ACM 第二十天

积性函数、杜教筛

练习题

莫比乌斯函数之和

51Nod - 1244

莫比乌斯函数，由德国数学家和天文学家莫比乌斯提出。梅滕斯(Mertens)首先使用μ(n)（miu(n)）作为莫比乌斯函数的记号。具体定义如下：

如果一个数包含平方因子，那么miu(n) = 0。例如：miu(4), miu(12), miu(18) = 0。

如果一个数不包含平方因子，并且有k个不同的质因子，那么miu(n) = (-1)^k。例如：miu(2), miu(3), miu(30) = -1,miu(1), miu(6), miu(10) = 1。

给出一个区间a,b

，S(a,b) = miu(a) + miu(a + 1) + ...... miu(b)。

例如：S(3, 10) = miu(3) + miu(4) + miu(5) + miu(6) + miu(7) + miu(8) + miu(9) + miu(10)

= -1 + 0 + -1 + 1 + -1 + 0 + 0 + 1 = -1。

Input输入包括两个数a, b，中间用空格分隔(2 <= a <= b <= 10^10)Output输出S(a, b)。Sample Input

3 10

Sample Output

-1

最大公约数之和 V3

 51Nod - 1237 
给出一个数N，输出小于等于N的所有数，两两之间的最大公约数之和。

 

相当于计算这段程序（程序中的gcd(i,j)表示i与j的最大公约数）：

由于结果很大，输出Mod 1000000007的结果。

G=0;

for(i=1;i<N;i++)

for(j=1;j<=N;j++)

{

    G = (G + gcd(i,j)) %
 1000000007;

}

Input输入一个数N。(2 <= N <= 10^10)Output输出G Mod 1000000007的结果。Sample Input

100

Sample Output

31080