P1049送给圣诞夜的礼品(矩阵十大问题之四)
描述
当小精灵们把贺卡都书写好了之后。礼品准备部的小精灵们已经把所有的礼品都制作好了。可是由于精神消耗的缘故,他们所做的礼品的质量越来越小,也就是说越来越不让圣诞老人很满意。可是这又是没有办法的事情。
于是圣诞老人把礼品准备部的小精灵们聚集起来,说明了自己的看法:“现在你们有n个礼品,其质量也就是降序排列的。那么为了使得这个礼品序列保持平均,不像现在这样很有规律的降序,我这里有一个列表。”
“列表共有m行,这m行都称作操作(不是序列),每一行有n个数字,这些数字互不相同而且每个数字都在1到n之间。一开始,礼品的序列就是现在礼品所处的位置,也就是说,一开始礼品的序列就是1、2、3、4……n;那么然后,我们看列表的第一行操作,设这一行操作的第i个数字为a[i],那么就把原来序列中的第a[i]个礼物放到现在这个序列的第i的位置上,然后组成新的礼物序列。然后,看列表的第二行操作……、第三行操作……一直到最后一行操作,重复上面的操作。当最后一行的操作结束,组成了的序列又按照第一行来操作,然后第二行操作……第三行操作……一直循环下去,直到一共操作了k行为止。最后生成的这个序列就是我们最终礼品送给孩子们的序列了。大家明白了吗?”
“明白了!”
等圣诞老人一个微笑走后,大家却开始忙碌了。因为m值可能很大很大,而小精灵们的操作速度有限。所以可能在圣诞老人去送礼物之前完成不了这个任务。让他们很是恼火……
格式
输入格式
第一行三个数,n,m和k。
接下来m行,每行n个数。
输出格式
一行,一共n个数,表示最终的礼品序列。n个数之间用一个空格隔开,行尾没有空格,需要回车。
样例1
样例输入1[复制]
7 5 8
6 1 3 7 5 2 4
3 2 4 5 6 7 1
7 1 3 4 5 2 6
5 6 7 3 1 2 4
2 7 3 4 6 1 5
样例输出1[复制]
2 4 6 3 5 1 7 题意:初始数列为1.2.3...n;然后给了m个操作,每个操作都有n个数,表示把第a[i]的数放到第i位置上了,题目让求经过k次操作后的数列
分析:后的序列。m<=10, k<2^31。
首先将这m个置换“合并”起来(算出这m个置换的乘积),然后接下来我们需要执行这个置换k/m次(取整,若有余数则剩下几步模拟即可)。注意任意一个置换都可以表示成矩阵的形式。例如,将1 2 3 4置换为3 1 2 4,相当于下面的矩阵乘法:
(第i行第a[i] 为1;因为要把第a[i]个数放到第i个位置)
置换k/m次就相当于在前面乘以k/m个这样的矩阵。我们可以二分计算出该矩阵的k/m次方,再乘以初始序列即可。做出来了别忙着高兴,得意之时就是你灭亡之日,别忘了最后可能还有几个置换需要模拟。
#include <iostream>
#include <cstring>
#include <algorithm>
#include <cstdio>
using namespace std;
struct Mat
{
int mat[][];
};
Mat p[];
int n,m,k;
Mat operator * (Mat x, Mat y)
{
Mat c;
memset(c.mat, , sizeof(c.mat));
for(int t = ; t <= n; t++)
{
for(int i = ; i <= n; i++)
{
for(int j = ; j <= n; j++)
c.mat[i][j] += x.mat[i][t] * y.mat[t][j];
}
}
return c;
}
Mat operator ^ (Mat x, int t)
{
Mat c;
for(int i = ; i <= n; i++)
for(int j = ; j <= n; j++)
c.mat[i][j] = (i == j);
while(t)
{
if(t & )
c = c * x;
x = x * x;
t >>= ;
}
return c;
}
int main()
{
while(scanf("%d%d%d", &n,&m,&k) != EOF)
{
Mat res,c,a;
for(int i = ; i <= n; i++)
a.mat[i][] = i; for(int i = ; i <= n; i++)
for(int j = ; j <= n; j++)
res.mat[i][j] = (i == j); for(int i = ; i <= m; i++)
{
memset(c.mat, , sizeof(c.mat));
for(int j = ; j <= n; j++)
{
scanf("%d", &p[i].mat[j][]);
c.mat[j][ p[i].mat[j][] ] = ;
}
res = c * res;
} res = res ^ (k / m);
a = res * a;
int temp = k % m;
for(int i = ; i <= temp; i++)
{
memset(c.mat, , sizeof(c.mat));
for(int j = ; j <= n; j++)
c.mat[j][ p[i].mat[j][] ] = ;
a = c * a;
}
for(int i = ; i < n; i++)
{
printf("%d ",a.mat[i][]);
}
printf("%d\n",a.mat[n][]); }
return ;
}
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