【欧拉函数】BZOJ2190-[SDOI2012]longge的数学问题

【题目大意】

求出∑gcd(i, N)(1<=i <=N)。

【思路】

对于x=ak,y=bk,若gcd(a,b)=1则必有gcd(x,y)=1。枚举N的所有因数，∑gcd(i, N)=∑(φ(N/k)*k)（k|N）。

*N的因数与必须在n^(1/2)时间内求出，否则会TLE。

【代码】

 #include<iostream>
 #include<cstdio>
 #include<cstring>
 #include<algorithm>
 using namespace std;
 typedef long long ll;
 /*注意数据范围*/
 const int MAXN=;
 ll n;
 ll factor[MAXN];

 void get_factor()
 /*必须在n^(1/2)时间以内求出所有的质因数，否则会TE*/
 {
     memset(factor,,sizeof(factor));
     ll i;
     for (i=;i*i<n;i++)
     {
         if (n%i==)
         {
             factor[++factor[]]=i;
             factor[++factor[]]=n/i;
         }
     }
     if (i*i==n) factor[++factor[]]=i;
 }

 ll eular(ll k)
 {
     ll res=k;
     for (ll p=;p*p<=k;p++)
     {
         if (k%p==)
         {
             res=res-res/p;
             while (k%p==) k/=p;
         }
     }
     if (k>) res=res-res/k;
     /*主意k可能大于0，必须要再减去*/
     return res;
 }

 void init()
 {
     scanf("%d",&n);
 }

 ll get_ans()
 {
     ll result=;
     for (ll i=;i<=factor[];i++)
         result+=eular(n/factor[i])*factor[i];
     return result;
 }

 int main()
 {
     init();
     get_factor();
     cout<<get_ans()<<endl;
     return ;
 }