poj 2154 Color【polya定理+欧拉函数】

根据polya定理，答案应该是

\[\frac{1}{n}\sum_{i=1}^{n}n^{gcd(i,n)}
\]

但是这个显然不能直接求，因为n是1e9级别的，所以推一波式子：

\[\frac{1}{n}\sum_{i=1}^{n}n^{gcd(i,n)}
\]

\[=\frac{1}{n}\sum_{d|n}n^d\sum_{i=1}^{n}[gcd(i,n)==d]
\]

\[=\frac{1}{n}\sum_{d|n}n^d\sum_{i=1}^{\frac{d}{n}}[gcd(i,\frac{d}{n})==1]
\]

\[=\frac{1}{n}\sum_{d|n}n^d\varphi (\frac{d}{n})
\]

\[=\sum_{d|n}n^{d-1}\varphi (\frac{d}{n})
\]

这样就可以求了，但是注意时间还是很紧，所以开long long会T，求phi不预处理质数也会T

#include<iostream>
#include<cstdio>
using namespace std;
const int N=100005;
int T,n,mod,ans,p[N],tot;
bool v[N];
int ksm(int a,int b)
{
	int r=1;
	a%=mod;
	while(b)
	{
		if(b&1)
			r=r*a%mod;
		a=a*a%mod;
		b>>=1;
	}
	return r;
}
int phi(int n)
{
    int r=n;
    for(int i=0;p[i]*p[i]<=n;i++)
        if(n%p[i]==0)
        {
            r=r-r/p[i];
            while(n%p[i]==0)
				n/=p[i];
        }
    if(n>1)
		r=r-r/n;
    return r%mod;
}
int main()
{
    for(int i=2;i<=100000;i++)
        if(!v[i])
        {
            p[tot++]=i;
            for(int j=i+i;j<100000;j+=i)
                v[j]=1;
        }
	scanf("%d",&T);
	while(T--)
	{
		scanf("%d%d",&n,&mod);
		ans=0;
		for(int i=1;i*i<=n;i++)
			if(n%i==0)
			{
				ans=(ans+ksm(n,i-1)*phi(n/i))%mod;
				if(i*i!=n)
					ans=(ans+ksm(n,n/i-1)*phi(i))%mod;
			}
		printf("%d\n",ans);
	}
	return 0;
}