数论二·Eular质数筛法

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描述

小Ho:小Hi,上次我学会了如何检测一个数是否是质数。于是我又有了一个新的问题,我如何去快速得求解[1,N]这个区间内素数的个数呢?

小Hi:你自己有什么想法么?

小Ho:有!我一开始的想法是,自然我们已经知道了如何快速判定一个数是否是质数,那么我就直接将[1,N]之间每一个数判定一次,就可以得到结果。但我发现这个方法太笨了。

小Hi:确实呢,虽然我们已经通过快速素数检测将每一次判定的时间复杂度降低,但是N个数字的话,总的时间复杂度依旧很高。

小Ho:是的,所以后来我改变了我的算法。我发现如果一个数p是质数的话,那么它的倍数一定都是质数。所以我建立了一个布尔类型的数组isPrime,初始化都为true。我从2开始枚举,当我找到一个isPrime[p]仍然为true时,可以确定p一定是一个质数。接着我再将N以内所有p的倍数全部设定为isPrime[p*i]=false。

写成伪代码为:

  1. isPrime[] = true
  2. primeCount = 0
  3. For i = 2 .. N
  4. If isPrime[i] Then
  5. primeCount = primeCount + 1
  6. multiple = 2
  7. While (i * multiple N)
  8. isPrime[i * multiple] = false
  9. multiple = multiple + 1
  10. End While
  11. End If
  12. End For

小Hi:小Ho你用的这个算法叫做Eratosthenes筛法,是一种非常古老的质数筛选算法。其时间复杂度为O(n log log n)。但是这个算法有一个冗余的地方:比如合数10,在枚举2的时候我们判定了一次,在枚举5的时候我们又判定了一次。因此使得其时间复杂度比O(n)要高。

小Ho:那有没有什么办法可以避免啊?

小Hi:当然有了,一个改进的方法叫做Eular筛法,其时间复杂度是O(n)的。

输入

第1行:1个正整数n,表示数字的个数,2≤n≤1,000,000。

输出

第1行:1个整数,表示从1到n中质数的个数

素数筛模板不解释。

代码:

  1. #define ll long long
  2. #include<algorithm>
  3. #include<iostream>
  4. #include<iomanip>
  5. #include<cstring>
  6. #include<cstdlib>
  7. #include<cstdio>
  8. #include<queue>
  9. #include<ctime>
  10. #include<cmath>
  11. #include<stack>
  12. #include<map>
  13. #include<set>
  14. using namespace std;
  15. const int MAXN=;
  16. int su[MAXN];
  17. bool shi[MAXN];
  18.  
  19. int shai(int n){
  20. int p=;
  21. memset(shi,,sizeof(shi));
  22. shi[]=shi[]=;
  23. for(int i=;i<=n;i++){
  24. if(shi[i]){
  25. su[++p]=i;
  26. for(int j=*i;j<=n;j+=i)
  27. shi[j]=;
  28. }
  29. }
  30. return p;
  31. }
  32.  
  33. int main(){
  34. int n;scanf("%d",&n);
  35. printf("%d",shai(n));
  36. }

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