https://www.vijos.org/p/1067

非常easy推出递推式f[n] = f[n-1]+f[n-2]+......+f[n-k]。

构造矩阵的方法:构造一个k*k的矩阵。当中右上角的(k-1)*(k-1)的矩阵是单位矩阵,第k行的每一个数分别相应f[n-1],f[n-2],,f[n-k]的系数。然后构造一个k*1的矩阵,它的第i行代表f[i](1 <= i <= k),是经过直接递推得到的。设ans[][]是第一个矩阵的n-k次幂乘上第二个矩阵。f[n]就是ans[k][1]。



注意:用__int64



更为一般的构造递推式矩阵的方法是:

我们能够用上面的方法二分求出不论什么一个线性递推式的第n项。其相应矩阵的构造方法为:在右上角的(n-1)*(n-1)的小矩阵中的主对角线上填1。矩阵第n行填相应的系数,其他地方都填0。

比如。我们能够用以下的矩阵乘法来二分计算f(n)
= 4f(n-1) - 3f(n-2) + 2f(n-4)的第k项:

     



#include <stdio.h>
#include <iostream>
#include <map>
#include <set>
#include <list>
#include <stack>
#include <vector>
#include <math.h>
#include <string.h>
#include <queue>
#include <string>
#include <stdlib.h>
#include <algorithm>
#define LL long long
#define _LL __int64
#define eps 1e-12
#define PI acos(-1.0)
#define C 240
#define S 20
using namespace std; const int maxn = 15;
const int mod = 7777777; int k;
struct matrix
{
_LL mat[maxn][maxn];
void init()
{
memset(mat,0,sizeof(mat));
for(int i = 1; i <= maxn; i++)
mat[i][i] = 1;
}
}a,b; matrix mul(matrix a, matrix b)
{
matrix ans;
memset(ans.mat,0,sizeof(ans.mat)); for(int i = 1; i <= k; i++)
{
for(int g = 1; g <= k; g++)
{
if(a.mat[i][g] == 0) continue;
for(int j = 1; j <= k; j++)
{
ans.mat[i][j] = (ans.mat[i][j] + a.mat[i][g] * b.mat[g][j])%mod;
}
}
}
return ans;
} matrix pow(matrix a, int n)
{
matrix ans;
ans.init(); while(n)
{
if(n&1)
ans = mul(ans,a);
a = mul(a,a);
n >>= 1;
}
return ans;
} int main()
{
int n;
while(~scanf("%d %d",&k,&n))
{
memset(a.mat,0,sizeof(a.mat)); for(int i = 1; i <= k-1; i++)
a.mat[i][i+1] = 1;
for(int i = 1; i <= k; i++)
a.mat[k][i] = 1; matrix ans = pow(a,n-k);
memset(b.mat,0,sizeof(b.mat)); b.mat[0][1] = 1;
for(int i = 1; i <= k; i++)
{
for(int j = 0; j < i; j++)
b.mat[i][1] += b.mat[j][1];
}
ans = mul(ans,b);
printf("%I64d\n",ans.mat[k][1]);
}
return 0;
}



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