to,i);
low[now]=std::min(low[now],low[G.e[i].to]);
if(low[G.e[i].to]>=dfn[now]){
++cnt;
T.add_edge(now,cnt); T.add_edge(cnt,now);
do{
T.add_edge(st[tp],cnt); T.add_edge(cnt,st[tp]);
}while(st[tp--]!=G.e[i].to);
}
}
else low[now]=std::min(low[now],dfn[G.e[i].to]);
}
}
void dfs(int now,int root)
{
rt[now]=root;
size[now]=val[now];
for(int i=T.fir[now];~i;i=T.e[i].nxt)
if(T.e[i].to!=fa[now]){
fa[T.e[i].to]=now;
dfs(T.e[i].to,root);
size[now]+=size[T.e[i].to];
}
}
void work()
{
n=read(); m=read();
G.clear();
for(int i=;i<=m;i++){
int x=read(),y=read();
G.add_edge(x,y); G.add_edge(y,x);
}
scanf("%s",s);
memset(val,,sizeof(val));
for(int i=;i<=n;i++)
val[i]=(s[i-]=='');
T.clear();
memset(dfn,,sizeof(dfn));
memset(low,,sizeof(low));
tot=tp=; cnt=n;
for(int i=;i<=n;i++)
if(!dfn[i]){
tarjan(i,-);
fa[i]=-;
dfs(i,i);
}
int odd=,block=;
for(int i=;i<=n;i++)
if(fa[i]==-)odd+=(size[i]&),++block;
ans[]=(odd?:power(,m-n+block));
for(int i=;i<=n;i++){
odd-=(size[rt[i]]&);
int flag=;
for(int j=T.fir[i];~j;j=T.e[j].nxt)
if(T.e[j].to!=fa[i]&&(size[T.e[j].to]&)){
flag=; break;
}
if(odd||!flag||((size[rt[i]]-size[i])&))ans[i]=;
else ans[i]=power(,(m-G.deg[i])-(n-)+(block+T.deg[i]-));
odd+=(size[rt[i]]&);
}
for(int i=;i<=n;i++)
writesp(ans[i]);
putchar('\n');
}
int main()
{
int T=read();
while(T--)work();
return ;
}
反色游戏
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