Mophues HDU - 4746 （莫比乌斯反演）

Mophues

\[Time Limit: 10000 ms\quad Memory Limit: 262144 kB
\]

题意

求出满足 \(gcd\left(a，b\right) = k\)，其中\(1\leq a\leq n，1\leq b \leq m\)且 \(k\) 的因子数 \(\leq P\)

思路

\(g\left(x\right)\) 表示 \(gcd\left(a, b\right) | x\) 的对数

\(f\left(x\right)\) 表示 \(gcd\left(a, b\right) = x\) 的对数

根据莫比乌斯反演有

\[ f\left(n\right) = \sum_{n|d} g\left(d\right)\\
g\left(n\right) = \sum_{n|d} \mu\left(\frac{d}{n}\right) f\left(d\right) \\
\]

根据题意

\[ f\left(x\right) = \lfloor\frac{n}{x}\rfloor \lfloor\frac{m}{x}\rfloor \\
\]

那么可以得到

\[\begin{aligned}
ans &= \sum_{k\in 条件} \sum_{k|d} \mu\left(\frac{d}{k}\right) \lfloor\frac{n}{d}\rfloor\lfloor\frac{m}{d}\rfloor\\
&= \sum_{d}\lfloor\frac{n}{d}\rfloor\lfloor\frac{m}{d}\rfloor \sum_{k|d}\mu\left(\frac{d}{k}\right) \left(k \in 条件\right)
\end{aligned}
\]

因 \(n \leq 10^{5}\)，其中最多的因子数不会超过 \(19\)。

令 \(c[d][p]\) 表示 \(\sum_{k|d}\mu\left(\frac{d}{k}\right)\)，其中 \(k\) 的因子数\(\leq p\)。通过 \(nlogn\) 暴力打表出 \(p<=19\) 的情况，当 \(p>19\) 时，所有的对数都满足条件。

由于 \(\lfloor\frac{n}{d}\rfloor \lfloor\frac{m}{d}\rfloor\) 的存在，需要整除分块，所以对于求出来的 \(c[d][p]\) 还需要统计前缀和。

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    > File Name    : a.cpp
    > Author       : Jiaaaaaaaqi
    > Created Time : 2019年07月17日 星期三 14时38分33秒
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#include <map>
#include <set>
#include <list>
#include <ctime>
#include <cmath>
#include <stack>
#include <queue>
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#include <string>
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#include <cstdlib>
#include <cstring>
#include <iostream>
#include <algorithm>
#define  lowbit(x)  x & (-x)
#define  mes(a, b)  memset(a, b, sizeof a)
#define  fi         first
#define  se         second
#define  pii        pair<int, int>

typedef unsigned long long int ull;
typedef long long int ll;
const int    maxn = 5e5 + 10;
const int    maxm = 1e5 + 10;
const ll     mod  = 1e9 + 7;
const ll     INF  = 1e18 + 100;
const int    inf  = 0x3f3f3f3f;
const double pi   = acos(-1.0);
const double eps  = 1e-8;
using namespace std;

int n, m, P;
int cas, tol, T;

int pri[maxn], mob[maxn], cnt[maxn];
ll c[maxn][20];
bool ispri[maxn];

void handle() {
	mes(pri, 0), mes(ispri, 1);
	tol = 0;
	int mx = 5e5;
	mob[1] = 1;
	cnt[1] = 0;
	for(int i=2; i<=mx; i++) {
		if(ispri[i]) {
			pri[++tol] = i;
			mob[i] = -1;
			cnt[i] = 1;
		}
		for(int j=1; j<=tol&&i*pri[j]<=mx; j++) {
			ispri[i*pri[j]] = false;
			cnt[i*pri[j]] = cnt[i]+1;
			if(i%pri[j] == 0) {
				mob[i*pri[j]] = 0;
				break;
			} else {
				mob[i*pri[j]] = -mob[i];
			}
		}
	}
	mes(c, 0);
	for(int i=1; i<=mx; i++) {
		for(int j=i; j<=mx; j+=i) {
			c[j][cnt[i]] += mob[j/i];
		}
	}
	for(int i=1; i<=mx; i++) {
		for(int j=1; j<=19; j++) {
			c[i][j] += c[i][j-1];
		}
	}
	for(int i=1; i<=mx; i++) {
		for(int j=0; j<=19; j++) {
			c[i][j] += c[i-1][j];
		}
	}
}

int main() {
	handle();
	scanf("%d", &T);
	while(T--) {
		scanf("%d%d%d", &n, &m, &P);
		if(n > m)	swap(n, m);
		if(P > 19) {
			printf("%lld\n", 1ll*n*m);
			continue;
		}
		ll ans = 0;
		int l = 0, r;
		for(int i=1; i<=n; i++) {
			r = min(n/(n/i), m/(m/i));
			ans += 1ll*(n/i)*(m/i)*(c[r][P]-c[l][P]);
			i = r;
			l = r;
		}
		printf("%lld\n", ans);
	}
    return 0;
}