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数论二·Eular质数筛法
描述
小Ho:小Hi,上次我学会了如何检测一个数是否是质数。于是我又有了一个新的问题,我如何去快速得求解[1,N]这个区间内素数的个数呢?
小Hi:你自己有什么想法么?
小Ho:有!我一开始的想法是,自然我们已经知道了如何快速判定一个数是否是质数,那么我就直接将[1,N]之间每一个数判定一次,就可以得到结果。但我发现这个方法太笨了。
小Hi:确实呢,虽然我们已经通过快速素数检测将每一次判定的时间复杂度降低,但是N个数字的话,总的时间复杂度依旧很高。
小Ho:是的,所以后来我改变了我的算法。我发现如果一个数p是质数的话,那么它的倍数一定都是质数。所以我建立了一个布尔类型的数组isPrime,初始化都为true。我从2开始枚举,当我找到一个isPrime[p]仍然为true时,可以确定p一定是一个质数。接着我再将N以内所有p的倍数全部设定为isPrime[p*i]=false。
写成伪代码为:
- isPrime[] = true
- primeCount = 0
- For i = 2 .. N
- If isPrime[i] Then
- primeCount = primeCount + 1
- multiple = 2
- While (i * multiple ≤ N)
- isPrime[i * multiple] = false
- multiple = multiple + 1
- End While
- End If
- End For
小Hi:小Ho你用的这个算法叫做Eratosthenes筛法,是一种非常古老的质数筛选算法。其时间复杂度为O(n log log n)。但是这个算法有一个冗余的地方:比如合数10,在枚举2的时候我们判定了一次,在枚举5的时候我们又判定了一次。因此使得其时间复杂度比O(n)要高。
小Ho:那有没有什么办法可以避免啊?
小Hi:当然有了,一个改进的方法叫做Eular筛法,其时间复杂度是O(n)的。
输入
第1行:1个正整数n,表示数字的个数,2≤n≤1,000,000。
输出
第1行:1个整数,表示从1到n中质数的个数
素数筛模板不解释。
代码:
- #define ll long long
- #include<algorithm>
- #include<iostream>
- #include<iomanip>
- #include<cstring>
- #include<cstdlib>
- #include<cstdio>
- #include<queue>
- #include<ctime>
- #include<cmath>
- #include<stack>
- #include<map>
- #include<set>
- using namespace std;
- const int MAXN=;
- int su[MAXN];
- bool shi[MAXN];
- int shai(int n){
- int p=;
- memset(shi,,sizeof(shi));
- shi[]=shi[]=;
- for(int i=;i<=n;i++){
- if(shi[i]){
- su[++p]=i;
- for(int j=*i;j<=n;j+=i)
- shi[j]=;
- }
- }
- return p;
- }
- int main(){
- int n;scanf("%d",&n);
- printf("%d",shai(n));
- }
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