时序分析：KMP算法用于序列识别

考研基础资料之一的《算法与数据结构》，KMP算法作为串匹配的基本算法，为必考题目之一。对于算法入门来说，也是复杂度稍高的一个基本算法。

KMP算法作为串匹配的非暴力算法，是为了减少回溯而设计的。对于固定串的匹配是合适的，对于变长串的匹配，需要引入更复杂的设计，其实并不合适变长手势Action识别。

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kmp算法是一个效率非常高的字符串匹配算法。不过由于其难以理解，所以在很长的一段时间内一直没有搞懂。虽然网上有很多资料，但是鲜见好的博客能简单明了地将其讲清楚。在此，综合网上比较好的几个博客（参见最后），尽自己的努力争取将kmp算法思想和实现讲清楚。

kmp算法完成的任务是：给定两个字符串O和f，长度分别为n和m，判断f是否在O中出现，如果出现则返回出现的位置。常规方法是遍历a的每一个位置，然后从该位置开始和b进行匹配，但是这种方法的复杂度是O(nm)。kmp算法通过一个O(m)的预处理，使匹配的复杂度降为O(n+m)。

kmp算法思想

我们首先用一个图来描述kmp算法的思想。在字符串O中寻找f，当匹配到位置i时两个字符串不相等，这时我们需要将字符串f向前移动。常规方法是每次向前移动一位，但是它没有考虑前i-1位已经比较过这个事实，所以效率不高。事实上，如果我们提前计算某些信息，就有可能一次前移多位。假设我们根据已经获得的信息知道可以前移k位，我们分析移位前后的f有什么特点。我们可以得到如下的结论：

• A段字符串是f的一个前缀。
• B段字符串是f的一个后缀。
• A段字符串和B段字符串相等。

所以前移k位之后，可以继续比较位置i的前提是f的前i-1个位置满足：长度为i-k-1的前缀A和后缀B相同。只有这样，我们才可以前移k位后从新的位置继续比较。

所以kmp算法的核心即是计算字符串f每一个位置之前的字符串的前缀和后缀公共部分的最大长度（不包括字符串本身，否则最大长度始终是字符串本身）。获得f每一个位置的最大公共长度之后，就可以利用该最大公共长度快速和字符串O比较。当每次比较到两个字符串的字符不同时，我们就可以根据最大公共长度将字符串f向前移动(已匹配长度-最大公共长度)位，接着继续比较下一个位置。事实上，字符串f的前移只是概念上的前移，只要我们在比较的时候从最大公共长度之后比较f和O即可达到字符串f前移的目的。

next数组计算

理解了kmp算法的基本原理，下一步就是要获得字符串f每一个位置的最大公共长度。这个最大公共长度在算法导论里面被记为next数组。在这里要注意一点，next数组表示的是长度，下标从1开始；但是在遍历原字符串时，下标还是从0开始。假设我们现在已经求得next[1]、next[2]、……next[i]，分别表示长度为1到i的字符串的前缀和后缀最大公共长度，现在要求next[i+1]。由上图我们可以看到，如果位置i和位置next[i]处的两个字符相同（下标从零开始），则next[i+1]等于next[i]加1。如果两个位置的字符不相同，我们可以将长度为next[i]的字符串继续分割，获得其最大公共长度next[next[i]]，然后再和位置i的字符比较。这是因为长度为next[i]前缀和后缀都可以分割成上部的构造，如果位置next[next[i]]和位置i的字符相同，则next[i+1]就等于next[next[i]]加1。如果不相等，就可以继续分割长度为next[next[i]]的字符串，直到字符串长度为0为止。由此我们可以写出求next数组的代码（java版）：

  public int[] getNext(String b)
    {
        int len=b.length();
        int j=0;  

        int next[]=new int[len+1];//next表示长度为i的字符串前缀和后缀的最长公共部分，从1开始
        next[0]=next[1]=0;  

        for(int i=1;i<len;i++)//i表示字符串的下标，从0开始
        {//j在每次循环开始都表示next[i]的值，同时也表示需要比较的下一个位置
            while(j>0&&b.charAt(i)!=b.charAt(j))j=next[j];
            if(b.charAt(i)==b.charAt(j))j++;
            next[i+1]=j;
        }  

        return next;
    }

上述代码需要注意的问题是，我们求取的next数组表示长度为1到m的字符串f前缀的最大公共长度，所以需要多分配一个空间。而在遍历字符串f的时候，还是从下标0开始(位置0和1的next值为0，所以放在循环外面)，到m-1为止。代码的结构和上面的讲解一致，都是利用前面的next值去求下一个next值。

字符串匹配

计算完成next数组之后，我们就可以利用next数组在字符串O中寻找字符串f的出现位置。匹配的代码和求next数组的代码非常相似，因为匹配的过程和求next数组的过程其实是一样的。假设现在字符串f的前i个位置都和从某个位置开始的字符串O匹配，现在比较第i+1个位置。如果第i+1个位置相同，接着比较第i+2个位置；如果第i+1个位置不同，则出现不匹配，我们依旧要将长度为i的字符串分割，获得其最大公共长度next[i]，然后从next[i]继续比较两个字符串。这个过程和求next数组一致，所以可以匹配代码如下（java版）：

 public void search(String original, String find, int next[]) {
        int j = 0;
        for (int i = 0; i < original.length(); i++) {
            while (j > 0 && original.charAt(i) != find.charAt(j))
                j = next[j];
            if (original.charAt(i) == find.charAt(j))
                j++;
            if (j == find.length()) {
                System.out.println("find at position " + (i - j));
                System.out.println(original.subSequence(i - j + 1, i + 1));
                j = next[j];
            }
        }
    }  

上述代码需要注意的一点是，每次我们得到一个匹配之后都要对j重新赋值。

复杂度

kmp算法的复杂度是O(n+m)，可以采用均摊分析来解答，具体可参考算法导论。

参考资料

1.     kmp算法小结

2.     kmp算法详解

3.     kmp算法

4.     kmp算法的理解与实现