洛谷P3723 [AH2017/HNOI2017]礼物

吴迪说他化学会考上十分钟就想出来了，太神了%%%不过我也十分钟

但是调了一个多小时啊大草

懒得人话翻译了，自己康吧：

我的室友（真的是室友吗？）最近喜欢上了一个可爱的小女生。马上就要到她的生日了，他决定买一对情侣手环，一个留给自己，一个送给她。每个手环上各有 \(n\) 个装饰物，并且每个装饰物都有一定的亮度。

但是在她生日的前一天，我的室友突然发现他好像拿错了一个手环，而且已经没时间去更换它了！他只能使用一种特殊的方法，将其中一个手环中所有装饰物的亮度增加一个相同的非负整数 \(c\)。并且由于这个手环是一个圆，可以以任意的角度旋转它，但是由于上面装饰物的方向是固定的，所以手环不能翻转。需要在经过亮度改造和旋转之后，使得两个手环的差异值最小。

在将两个手环旋转且装饰物对齐了之后，从对齐的某个位置开始逆时针方向对装饰物编号 \(1 \sim n\)，其中 \(n\) 为每个手环的装饰物个数， 第 \(1\) 个手环的 \(i\) 号位置装饰物亮度为 \(x_i\)​，第 \(2\) 个手环的 \(i\) 号位置装饰物亮度为 \(y_i\)​，两个手环之间的差异值为（参见输入输出样例和样例解释）：

\[\sum\limits_{i=1}^{n}(x_i-y_i)^2
\]

麻烦你帮他计算一下，进行调整（亮度改造和旋转），使得两个手环之间的差异值最小，这个最小值是多少呢？

对于 \(100\%\) 的数据，\(1 \le n \le 50000, 1 \le a_i \le m \le 100。\)

考虑加上一个\(c\)之后式子变为

\[\sum\limits_{i=1}^{n}(x_i-y_i+c)^2
\]

拆一下

\[=\sum\limits_{i=1}^{n}x_i^2+y_i^2-2x_iy_i+c^2+c(x_i-y_i)
\]

发现求个\(\sum\limits_{i=1}^{n}x_iy_i\)就完了

记\(x^{'}\)为\(x\)翻转后的序列，那么我们只要求\(\sum\limits_{x=1}^{n}x_{n-i+1}^{'}y_i\)

发现是个卷积，但是对齐的位置可能不一样怎么办呢？

可以倍长一下\(x_i\)再翻转，然后在\(ntt\)之后的系数数组的\(x_{n+1}\sim x_{n+n}\)中选一个

就切了

多项式题目的边界真tm恶心

吴迪的代码为什么那么短啊

#include<bits/stdc++.h>
using namespace std;
namespace red{
#define int long long
#define lowbit(x) ((x)&(-x))
	inline int read()
	{
		int x=0;char ch,f=1;
		for(ch=getchar();(ch<'0'||ch>'9')&&ch!='-';ch=getchar());
		if(ch=='-') f=0,ch=getchar();
		while(ch>='0'&&ch<='9'){x=(x<<1)+(x<<3)+ch-'0';ch=getchar();}
		return f?x:-x;
	}
	const int N=5e5+10,p=998244353,g=3,gi=332748118;
	int n,m,limit,len;
	int suma,sumb,sum;
	int ret=1e9+7;
	int a[N],pos[N];
	int b[N];
	inline int fast(int x,int k)
	{
		int ret=1;
		while(k)
		{
			if(k&1) ret=ret*x%p;
			x=x*x%p;
			k>>=1;
		}
		return ret;
	}
	inline void ntt(int *a,int inv)
	{
		for(int i=0;i<limit;++i)
			if(i<pos[i]) swap(a[i],a[pos[i]]);
		for(int mid=1;mid<limit;mid<<=1)
		{
			int Wn=fast(inv?g:gi,(p-1)/(mid<<1));
			for(int r=mid<<1,j=0;j<limit;j+=r)
			{
				int w=1;
				for(int k=0;k<mid;++k,w=w*Wn%p)
				{
					int x=a[j+k],y=w*a[j+k+mid]%p;
					a[j+k]=x+y;
					if(a[j+k]>=p) a[j+k]-=p;
					a[j+k+mid]=x-y;
					if(a[j+k+mid]<0) a[j+k+mid]+=p;
				}
			}
		}
	}
	inline void main()
	{
		n=read(),m=read();
		for(int i=1;i<=n;++i) a[i]=a[i+n]=read(),suma+=a[i],sum+=a[i]*a[i];
		for(int i=1;i<=n;++i) b[i]=read(),sumb+=b[i],sum+=b[i]*b[i];
		reverse(a+1,a+2*n+1);
		for(limit=1;limit<=3*n;limit<<=1) ++len;
		for(int i=0;i<limit;++i) pos[i]=(pos[i>>1]>>1)|((i&1)<<(len-1));
		ntt(a,1),ntt(b,1);
		for(int i=0;i<limit;++i) a[i]=a[i]*b[i]%p;
		ntt(a,0);
		int inv=fast(limit,p-2);
		for(int i=0;i<limit;++i) a[i]=a[i]*inv%p;
		for(int tmp,i=1;i<=n;++i)
		{
			for(int d=-m;d<=m;++d)
			{
				tmp=sum-2*a[i+n]+d*d*n+2*d*(suma-sumb);
				ret=min(ret,tmp);
			}
		}
		printf("%lld\n",ret);
	}
}
signed main()
{
	red::main();
	return 0;
}
/*
5 6
4 5 1 1 3
6 3 3 4 5

*/