【BZOJ2707】[SDOI2012]走迷宫

Description

Morenan被困在了一个迷宫里。迷宫可以视为N个点M条边的有向图，其中Morenan处于起点S，迷宫的终点设为T。可惜的是，Morenan非常的脑小，他只会从一个点出发随机沿着一条从该点出发的有向边，到达另一个点。这样，Morenan走的步数可能很长，也可能是无限，更可能到不了终点。若到不了终点，则步数视为无穷大。但你必须想方设法求出Morenan所走步数的期望值。

Input

第1行4个整数，N,M,S,T

第[2, M+1]行每行两个整数o1, o2，表示有一条从o1到o2的边。

Output

一个浮点数，保留小数点3位，为步数的期望值。若期望值为无穷大，则输出"INF"。

【样例输入1】

6 6 1 6

1 2

1 3

2 4

3 5

4 6

5 6

【样例输出1】

3.000

【样例输入2】

9 12 1 9

1 2

2 3

3 1

3 4

3 7

4 5

5 6

6 4

6 7

7 8

8 9

9 7

【样例输出2】

9.500

【样例输入3】

2 0 1 2

【样例输出3】

INF

【数据范围】

测试点	N	M	Hint
[1, 6]	<=10	<=100
[7, 12]	<=200	<=10000
[13, 20]	<=10000	<=1000000	保证强连通分量的大小不超过100

另外，均匀分布着40%的数据，图中没有环，也没有自环

题解：先Tarjan缩环，然后对于强连通分量内部的点，用高斯消元，外部的DAG用拓扑排序+DP。具体细节还是说一下吧：
1.高斯消元时，列方程$f[i]=\sum f[j]/d[i]+1$，发现i的某些出边可能指向强连通分量外的点，把它们都当成常数项就好了。特别地，T的方程要特殊处理。
2.判断INF时比较坑，从S开始BFS，我们的DAG只能包含我们能DFS到的点，并且，搜到T时要立刻停止。DFS后，如果发现一个强连通分量的出度为0且不是T所在的强连通分量，则INF。

#include <cstdio>
#include <cstring>
#include <iostream>
#include <vector>
#include <queue>
#include <cmath>
const int maxn=10010;
using namespace std;
int n,m,cnt,Cnt,tot,top,sum,S,T;
vector<int> s[maxn];
int dep[maxn],low[maxn],head[maxn],to[1000010],next[1000010],sta[maxn],d[maxn],ins[maxn],D[maxn],pos[maxn],bel[maxn];
int To[1000010],Next[1000010],Head[maxn],vis[maxn];
double p[maxn],v[110][110];
queue<int> q;
inline void add(int a,int b)
{
	to[cnt]=b,next[cnt]=head[a],head[a]=cnt++;
}
inline void Add(int a,int b)
{
	To[Cnt]=b,Next[Cnt]=Head[a],Head[a]=Cnt++;
}
void tarjan(int x)
{
	dep[x]=low[x]=++tot,sta[++top]=x,ins[x]=1;
	int i,t;
	for(i=Head[x];i!=-1;i=Next[i])
	{
		if(!dep[To[i]])	tarjan(To[i]),low[x]=min(low[x],low[To[i]]);
		else	if(ins[To[i]])	low[x]=min(low[x],dep[To[i]]);
	}
	if(dep[x]==low[x])
	{
		sum++;
		do
		{
			t=sta[top--],ins[t]=0,bel[t]=sum,pos[t]=s[sum].size(),s[sum].push_back(t);
		}while(t!=x);
	}
}
void calc(int x)
{
	int i,j,k,a,b,nm=s[x].size();
	for(i=0;i<nm;i++)	memset(v[i],0,sizeof(v[0][0])*(nm+1));
	for(i=0;i<nm;i++)
	{
		a=s[x][i];
		for(j=head[a];j!=-1;j=next[j])
		{
			b=to[j];
			if(bel[b]==bel[a])	v[pos[b]][pos[a]]+=1.0/d[b],v[pos[b]][nm]-=1.0/d[b];
		}
	}
	for(i=0;i<nm;i++)
	{
		v[i][nm]-=p[s[x][i]];
		if(s[x][i]==T)	for(j=0;j<=nm;j++)	v[i][j]=0;
		v[i][i]-=1;
	}
	for(i=0;i<nm;i++)
	{
		for(j=i+1;j<nm;j++)	if(fabs(v[j][i])>fabs(v[i][i]))	for(k=i;k<=nm;k++)	swap(v[j][k],v[i][k]);
		double tmp=v[i][i];
		if(fabs(tmp)<1e-9)	continue;
		for(k=i;k<=nm;k++)	v[i][k]/=tmp;
		for(j=0;j<nm;j++)	if(i!=j)
		{
			tmp=v[j][i];
			for(k=i;k<=nm;k++)	v[j][k]-=v[i][k]*tmp;
		}
	}
	for(i=0;i<nm;i++)	p[s[x][i]]=v[i][nm];
}
void dfs(int x)
{
	vis[x]=1;
	if(x==T)	return ;
	for(int i=Head[x];i!=-1;i=Next[i])
	{
		if(bel[To[i]]!=bel[x])	D[bel[x]]++;
		if(!vis[To[i]])	dfs(To[i]);
	}
}
inline int rd()
{
	int ret=0,f=1;	char gc=getchar();
	while(gc<'0'||gc>'9')	{if(gc=='-')f=-f;	gc=getchar();}
	while(gc>='0'&&gc<='9')	ret=ret*10+gc-'0',gc=getchar();
	return ret*f;
}
int main()
{
	n=rd(),m=rd(),S=rd(),T=rd();
	int i,j,a,b,u,v;
	memset(head,-1,sizeof(head)),memset(Head,-1,sizeof(Head));
	for(i=1;i<=m;i++)	a=rd(),b=rd(),Add(a,b),add(b,a),d[a]++;
	for(i=1;i<=n;i++)	if(!dep[i])	tarjan(i);
	dfs(S);
	for(i=1;i<=n;i++)	if(vis[i]&&bel[i]!=bel[T]&&!D[bel[i]])
	{
		printf("INF");
		return 0;
	}
	q.push(bel[T]);
	while(!q.empty())
	{
		u=q.front(),q.pop();
		calc(u);
		if(u==bel[S])
		{
			printf("%.3lf",fabs(p[S]));
			return 0;
		}
		for(i=0;i<(int)s[u].size();i++)	for(v=s[u][i],j=head[v];j!=-1;j=next[j])	if(bel[to[j]]!=bel[v])
		{
			D[bel[to[j]]]--,p[to[j]]+=(p[v]+1)/d[to[j]];
			if(!D[bel[to[j]]])	q.push(bel[to[j]]);
		}
	}
	printf("INF");
	return 0;
}//9 12 1 6 1 2 2 3 3 1 3 4 3 7 4 5 5 6 6 4 6 7 7 8 8 9 9 7