一个数学不好的菜鸡的快速沃尔什变换(FWT)学习笔记

曾经某个下午我以为我会了FWT，结果现在一丁点也想不起来了……看来“学”完新东西不经常做题不写博客，就白学了 = =

我没啥智商，网上的FWT博客我大多看不懂，下面这篇博客是留给我我再次忘记FWT时看的，所以像我一样的没智商选手应该也能看懂！有智商选手更能看懂咯！

（写得非常匆忙，如有任何错误请在评论区指正！TAT）

什么是FWT

FWT是用来快速做位运算卷积的。位运算卷积是什么？给出两个数组$A$和$B$（长度相等且是2的整数次幂），求一个数组$C$，满足$A * B = C$，这个“$*$”的定义如下：$$A * B = C \Leftrightarrow C_k = \sum_{i\oplus j = k}A_i \cdot B_j$$ 其中“$\oplus$”是一种位运算，可以是与(&)、或(|)、异或(^)。

为什么要有一个变换呢？回想一下FFT，FFT求$A*B$时（这个“$*$”是多项式乘法那个卷积），是把$A$和$B$各自“变换”了一下，然后把变换后的数组按位相乘，得到“变换后的$C$”——$tf(C)$，然后把$tf(C)$逆变换回去，得到$C$数组。

FWT做位运算卷积的原理也类似，想要实现快速位运算卷积，就要找到一种变换$tf$满足$tf(A*B) = tf(A)\times tf(B)$，这里的“$\times$”表示两个数组按位相乘（和那个表示卷积的“$*$”不是一个符号）。

再强调一下本文中符号的定义，在下文中：

\[A * B = C \Leftrightarrow C_k = \sum_{i\oplus j = k}A_i \cdot B_j
\]

\[A \times B = C \Leftrightarrow C_i = A_i \cdot B_i
\]

用FWT解决或卷积

或卷积，就是把$A * B = C \Leftrightarrow C_k = \sum_{i\oplus j = k}A_i \cdot B_j$中的“$\oplus$”定义为按位或运算(|)。我们的目标是找到一种变换$tf$满足$tf(A*B) = tf(A)\times tf(B)$，还要找到一种逆变换$utf$，能把$tf(C)$变回$C$。

目标

找到$tf$

找到$utf$

找到$tf$

这是位运算，所以应该按位分治。

根据下标在最高位是0还是1，把$A$数组拆成两个数组$A_0$和$A_1$，$A_0$是$A$中下标最高位是0的元素组成的数组，$A_1$是$A$中下标最高位是1的元素组成的数组——实际上，$A_0$就是$A$的前一半，$A_1$是$A$的后一半。用$A = (A_0, A_1)$表示这种“等式右边两个数组首尾相接就能得到等式左边的数组”的关系。

定义$$tf(A) = (tf(A_0), tf(A_1) + tf(A_0))$$

当$A$长度为1，无法再划分时，$tf(A) = A$。

对了，显然$tf(X + Y) = tf(X) + tf(Y)$，这里“$+$”就是按位相加。

（这个$tf$是怎么找到的？这篇博客讲了讲……但是即使我知道了如何找到或卷积的$tf$，异或卷积的我还是找不出来……还是甩出这个式子然后证明它吧。）

来证明一下$tf(C = A * B) = tf(A) \times tf(B)$。

当$A, B$长度均为1时显然。

当$A, B$长度大于1时，我们使用归纳法——可以假定“长度除以2后$tf(C = A * B) = tf(A) \times tf(B)$是成立的”，即$$tf(A_0*B_0) = tf(A_0) \times tf(B_0)\tf(A_1 * B_1) = tf(A_1) \times tf(B_1)\tf(A_0 * B_1) = tf(A_0) \times tf(B_1)\tf(A_1 * B_0) = tf(A_1) \times tf(B_0)$$如果我们在这四个条件的基础上能证明$tf(C = A * B) = tf(A) \times tf(B)$，则这四个条件递归证明即可，递归到长度为1时，就直接证毕了。

那么如何证明当前这一层$tf(C = A * B) = tf(A) \times tf(B)$呢？

首先，$$C=(A_0 * B_0, A_1 * B_0 + A_0 * B_1 + A_1 * B_1)$$。这是可以理解的：在$A$中最高位是0的一个下标，和在$B$中最高位是0的一个下标，或起来还是0，所以他俩卷积的结果应该放在$C_0$中，其余三项同理。

然后从等式左边推一下，$$\begin{align}tf(C) &= (tf(A_0 * B_0), tf(A_1 * B_0 + A_0 * B_1 + A_1 * B_1) + tf(A_0 * B_0))\&=(tf(A_0B_0), tf(A_1B_0) + tf(A_0B_1) + tf(A_1 * B_1) + tf(A_0 * B_0)) \ &= (tf(A_0) \times tf(B_0), tf(A_1) \times tf(B_0) + tf(A_0) \times tf(B_1) + tf(A_1) \times tf(B_1) + tf(A_0)\times tf(B_0))\end{align*}$$

这一步是基于$tf$的定义以及上面的那四个条件的。

然后从等式右边推一下，$$\begin{align}tf(A) \times tf(B) &= (tf(A_0), tf(A_1) + tf(A_0)) \times (tf(B_0), tf(B_1) + tf(B_0)))\&=(tf(A_0) \times tf(B_0), tf(A_0)\times tf(B_0) + tf(A_1) \times tf(B_0) + tf(A_0) \times tf(B_1) + tf(A_1) \times tf(B_1))\end{align}$$

这一步是基于“$\times$”符号的意义——按位相乘得出来的。

这样一来，等式两边恰好相等诶！

所以我们已经找到了或卷积的$tf$：$$tf(A) = (tf(A_0), tf(A_1) + tf(A_0))$$

找到$utf$

目标：找到一个$utf$使得$utf(tf(A)) = A$。

这相当于把上面那个式子倒着推，怎么个倒推法呢？

正着推是已知$A = (A_0, A_1)$，求$tf(A) = (tf(A)_0, tf(A)_1)$。

倒着推就是已知$tf(A) = (tf(A)_0, tf(A)_1)$，求$utf(tf(A)) = A = (A_0, A_1) = (utf(tf(A_0)), utf(tf(A_1)))$。

那么根据上面的$tf(A) = (tf(A_0), tf(A_1) + tf(A_0))$，有$tf(A)_0 = tf(A_0), tf(A)_1 = tf(A_0) + tf(A_1)$。

所以直接得到$tf(A_0) = tf(A)_0$, 两式相减又得到$tf(A_1) = tf(A)_1 - tf(A)_0$。

所以$utf(tf(A)) = A = (A_0, A_1) = (utf(tf(A_0)), utf(tf(A_1)) = (utf(tf(A)_0), utf(tf(A)_1 - tf(A)_0))$

将$tf(A)$替换成$A$，得到$utf(A) = (utf(A), utf(A_1) - utf(A_0))$

这就是逆变换$utf$了。

总结

或卷积的FWT：

\[tf(A) = (tf(A_0), tf(A_1) + tf(A_0))
\]

\[utf(A) = (utf(A), utf(A_1) - utf(A_0))
\]

用FWT解决与卷积

与卷积和或卷积非常类似。

有$C = (A_0*B_0 + A_0*B_1 + A_1 *B_0, A_1*B_1)$

定义$$tf(A) = (tf(A_0) + tf(A_1), tf(A_1))$$

类似上面或卷积的证明过程可以证明它。

类似地，$$utf(A) = (utf(A_0) - utf(A_1), utf(A_1))$$

用FWT解决异或卷积

和上面的也很类似，但是异或卷积的式子更复杂一丁点。它是：

\[tf(A) = (tf(A_0) + tf(A_1), tf(A_0) - tf(A_1))
\]

\[utf(A) = (\frac{utf(A_0) + utf(A_1)}{2}, \frac{utf(A_0) - utf(A_1)}{2})
\]

证明嘛……和上面的或卷积证明也差不多！

板子

我的异或卷积板子：

ll inc(ll x, ll y){return (x += y) >= P ? x - P : x;}
ll dec(ll x, ll y){return (x -= y) < 0 ? x + P : x;}
void transform(ll *a, int n, bool inv){
    for(int l = 2; l <= n; l <<= 1){
	int m = l >> 1;
	for(ll *p = a; p != a + n; p += l)
	    for(int i = 0; i < m; i++){
		ll t = p[i + m];
		p[i + m] = dec(p[i], t);
		p[i] = inc(p[i], t);
	    }
	if(inv)
	    for(int i = 0; i < n; i++)
		a[i] = a[i] * inv2 % P;
    }
}

异或已经是写起来最长的啦，其他两个都特别短～