51 NOD 1239 欧拉函数之和(杜教筛)

1239 欧拉函数之和

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对正整数n，欧拉函数是小于或等于n的数中与n互质的数的数目。此函数以其首名研究者欧拉命名，它又称为Euler’s totient function、φ函数、欧拉商数等。例如：φ(8) = 4（Phi(8) = 4），因为1,3,5,7均和8互质。

S(n) = Phi(1) + Phi(2) + …… Phi(n)，给出n，求S(n)，例如：n = 5，S(n) = 1 + 1 + 2 + 2 + 4 = 10，定义Phi(1) = 1。由于结果很大，输出Mod 1000000007的结果。

Input

输入一个数N。(2 <= N <= 10^10)

Output

输出S(n) Mod 1000000007的结果。

Input示例

5

Output示例

10

/*
杜教筛.
求积性函数前缀和.
欧拉函数因子的phi值之和等于n.
然后求法就和莫比乌斯函数那道题一样了。
注意取模中间有除法,求个逆元就好了。。
*/
#include<iostream>
#include<cstdio>
#define MAXN 2000001
#define ha   1333333
#define mod 1000000007
#define LL unsigned long long
#define ni  500000004
using namespace std;
int phi[MAXN],p[MAXN],cut,pri[MAXN],tot,head[MAXN];
LL n,sum[MAXN];
struct data{int next;LL x,v;}e[MAXN];
bool vis[MAXN];
void add(int u,LL v,LL x)
{
    e[++cut].v=v;e[cut].x=x;e[cut].next=head[u];head[u]=cut;
}
void pre()
{
    phi[1]=1;
    for(int i=2;i<=MAXN-1;i++)
    {
        if(!vis[i]) vis[i]=true,pri[++tot]=i,phi[i]=i-1;
        for(int j=1;j<=tot&&i*pri[j]<=MAXN-1;j++)
        {
            if(!vis[i*pri[j]]) vis[i*pri[j]]=true;
            if(i%pri[j]) phi[i*pri[j]]=phi[i]*(pri[j]-1);
            else {phi[i*pri[j]]=phi[i]*pri[j];break ;}
        }
    }
    for(int i=1;i<=MAXN-1;i++) sum[i]=(sum[i-1]+phi[i])%mod;
    return ;
}
LL slove(LL x)
{
    if(x<MAXN) return sum[x];
    LL ans=0,k=x%ha,last;
    for(int i=head[k];i;i=e[i].next)
      if(e[i].v==x) return e[i].x;
    for(LL i=2;i<=x;i=last+1)
    {
        last=x/(x/i);
        ans=(ans+(last-i+1)%mod*slove(x/i)%mod)%mod;
    }
    ans=((x%mod*(x+1)%mod)%mod*ni%mod-ans+mod)%mod;
    add(k,x,ans);
    return ans;
}
int main()
{
    pre();
    cin>>n;
    cout<<slove(n);
    return 0;
}