题解洛谷P1281 【书的复制】

蒟蒻的 $\operatorname{DP}$ 很菜，$\operatorname{SO}$ 我准备上一套二分的玄学操作。

简单的二分答案

二分主要是用来解决一些最值问题，它可以有效的优化暴力，使复杂度减少到 $O(logn)$。

我先给大家介绍一下二分里一个常用的模型：左闭右开。

如图，这就是个典型的左闭右开模型。其中，黄色部分可以表示成一个区间 $[1,9\}$，其中包含了数字 $1$~$8$，而并非包含 $9$，在二分里我们把它称之为右开。

那么回过头来看 $1$，它是区间内的值，也是开始的值，即 $a.begin()$，在二分里我把它称为左闭。

所以，在一个左闭右开的模型中，区间 $[ll,rr\}$ 表示 $ll$ 至 $rr-1$ 内所有包含的值。

那么回到二分里，我们是不是可以把左边的 $ll$ 标记成一定可以满足的值。右边的 $rr$ 标记成一定不可以满足的值。那么我们就可以通过 $mid=(ll+rr)/2$ 来取得中间值不断更新区间。如果 $mid$ 可行，则 $ll$ 至 $mid$ 都可行，于是区间就缩小到了 $[mid,rr\}$。如果 $mid$ 不可行，则 $mid$ 至 $rr$ 都不可行，于是区间就缩小到了 $[ll,mid\}$。

所以我们可以用一个 $\operatorname{while}$ 循环来不断更新区间。直到 $ll+1=rr$，说明 $ll$ 可行，$ll+1(rr)$ 不可行，则停止。最后的 $ll$ 就是一定可行的最大情况。

这里给个左闭右开的简单模板：

while(ll+1<rr) { //二分答案

	int mid=(ll+rr)>>1;

	if(check(mid)) rr=mid;

	else ll=mid;

}

知道了左闭右开，左开右闭也不难理解了。在一个左开右闭的模型中，区间 $\{ll,rr]$ 表示 $ll+1$ 至 $rr$ 内所有包含的值。

所以，我们可以把左边的 $ll$ 标记成一定不可以满足的值，右边的$rr$ 标记成一定可以满足的值。再通过 $mid$ 不断更新区间，直到 $ll+1=rr$。最后的 $rr$ 就是一定可行的最小情况。

关于本题

题意：$n$ 本书 $m$ 个人，每人抄连续的几本书（不能不抄），求最后时间用的最多的那个人。

二分解题思路：

套一个表示复制时间的区间，逐一 $\operatorname{check}$ 是否可行。采用左开右闭的方式，一开始 $ll=0$ 则一定不可行，$rr$ 等于这些时间的总和则一定可行。再不断取 $mid$ 即可。

如何 $\operatorname{check}$：

二分中的 $\operatorname{check}$ 须按题意模拟，本题中，我们可以通过二分给出的这个时间，来判断能否满足 $m$ 个人就足够干完。所以循环跑一遍就行啦，主要是一些细节可以参考我的代码。

输出过程：

如果已经二分得到了最小的复制时间 $rr$，我们就能倒推把每个人的复制区间找出来。但是由于要尽可能让前面的人少抄写，我们可以倒着循环，让后面的人复制到最大化，前面的人自然就少抄了。

$\operatorname{Code:}$

#include<bits/stdc++.h>

using namespace std;

const int N=505;

int n,m,sum,a[N],s[N],t[N],len;

bool check(int x) {

	int tot=0,sum=1; //tot表示临时时间总和，sum表示人数

	for(int i=1;i<=n;i++) {

		if(a[i]>x)return false; //如果打印一本的时间就不够，直接返回false

		if(tot+a[i]<=x) tot+=a[i]; //连续当前的时间

		else tot=a[i],sum++; //时间不够用了，在来一个人

	}

	return sum<=m;

}

void Point(int x) {

	int tot=0,last=n;

	a[0]=INT_MAX/2; //边界

	for(int i=n;i>=0;i--) {

		if(tot+a[i]<=x) tot+=a[i];

		else {

			len++, s[len]=i+1, t[len]=last; //记录区间

			last=i, tot=a[i];

		}

	}

	for(int i=len;i>=1;i--) cout<<s[i]<<" "<<t[i]<<"\n";

}

void Exit() {exit(0);}

int main() {

	ios::sync_with_stdio(false);

	cin>>n>>m;

	if(m==0) Exit();

	for(int i=1;i<=n;i++) cin>>a[i],sum+=a[i];

	int ll=0,rr=sum;

	while(ll+1<rr) { //二分答案

		int mid=(ll+rr)>>1;

		if(check(mid)) rr=mid;

		else ll=mid;

	}

	Point(rr);

	return 0;

}

$\operatorname{Update}$ $\operatorname{On}$ $\operatorname{2019.03.04}$