最短路问题(dijkstral 算法)(优化待续)
迪杰斯特拉算法是由荷兰计算机科学家狄克斯特拉于1959 年提出的,因此又叫狄克斯特拉算法。是从一个顶点到其余各顶点的最短路径算法,解决的是有向图中最短路径问题。迪杰斯特拉算法主要特点是以起始点为中心向外层层扩展,直到扩展到终点为止。
该算法复杂度为n^2
这里有一篇讲解的很清晰的文章:http://blog.chinaunix.net/uid-26548237-id-3834514.html
下面说说我个人的理解:
就以这张图为例:
要找出A点到其他点的最短路径,应该怎么找?
这个算法的思路是:
- 先找出离A直接连通,且最近的那个点。怎么找?遍历所有的点与A的距离,可以知道AB=6,AC=3。DEF没有与A相连,那AD就设为无穷大。如此一轮比较下来就能知道离A最近的点是C。
- 最近的点找到了,就以这个点出发,继续找离C最近的点。同上也是遍历所有点,但在这个过程中,同时比较A经过C到该点的距离与A直接与该点连通的距离。比如遍历到B点时,比较ACB和AB,如果ACB小于AB,则将A到B的距离保存为ACB。到D点时,比较ACD和AD,以此类推。一轮比较后,在找到离C最近的点的同时,更新了A到各个点的最短距离。直到最后一个点遍历完毕,则A与所有点的最短距离也就知道了。
具体的实现如下:
#include <iostream>
using namespace std; #define MAXVEX 20
#define MAXEDGE 20
#define INFINITY 65535 typedef struct
{
int vexs[MAXVEX];
int arc[MAXVEX][MAXVEX];
int numVertexes,numEdges;
}MGraph; typedef int Patharc[MAXVEX];
typedef int ShortPathTable[MAXVEX]; void CreateGraph(MGraph* G)
{
cout<<"请输入边数和顶点数:\n";
int d,n,i,j;
cin>>d>>n;
G->numVertexes = n;
G->numEdges = d; //给顶点和边初始化
for(i = ;i<G->numVertexes;i++)
G->vexs[i] = i;
for(i = ;i<G->numVertexes;i++)
{
for(j = ;j<G->numVertexes;j++)
{
if(i==j)
G->arc[i][j] = ;
else
G->arc[i][j] = G->arc[j][i] = INFINITY;
}
} G->arc[][]=;
G->arc[][]=;
G->arc[][]=;
G->arc[][]=;
G->arc[][]=; G->arc[][]=;
G->arc[][]=;
G->arc[][]=;
G->arc[][]=;
G->arc[][]=; G->arc[][]=;
G->arc[][]=;
G->arc[][]=;
G->arc[][]=;
G->arc[][]=; G->arc[][]=; for(i = ;i<G->numVertexes;i++)
{
for(j = i;j<G->numVertexes;j++)
{
G->arc[j][i] = G->arc[i][j];
}
}
} /* Floyd算法,求网图G中各顶点v到其余顶点w的最短路径P[v][w]及带权长度D[v][w]。 */
void Dijkstra(MGraph G,int v0, Patharc *P, ShortPathTable *D)
{
int v,w,k,min; int final[MAXVEX];/* final[w]=1表示求得顶点v0至vw的最短路径 */ for(v = ;v<G.numVertexes;v++)
{
(*P)[v] = ;
/* 初始化P */
(*D)[v] = G.arc[v0][v];
/* D[v]值即为对应点间的权值 */
final[v] = ;
} (*D)[v0] = ;
final[v0] = ; /* 开始主循环,每次求得v0到某个v顶点的最短路径 */
for(v = ;v<G.numVertexes;v++)
{
min = INFINITY;/* 当前所知离v0顶点的最近距离 */
for(w = ;w<G.numVertexes;w++)/* 寻找离v0最近的顶点 */
{
if((*D)[w]<min && !final[w])
{
min = (*D)[w]; /* w顶点离v0顶点更近 */
k = w;
}
}
final[k] = ; /* 将目前找到的最近的顶点置为1 */ /* 修正当前最短路径及距离 */
for(w = ;w<G.numVertexes;w++)/* 寻找离v0最近的顶点 */
{
/* 如果经过v顶点的路径比现在这条路径的长度短的话 */
if(min+G.arc[k][w] < (*D)[w] && !final[w])
{
/* 说明找到了更短的路径,修改D[w]和P[w] */
(*D)[w] = min+G.arc[k][w];
(*P)[w] = k;
}
}
} } int main()
{
int v0,i,j; MGraph G; Patharc P;
ShortPathTable D; CreateGraph(&G);
v0 = ;
Dijkstra(G,v0,&P,&D); cout<<"最短路径倒序如下:\n";
for(i = ;i<G.numVertexes;i++)
{
cout<<"v0 - v"<<i<<" : ";
j = i;
while(P[j]!=)
{
cout<<P[j]<<" ";
j = P[j];
}
cout<<endl;
} cout<<"\n源点到各顶点的最短路径长度为:\n"; for(i=; i<G.numVertexes; ++i)
{
cout<<"v"<<G.vexs[]<<" - v"<<G.vexs[i]<<" : "<<D[i]<<endl;
}
return ; }
算法优化:
参考这篇文章:http://blog.csdn.net/zhongyanghu27/article/details/8221276
该算法复杂度为n^2,我们可以发现,如果边数远小于n^2,对此可以考虑用堆这种数据结构进行优化,取出最短路径的复杂度降为O(1);每次调整的复杂度降为O(elogn);e为该点的边数,所以复杂度降为O((m+n)logn)。
实现
/*
Dijkstra的算法思想:
在所有没有访问过的结点中选出dis(s,x)值最小的x
对从x出发的所有边(x,y),更新
dis(s,y)=min(dis(s,y),dis(s,x)+dis(x,y))
*/ #include <iostream>
#include <cstdio>
#include <queue>
#include <vector>
using namespace std;
const int Ni = ;
const int INF = <<; //这里是位运算<<,1<<3=8,1<<27即2的27次方 typedef struct node
{
int x;
int d;
node(){}
node(int a,int b)
{x = a;d = b;} //>对应小顶堆,<对应大顶堆
bool operator <(const node& a) const
{
if(d == a.d)
return x<a.x;
else
return d>a.d;
}
}node; vector<node> eg[Ni];//eg是一个node数组,保存邻接关系 int dis[Ni],n;//dis使用1-n的部分 void Dijkstra(int s)
{
int i,j;
for(i=;i<=n;i++)//要到n
dis[i] = INF;
priority_queue<node> q;
dis[s] = ;
q.push(node(s,dis[s]));
while(!q.empty())
{
node x = q.top();
q.pop();
for(j = ;j<eg[x.x].size();j++)//遍历x的所有邻接点
{
node y = eg[x.x][j];//y是x的邻接点
if(dis[y.x]>x.d+y.d)
{
dis[y.x] = x.d+y.d;
q.push(node(y.x,dis[y.x]));
}
}
} } int main()
{
int m,a,b,d;//关系个数
while(cin>>n>>m,m+n)
{
for(int i = ;i<=n;i++)
eg[i].clear();//初始化
while(m--)
{
cin>>a>>b>>d;
eg[a].push_back(node(b,d));
eg[b].push_back(node(a,d));
}
Dijkstra();
for(int i = ;i<=n;i++)
cout<<dis[i]<<" ";
} return ;
}
/*
6 6
1 2 2
3 2 4
1 4 5
2 5 2
3 6 3
5 6 3
*/
/*
使用pair代替结构
*/ #include <iostream>
#include <cstdio>
#include <queue>
#include <vector>
using namespace std;
const int Ni = ;
const int INF = <<; typedef pair<int,int> pa; int dis[Ni],n;//dis使用1-n的部分 vector<pair<int,int> > eg[Ni]; void Dijkstra(int s)
{
int i,j;
for(i=;i<=n;i++)//要到n
dis[i] = INF;
priority_queue< pa,vector<pa>,greater<pa> >q; //优先级队列:小顶堆
dis[s] = ;
q.push(make_pair(s,dis[s])); while(!q.empty())
{
pa x = q.top();
q.pop();
int w = x.first;
for(j = ;j<eg[w].size();j++)//遍历x的所有邻接点
{
pa y = eg[w][j];//y是x的邻接点
int u = y.first;
if(dis[u]>x.second+y.second)
{
dis[u] = x.second+y.second;
q.push(make_pair(u,dis[u]));
}
}
} } int main()
{
int m,a,b,d;//关系个数
while(cin>>n>>m,m+n)
{
for(int i = ;i<=n;i++)
eg[i].clear();//初始化
while(m--)
{
cin>>a>>b>>d;
eg[a].push_back(make_pair(b,d));
eg[b].push_back(make_pair(a,d));
}
Dijkstra();
for(int i = ;i<=n;i++)
cout<<dis[i]<<" ";
} return ;
}
/*
6 6
1 2 2
3 2 4
1 4 5
2 5 2
3 6 3
5 6 3
*/
优化策略:将要扫描的结点按其对应弧的权值进行顺序排列,每循环一次即可得到符合条件的结点,大大提高了算法的执行效率
A*算法优化策略
问题:Dijkstra算法基于广度优先搜索策略,即从源点出发,通过权值迭代遍历所有其他结点后,最后得到从源点到其他各结点的最短路径。整个搜索好似一个圆形向外展开,直到到达目的地,这样的搜索方式是盲目的。很明显这样求解一定能找到最优解,但节点展开的数量和距离成级数增加,会导致大量无效点的搜索,大大的降低搜索的效率。
优化策略:采用改进的Dijkstra算法——A*算法。A*算法是人工智能运用在游戏中的一个重要实践,它主要是解决路径搜索问题。A*算法实际是一种启发式搜索。发表论文。所谓启发式搜索,就是利用一个估价函数judge()评估每次决策的价值,决定先尝试哪一种方案。这样可以极大地优化普通的广度优先搜索。从Dijkstra算法到A*算法是判断准则的引入,如果这个判断条件不成立,同样地,只能采用Dijkstra算法。所以A*算法中的估价函数是至关重要[3]。
扇形优化策略
问题:Dijkstra算法的搜索过程好似以源点为圆心的一系列同心圆向外展开,搜索过程中没有考虑到终点所在方向或位置,搜索是盲目的。这样导致大量的无用临时结点被反复搜索,成为实际应用中的瓶颈。
优化策略:从尽量减少最短路径分析过程中搜索的临时结点数量,限制范围搜索和限定方向搜索考虑进行优化。那么这种有损算法是否可行呢?我们知道,现实生活中行进,不会向着目的地的相反方向行进,否则就是南辕北辙。所以,当所研究的网络可以抽象化为平面网络的条件下,也不必搜索全部结点,可以在以源点到终点所在直线为轴线的扇形区域内搜索最短路径。这样,搜索方向明显地趋向终点,提高了搜索速度,虽然抛弃了部分结点,但基本上不影响搜索的成功率[5]。
邻接点优化策略
问题:Dijkstra算法在提取最短路径结点时需要访问所有的未确定最短路径的结点,算法的时间复杂度为O(n2),如果只希望找到从源点到某一特定的终点的最短路径也不例外。结点数n越大,算法的计算效率和存储效率越低。
优化策略:只对最短路径上结点的邻接点作处理,不涉及其他结点。即(1)只从源点的邻接点集合中选择权值最小的结点作为转接点,将此转接点加入已确定最短路径的结点集合S中;(2)对此转接点的邻接点集合与S的差集中的结点的权值进行更新;(3)从S中所有结点的邻接点集合的并集与S的差集中选择权值最小的结点作为下一个转接点,并将此转接点加入S中。重复(2),(3)操作,直至所有的结点确定最短路径。优化算法在更新最短路径值与选择最短路径值最小的结点时,仅仅涉及相关结点的邻接点集合及S集合中所有结点的邻接点集合与S集合的差集,时间复杂度取决于转接点的邻接点的数量多少,减少了计算次数与比较次数
参考文献:
[1] 严蔚敏,吴伟民. 数据结构(C语言版)[M]. 北京:清华大学出版社,1997,186~190.
[2] 谢柏青,佘晓歌. 算法与数据结构[M]. 北京:高等教育出版社,2001,230~232.
[3] 陈益富,卢 潇,丁豪杰. 对Dijkstra算法的优化策略研究[J]. 计算机技术与发展,2006,16(9):73~75.
[4] 章永龙. Dijkstra最短路径算法优化[J]. 南昌工程学院学报,2006,25(3):30~33.
[5] 胡树玮,张修如,赵 洋.扇形优化Dijkstra算法[J]. 计算机技术与发展,2006,16(12):49~51.
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