机器学习中的矩阵方法04：SVD 分解

前面我们讲了 QR 分解有一些优良的特性，但是 QR 分解仅仅是对矩阵的行进行操作（左乘一个酉矩阵），可以得到列空间。这一小节的 SVD 分解则是将行与列同等看待，既左乘酉矩阵，又右乘酉矩阵，可以得出更有意思的信息。奇异值分解( SVD, Singular Value Decomposition ) 在计算矩阵的伪逆( pseudoinverse )，最小二乘法最优解，矩阵近似，确定矩阵的列向量空间，秩以及线性系统的解集空间都有应用。

1. SVD 的形式

对于一个任意的 m×n 的矩阵 A，SVD 将一个矩阵分解为三个特殊矩阵的乘积, 国外还做了一个视频——SVD 之歌：

$A = U\Sigma V^T$

其中， U 和 $V^T$ 是酉矩阵， $\Sigma$ 是对角线矩阵。注意酉矩阵只是坐标的转换，数据本身分布的形状并没有改变，而对角矩阵，则是对数据进行了拉伸或者压缩。由于 m >= n，又可以写成下面这种 thin SVD 形式：

2. SVD 的几何解释

考虑 A 是 2×2 的简单情况。我们知道，一个几何形状左乘一个矩阵 A 实际上就是将该形状进行旋转、对称、拉伸变换等错切变换, A 就是所谓的 shear 矩阵。比如可以将一个圆通过左乘 A 得到一个旋转后的椭圆。

举个例子，假设 A 对平面上的一个圆进行变换:

如果只看矩阵 A，我们几乎无法直观看到圆是如何变换的。变换前的圆是：

C, M, Y, K 分别表示第一、二、三、四象限。左乘 A 矩阵后得到：

我们的问题是，旋转了多少度？伸缩的方向是多少？最大伸缩比例是多少？

利用这个在线工具对 A 进行 SVD 分解:

明显，我们看到 A 变换实际上是先对圆顺时针旋转 45°(可以看做是坐标轴逆时针宣战了 45°，主成分方向)，再关于 x 轴对称(第一行乘以 -1）, 即左乘 V^T：

然后在 x 方向拉伸 3 倍(左乘S)：

最后再顺时针旋转 45°，再关于 x 轴对称(第一行乘以 -1, 两次对称操作抵消了）, 即左乘 U：

上述绘图过程的 python 代码如下：

 # -*- coding=utf-8

 #!/usr/bin/python2.7

 from pylab import *

 def plotCircle(before, M=matrix([[1, 0], [0, 1]])):

     '''before: 变换前的矩阵

     M： 变换矩阵,默认为单位矩阵

     返回变换之后的矩阵

     '''

     eclMat = M * before  # M 变换

     eclX = array(eclMat[0]).reshape(-1)

     eclY = array(eclMat[1]).reshape(-1)

     axis('equal')

     axis([-3, 3, -3, 3])

     grid(True)

     plot(eclX[:25], eclY[:25], 'c', linewidth=3)

     plot(eclX[25:50], eclY[25:50], 'm', linewidth=3)

     plot(eclX[50:75], eclY[50:75], 'y', linewidth=3)

     plot(eclX[75:100], eclY[75:100], 'k', linewidth=3)

     show()

     return eclMat

 ang = linspace(0, 2*pi, 100)

 x = cos(ang)

 y = sin(ang)

 cirMat = matrix([x, y]) # 2 × 100 的圆圈矩阵

 # 画最开始的图形——圆

 plotCircle(cirMat)

 # 画变换之后的椭圆

 M = matrix([[2, 1], [1, 2]]) # 2 × 2 的变换矩阵

 clMat = plotCircle(cirMat, M)

 # 将 M 矩阵进行 svd 分解

 U, s, V = np.linalg.svd(M, full_matrices=True)

 S = np.diag(s)

 # SVD 矩阵对圆的变换

 plotCircle(cirMat)

 Tran1 = plotCircle(cirMat, V)

 Tran2 = plotCircle(Tran1, S)

 Tran3 = plotCircle(Tran2, U)

3. SVD 向量空间

假设矩阵 A 的秩是 r，那么对角线矩阵的秩也是 r (乘以酉矩阵不会改变矩阵的秩），我们假设：

那么， Ax = 0 的 null space 也就是解空间是什么呢？答案如下：

证明非常简单，直接带入 SVD 分解三个矩阵的右边，计算的时候正交的向量相乘都等于0, 不为 0 的恰好都被对角线矩阵的 0 元素归零，等号成立。如果 A 是列满秩的，显然符合条件的只剩下零向量了。同样的，你可以知道 A' 的 null space。
矩阵 A 的线性子空间是啥？设想有一个很高的矩阵 A，它的列向量很有可能不是正交的。对于任意一个坐标 x，矩阵 A 的线性子空间可以定义为：

R(A) = {y | y = Ax， x 是任意的坐标}
那么， u1, u2,..., ur 是 R(A) 的正交基。
这个想法也非常直观，无论来了一个什么向量（或者叫坐标），经过 V^T 和对角线矩阵变换之后还是一个坐标，这个坐标就是 U 矩阵列向量线性组合的系数。

4. SVD 的计算

$A^TA = (V\Sigma ^TU^T)(U\Sigma V^T) = V\Sigma ^T\Sigma V^T$

这就是正定矩阵的对角化。计算过程如下：

计算 A' (A 的转置)和 A'A
计算 A'A 的特征值，将特征值按照递减的顺序排列, 求均方根，得到 A 的奇异值
由奇异值可以构建出对角线矩阵 S，同时求出 S 逆，以备后面的计算
有上述排好序的特征值可以求出对应的特征向量，以特征向量为列得到矩阵 V，转置后得到 V'
U = AVS逆，求出 U，完毕。

Lanczos algorithm 是一种迭代的计算方法，没来得及细看。

感觉 SVD 计算水很深，要用到的时候再看，现在暂不深入了。

5. PCA

主成分分析经常用于减少数据集的维数，同时保持数据集中的对方差贡献最大的特征。假设上面的椭圆中（二维空间，两个坐标值）均匀分布了非常多的点，如何在一维空间（一个坐标值）里面就能最大程度将这些点区分开来呢？这时候就要用到 PCA：

可以看到，上图中将所有的点投影到 +45° 直线上，将二维空间映射到一维空间，可以最大程度地区分开这些点，即投影后的样本分布方差最大，这个方向就是 v1 向量的方向。就上图来说，假设 100×2 的矩阵 X 表示样本点在平面上的坐标，将这些点投影到 v1 上保留最大的样本方差：

$z_1 = Av_1 = \sigma _1u_1$

这样，就将 100 个 2 维空间的样本点压缩为 100 个 1 维空间的样本点，这里的列压缩实际上是对特征进行了压缩, 而不是简单地丢弃。PCA 是不是只能在样本点个数大于特征个数的时候才能压缩呢？例如，现在 3 个 100 维特征的样本用 100×3 的矩阵表示，用 SVD 分解后可以得到三个矩阵的乘积，做如下变换：

$z_1 = u_1^TA = \sigma _1v_1$

同样也最大限度保留了主成分。

总结起来，一个矩阵 A，如果想对行进行压缩并保留主成分，那么左乘 u1'，如果相对列进行压缩并保留主成分(让我联想起了稀疏表示)，那么右乘 v1。

当然，上面是简单的保留第一个主成分，PCA的全部工作简单点说，就是对原始的空间中顺序地找一组相互正交的坐标轴，第一个轴是使得方差最大的，第二个轴是在与第一个轴正交的平面中使得方差最大的，第三个轴是在与第1、2个轴正交的平面中方差最大的，这样假设在N维空间中，我们可以找到N个这样的坐标轴，我们取前r个去近似这个空间，这样就从一个N维的空间压缩到r维的空间了，但是我们选择的r个坐标轴能够使得空间的压缩使得数据的损失最小。

6. 最小二乘问题

想法和 QR 分解的办法类似，主要是利用酉矩阵变换的长度不变性：

得到最优解是：