数论之证明数n等于其因数的欧拉函数值之和

定理：

任何正整数n等于其因数的欧拉函数值之和，即∑_d|nφ(d)=n

证明：

设一个集合{1/n,2/n,3/n,...,(n-1)/n,n/n}

对于上述的分式集合，若我们都将其化简至最简形式，设其中一个最简形式是a/b，那么我们一定有：

b|n ①

(a,b)=1 ②

a<=b ③

由②③可得，对于一个确定的b，它对应的a的个数为φ(b)(根据欧拉函数的定义：φ(n)=1到n中与n互质的数的个数)

那么我们再考虑，每一个最简形式a/b都是互相不同的，因为它们都是最简形式

而且，对于上述分数集合来说每一个元素都可以化简成最简形式(完备性)，而元素的个数正好就是n

于是定理得证