HDU 6217 BBP Formula (数学)

题目链接： HDU 7217

题意：

题目给你可以计算 \(π\) 的公式：

\(\pi = \sum_{k=0}^{\infty}[\frac{1}{16^k}(\frac{4}{8k+1})-(\frac{2}{8k+4})-(\frac{1}{8k+5})-(\frac{1}{8k+6})]\)

告诉你可以求十六进制下的小数点后 \(π\) 的第 \(n\) 位，而不用计算前 \(n-1\) 项。

十六进制表示下，问你 \(π\) 的小数点后的第 \(n\) 位是多少 $ (1 ≤ n ≤ 100000)$ 。

Paper链接：

BBP Paper http://www.experimentalmath.info/bbp-codes/bbp-alg.pdf

简要题解：

其实看上面的 \(Paper\) 就知道怎么做了。

我简单解析一下。

把公式的第一项拿出来分析：

\(\sum_{k=0}^{\infty}\frac{1}{16^k}(\frac{4}{8k+1}) = \sum_{k=0}^{\infty}(\frac{4}{16^k(8k+1)}) = \sum_{k=0}^{\infty}(\frac{1}{16^k(8k+1)})\).

把公式拆分：

\(\sum_{k=0}^{\infty}(\frac{1}{16^k(8k+1)}) = \sum_{k=0}^{\infty}(\frac{1}{16^k(8k+1)}) = \sum_{k=0}^{n}(\frac{1}{16^k(8k+1)}) + \sum_{k=n + 1}^{\infty}(\frac{1}{16^k(8k+1)})\).

拆分之后我们就可以得到第 \(n\) 位。

将式子乘上 \(16^n\) ,使得小数点往后移动 \(n\) 位。

\([\sum_{k=0}^{n}(\frac{1}{16^k(8k+1)}) + \sum_{k=n + 1}^{\infty}(\frac{1}{16^k(8k+1)})]*16^{n}==> \sum_{k=0}^{n}(\frac{16^{n-k}}{(8k+1)}) + \sum_{k=n + 1}^{\infty}(\frac{16^{n-k}}{(8k+1)})\).

前一项 \(\sum_{k=0}^{n}(\frac{16^{n-k}}{(8k+1)})\) 为了避免高精度，可以化成 \(\sum_{k=0}^{n}(\frac{16^{n-k} mod (8k+1)}{(8k+1)})\).

后一项 \(\sum_{k=n + 1}^{\infty}(\frac{16^{n-k}}{(8k+1)})\) 就不用简化了,将 \(\infty\) 取够一定范围就可以了。

令 \(S_1 = \sum_{k=0}^{n}(\frac{16^{n-k}}{(8k+1)}) + \sum_{k=n + 1}^{\infty}(\frac{16^{n-k}}{(8k+1)})\).

那么，答案就是 \(4S_1 - 2S_2 - S_3 - S_4\)的小数部分。因为得到的只是小数部分，所以再乘以 \(16\) 后，得到的整数部分转化成十六进制就可以啦。

时间复杂度：\(O(nlogn)\)

所以，我是不是可以出一道关于计算二进制表示下的 \(log2\) 的题 ???

#include<bits/stdc++.h>
using namespace std;
typedef long long ll;

char print(int x)
{
	if(x>=0 && x<=9)return x + '0';
	return x+55;
}
ll qpower(ll a, ll b, ll mod)
{
        ll res = 1;
        while(b)
		{
            if(b & 1) res = a * res % mod;
            b >>= 1;
            a = a * a % mod;
        }
        return res;
}
double bbp(int n,ll k,ll b)
{
	double res = 0;
	for(int i=0;i<=n;i++)
	{
		res += (qpower(16,n-i,8*i+b) * 1.0/(8*i+b));
	}

	for(int i = n + 1;i <= n + 1000 + 1;i++)
	{
		res += (powf(16,n-i)* 1.0/(8*i+b));
	}
	return k * res;
}

int main()
{
	int t,n;
	cin>>t;
	int cas = 1;
	while(t--)
	{
		double ans = 0;
		cin>>n;
		n--;
		ans = bbp(n,4,1) - bbp(n,2,4) - bbp(n,1,5) - bbp(n,1,6);
	//	cout<<"ans="<<ans<<endl;
		ans = ans - (int)ans;
		if(ans<0)ans+=1;
		ans*=16;
		char c ;
		c = print(ans);
		printf("Case #%d: %d %c\n",cas++,n+1,c);
	}
	return 0;
 }