对于一个带权的无向连通图,其每个生成树所有边上的权值之和可能不同,我们把所有边上权值之和最小的生成树称为图的最小生成树

普里姆算法是以其中某一顶点为起点逐步寻找各个顶点上最小权值的边来构建最小生成树。

其中运用到了回溯,贪心的思想。

----------2018年5月24日补:

  #begin

    根据定义我们可知,求一个图的最小生成树的时候,一定会将所有的点都连接起来,也就是说,我们从任何一个点出发都可以得到这个图的最小生成树,那么我这里暂定从0出发,寻找到和0相连的点中最小的权值,作为连接0这一个点的边(如果有相同的最小权值,则视要求处理),将0这一个点设置为不可访问,同时保存此时的连接点,将求到的这一个点做和0一样相同的处理...处理出n个点就可以求得这个图的最小生成树了(如果不能处理出n个点,那么此图的最小生成树也就不存在)。

  #end

废话少说,直接上题吧!这些东西多练就好!

一、最小生成树:

题目描述
求一个连通无向图的最小生成树的代价(图边权值为正整数)。
输入
第 一行是一个整数N(1<=N<=20),表示有多少个图需要计算。以下有N个图,第i图的第一行是一个整数M(1<=M& lt;=50),表示图的顶点数,第i图的第2行至1+M行为一个M*M的二维矩阵,其元素ai,j表示图的i顶点和j顶点的连接情况,如果 ai,j=0,表示i顶点和j顶点不相连;如果ai,j>0,表示i顶点和j顶点的连接权值。
输出
每个用例,用一行输出对应图的最小生成树的代价。
样例输入
1
6
0 6 1 5 0 0
6 0 5 0 3 0
1 5 0 5 6 4
5 0 5 0 0 2
0 3 6 0 0 6
0 0 4 2 6 0
样例输出

15

//Asimple
#include <stdio.h>
#include <iostream>
#include <string.h> using namespace std;
#define INF 0xffffff
const int maxn = 55;
int G[maxn][maxn];//建图
int T, n; int prim()
{
int Min, sum = 0;
int adv[maxn]; //保存定点下标
int lowc[maxn]; //保存权值 adv[0] = lowc[0] = 0 ;
//初始化
for(int i=1; i<n; i++)
{
lowc[i] = G[0][i];//先放入 第0行 的所有权值
adv[i] = 0 ;
} //构建过程
for(int i=1; i<n; i++)
{
Min = INF ;
int j = 1 ;
int k = 0 ; while( j < n )
{
if( lowc[j]!=0 && lowc[j]<Min)
{
Min = lowc[j] ;
k = j ;
}
j ++ ;
}
sum += G[adv[k]][k] ;//计算最小权值
//printf("%d,%d",adv[k],k);//打印节点
lowc[k] = 0 ; //逐行遍历接下来的k个顶点
for(int l=1; l<n; l++)
{
if( lowc[l]!=0 && G[k][l] < lowc[l] )
{
lowc[l] = G[k][l] ;
adv[l] = k ;
}
}
}
return sum ;
} int main()
{
cin >> T ;
while( T -- )
{
cin >> n ;
for(int i=0; i<n; i++)
for(int j=0; j<n; j++)
{
cin >> G[i][j];
if( G[i][j] == 0 && i!=j )
G[i][j] = INF ;
}
cout << prim() << endl ;
} return 0;
}

二、判断最小生成树是否唯一

题目描述

给出一个连通无向图,请判断其最小生成树是否是唯一的。

定义1(生成树):给出一个连通无向图G=(V,E),G的一颗生成树被标记为T=(V,E),则具有以下性质:

1)V'=V;

2)T是连通无回路的。

定义2(最小生成树):给出一个边带权的连通无向图G=(V,E),G 的最小生成树T=(v,E)是具有最小总耗费的生成树。T的总耗费表示E' 中所有边的权值的和。

输入

第 一行给出一个整数t(1<=t<=20),表示测试用例数,每个测试用例表示一个图,测试用例的第一行给出两个整数n,m(1<=n<=100),分别表 示顶点和边的数目,后面的m行每行是一个三元组(xi,yi,wi),表示xi和yi通过权值为wi的边相连。任意两个节点间至多只有一条边相连。

输出

对于每个测试用例,如果MST是唯一的,输出其总耗费;否则输出字符串'Not Unique!'.

样例输入
2
3 3
1 2 1
2 3 2
3 1 3
4 4
1 2 2
2 3 2
3 4 2
4 1 2
样例输出

3

Not Unique!

#include <stdio.h>
#include <iostream>
#include <string.h> using namespace std;
#define INF 0xffffff
const int maxn = 55;
int G[maxn][maxn];//建图
int T, n, m, x, y, num; void prim()
{
int Min, sum = 0;
int adv[maxn]; //保存定点下标
int lowc[maxn]; //保存权值
bool flag = false ; adv[0] = lowc[0] = 0 ;
//初始化
for(int i=1; i<n; i++)
{
lowc[i] = G[0][i];//先放入 第0行 的所有权值
adv[i] = 0 ;
} //构建过程
for(int i=1; i<n; i++)
{
Min = INF ;
int j = 1 ;
int k = 0 ; while( j < n )
{
if( lowc[j]!=0 && lowc[j]<=Min)
{
if( lowc[j] == Min ) flag = true ;
Min = lowc[j] ;
k = j ;
}
j ++ ;
}
sum += G[adv[k]][k] ;//计算最小权值
lowc[k] = 0 ; //逐行遍历接下来的k个顶点
for(int l=1; l<n; l++)
{
if( lowc[l]!=0 && G[k][l] < lowc[l] )
{
lowc[l] = G[k][l] ;
adv[l] = k ;
}
}
}
if( flag ) cout << "Not Unique!" << endl ;
else cout << sum << endl ;
} int main()
{
cin >> T ;
while( T -- )
{
cin >> n >> m ;
for(int i=0; i<n; i++)
for(int j=0; j<n; j++)
{
if( i == j ) G[i][j] = 0 ;
else G[i][j] = INF ;
}
for(int i=0; i<m; i++)
{
cin >> x >> y >> num ;
G[x-1][y-1] = num ;
G[y-1][x-1] = num ;
}
prim();
} return 0;
}

2018年4月1日更正:

上面的代码过不了  POJ 1679。谢谢指点~~   今天更改了下自己的程序。

18390068 Asimple 1679 Accepted 312K 16MS C++ 1483B 2018-04-01 20:08:48
//Asimple
#include <iostream>
#include <cstdio>
#include <cstring>
#include <algorithm>
#include <cmath>
#include <queue>
#include <stack>
using namespace std;
#define INF 0xffffff
typedef long long ll ;
const int maxn = +;
int n, T, num, cnt, x, y, t, m, w;
int Map[maxn][maxn]; void prim() {
int lowc[maxn];
for(int i=; i<=n; i++) lowc[i] = Map[][i];
int sum = ;
bool flag = false; for(int l=; l<n; l++) {
int Min = INF;
int k = ;
for(int j=; j<=n; j++) {
if( lowc[j]!= && Min > lowc[j] ) {
k = j;
Min = lowc[j];
}
}
if( Min == INF ) break;
sum += Min;
int cnt = ;
for(int i=; i<=n; i++)
if( Map[k][i] == lowc[k] )
cnt ++;
if( cnt > ) {
flag = true;
break;
}
lowc[k] = ; for(int i=; i<=n; i++) {
if( lowc[i] > Map[k][i] ) {
lowc[i] = Map[k][i];
}
}
} if( flag ) cout << "Not Unique!" << endl;
else cout << sum << endl;
} void input() {
ios_base::sync_with_stdio(false);
cin >> T;
while( T -- ) {
cin >> n >> m;
for(int i=; i<=n; i++) {
for(int j=; j<=n; j++) {
Map[i][j] = i==j?:INF;
}
}
while( m -- ) {
cin >> x >> y >> w;
Map[x][y] = min(Map[x][y], w);
Map[y][x] = Map[x][y];
}
prim();
}
} int main() {
input();
return ;
}

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