CF915G Coprime Arrays 莫比乌斯反演、差分、前缀和

传送门

---

差分是真心人类智慧……完全不会

这么经典的式子肯定考虑莫比乌斯反演，不难得到\(b_k = \sum\limits_{i=1}^k \mu(i) \lfloor\frac{k}{i} \rfloor^n\)

直接做是\(O(n\sqrt{n})\)的不够优秀，但是我们需要求的是\(b_1\)到\(b_K\)而不是单独的一个\(b\)，这是最重要的一个性质。

考虑每一个数\(p\)对\(b_1\)到\(b_k\)的贡献。因为\(\mu(p)\)不变，所以对于\(\forall k \in Z_+ ,\)数\(p\)对\(b_{kp}\)到\(b_{(k+1)p-1}\)的贡献是一致的，都是\(\mu(p) k^n\)。既然对于一段区间的贡献相同，那就差分一下，最后前缀和统计答案即可。

总复杂度为预处理\(n\)次方的\(O(klogn)\)加上差分时的\(O(klogk)\)。

#include<iostream>
#include<cstdio>
#include<cstdlib>
#include<ctime>
#include<cctype>
#include<algorithm>
#include<cstring>
#include<iomanip>
#include<queue>
#include<map>
#include<set>
#include<bitset>
#include<stack>
#include<vector>
#include<cmath>
#include<random>
#include<cassert>
//This code is written by Itst
using namespace std;

inline int read(){
    int a = 0;
    char c = getchar();
    bool f = 0;
    while(!isdigit(c) && c != EOF){
        if(c == '-')
            f = 1;
        c = getchar();
    }
    if(c == EOF)
        exit(0);
    while(isdigit(c)){
        a = a * 10 + c - 48;
        c = getchar();
    }
    return f ? -a : a;
}

#define ll long long
const int MAXN = 2e6 + 3 , MOD = 1e9 + 7;
int powx[MAXN] , prime[MAXN] , mu[MAXN] , cf[MAXN];
bool nprime[MAXN];
int cnt , N , K;

inline int poww(ll a , int b){
    int times = 1;
    while(b){
        if(b & 1)
            times = times * a % MOD;
        a = a * a % MOD;
        b >>= 1;
    }
    return times;
}

void init(){
    for(int i = 1 ; i <= K ; ++i)
        powx[i] = poww(i , N);
    mu[1] = 1;
    for(int i = 2 ; i <= K ; ++i){
        if(!nprime[i]){
            prime[++cnt] = i;
            mu[i] = -1;
        }
        for(int j = 1 ; prime[j] * i <= K ; ++j){
            nprime[prime[j] * i] = 1;
            if(i % prime[j] == 0)
                break;
            mu[prime[j] * i] = mu[i] * -1;
        }
    }
}

int main(){
#ifndef ONLINE_JUDGE
    freopen("in","r",stdin);
    //freopen("out","w",stdout);
#endif
    N = read();
    K = read();
    init();
    for(int i = 1 ; i <= K ; ++i)
        for(int j = 1 ; j * i <= K ; ++j)
            (cf[j * i] += mu[i] * (powx[j] - powx[j - 1] + MOD) % MOD) %= MOD;
    int ans = 0;
    for(int i = 1 ; i <= K ; ++i){
        cf[i] = (0ll + MOD + cf[i] + cf[i - 1]) % MOD;
        ans = (ans + (cf[i] ^ i)) % MOD;
    }
    cout << ans;
    return 0;
}