SPOJ1557 GSS2 Can you answer these queries II 历史最值线段树
题意:给出一个长度为$N$的数列,$Q$次询问,每一次询问$[l,r]$之间的最大子段和,相同的数只计算一次。所有数字的绝对值$\leq 10^5$
GSS系列中不板子的大火题,单独拿出来写
因为相同的数字只计算一次,像GSS1中的合并操作就无法进行,传统做法失效,我们需要一种更强大的做法。
考虑到去重,与HH的项链很相似,所以考虑离线、对询问以$r$从小到大进行排序后进行计算。
考虑到每一次$r$的增加都会产生新的可能的最大子段和,我们用如下方式维护线段树:对于第$i$个叶子节点,它包含两个元素:$sum$表示$\sum \limits_i^r num_i$(不算重复元素),$hisMax$表示$\sum \limits_i^r num_i$在曾经的过程中取到的最大值(也就是左端点为$l$,右端点在$[l,r]$之间的最大子段和)。而对于每一个非叶子节点,它的$sum$和$hisMax$都取其左右儿子的最大值。这样每一次询问操作只需要询问$[l,r]$的$hisMax$即可。
对于$r$的右移操作,设$pre_i$表示数字$i$最后一次出现的位置,将右端点从$r$移到$r+1$的过程就是对$pre_{num_{r+1}}$到$r+1$的所有位置加上$num_{r+1}$的操作。
考虑到复杂度,所以我们需要用到懒标记,而pushdown在其中是十分讲究的,具体代码和解释在下面
($h\_tag$表示$hisMax$的标记(相当于在当前$hisMax$还需要加多少),$s\_tag$表示$sum$的懒标记)
inline void pushdown(int now){ if(Tree[now].h_tag){ Tree[lch].hisMax = max(Tree[lch].hisMax , Tree[lch].sum + Tree[now].h_tag); Tree[rch].hisMax = max(Tree[rch].hisMax , Tree[rch].sum + Tree[now].h_tag); Tree[lch].h_tag = max(Tree[lch].h_tag , Tree[lch].s_tag + Tree[now].h_tag); Tree[rch].h_tag = max(Tree[rch].h_tag , Tree[rch].s_tag + Tree[now].h_tag); /* h_tag和hisMax实质上都是前缀最大值 在一个后缀加入的时候(也就是Tree[now].h_tag传下来的时候),s_tag和sum可以跟当前的h_tag接上变成一个新的前缀而s_tag与h_tag两个标记对应的区间的左端点一定是一致的,sum和hisMax显然是一致的,于是h_tag和hisMax可以这样转移 */ Tree[now].h_tag = ; } if(Tree[now].s_tag){ Tree[lch].sum += Tree[now].s_tag; Tree[rch].sum += Tree[now].s_tag; Tree[lch].s_tag += Tree[now].s_tag; Tree[rch].s_tag += Tree[now].s_tag; Tree[now].s_tag = ; }//这个没什么好说的,基本的线段树操作 } //注意一定要先传h_tag再传s_tag,因为h_tag和hisMax传下来的时候是与之前的那一段进行连接,而不是与当前计算的这一段进行连接
完整代码:
#include<bits/stdc++.h> #define lch (now << 1) #define rch (now << 1 | 1) #define mid ((l + r) >> 1) #define int long long //This code is written by Itst using namespace std; inline int read(){ ; ; char c = getchar(); while(c != EOF && !isdigit(c)){ if(c == '-') f = ; c = getchar(); } while(c != EOF && isdigit(c)){ a = (a << ) + (a << ) + (c ^ '); c = getchar(); } return f ? -a : a; } ; struct node{ int sum , hisMax , s_tag , h_tag; }Tree[MAXN << ]; struct query{ int l , r , ind; }now[MAXN]; map < int , int > appear; int N , Q , num[MAXN] , ans[MAXN]; bool operator <(query a , query b){ return a.r < b.r; } inline void pushup(int now){ Tree[now].sum = max(Tree[lch].sum , Tree[rch].sum); Tree[now].hisMax = max(Tree[lch].hisMax , Tree[rch].hisMax); } inline void pushdown(int now){ if(Tree[now].h_tag){ Tree[lch].hisMax = max(Tree[lch].hisMax , Tree[lch].sum + Tree[now].h_tag); Tree[rch].hisMax = max(Tree[rch].hisMax , Tree[rch].sum + Tree[now].h_tag); Tree[lch].h_tag = max(Tree[lch].h_tag , Tree[lch].s_tag + Tree[now].h_tag); Tree[rch].h_tag = max(Tree[rch].h_tag , Tree[rch].s_tag + Tree[now].h_tag); Tree[now].h_tag = ; } if(Tree[now].s_tag){ Tree[lch].sum += Tree[now].s_tag; Tree[rch].sum += Tree[now].s_tag; Tree[lch].s_tag += Tree[now].s_tag; Tree[rch].s_tag += Tree[now].s_tag; Tree[now].s_tag = ; } } void modify(int now , int l , int r , int L , int R , int add){ if(l >= L && r <= R){ Tree[now].s_tag += add; Tree[now].sum += add; Tree[now].hisMax = max(Tree[now].hisMax , Tree[now].sum); Tree[now].h_tag = max(Tree[now].h_tag , Tree[now].s_tag); return; } pushdown(now); if(mid >= L) modify(lch , l , mid , L , R , add); if(mid < R) modify(rch , mid + , r , L , R , add); pushup(now); } int query(int now , int l , int r , int L , int R){ if(l >= L && r <= R) return Tree[now].hisMax; pushdown(now); ; if(mid >= L) maxN = query(lch , l , mid , L , R); if(mid < R) maxN = max(maxN , query(rch , mid + , r , L , R)); return maxN; } signed main(){ #ifndef ONLINE_JUDGE freopen("1557.in" , "r" , stdin); //freopen("1557.out" , "w" , stdout); #endif N = read(); ; i <= N ; ++i) num[i] = read(); Q = read(); ; i <= Q ; ++i){ now[i].l = read(); now[i].r = read(); now[i].ind = i; } sort(now + , now + Q + ); ; i <= Q ; ++i){ ].r + ; j <= now[i].r ; ++j){ modify( , , N , appear[num[j]] + , j , num[j]); appear[num[j]] = j; } ans[now[i].ind] = query( , , N , now[i].l , now[i].r); } ; i <= Q ; ++i) printf("%lld\n" , ans[i]); ; }
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