POJ 3621Sightseeing Cows 0/1 分数规划

Description

作为对奶牛们辛勤工作的回报，Farmer John决定带她们去附近的大城市玩一天。旅行的前夜，奶牛们在兴奋地

讨论如何最好地享受这难得的闲暇。 很幸运地，奶牛们找到了一张详细的城市地图，上面标注了城市中所有

L(2 <= L <= 1000)座标志性建筑物（建筑物按1..L顺次编号），以及连接这些建筑物的P(2 <= P <= 5000)条道路

。按照计划，那天早上Farmer John会开车将奶牛们送到某个她们指定的建筑物旁边，等奶牛们完成她们的整个

旅行并回到出发点后，将她们接回农场。由于大城市中总是寸土寸金，所有的道路都很窄，政府不得不把它们都

设定为通行方向固定的单行道。 尽管参观那些标志性建筑物的确很有意思，但如果你认为奶牛们同样享受穿行于

大城市的车流中的话，你就大错特错了。与参观景点相反，奶牛们把走路定义为无趣且令她们厌烦的活动。对于

编号为i的标志性建筑物，奶牛们清楚地知道参观它能给自己带来的乐趣值F_i (1 <= F_i <= 1000)。相对于奶牛们

在走路上花的时间，她们参观建筑物的耗时可以忽略不计。 奶牛们同样仔细地研究过城市中的道路。她们知道

第i条道路两端的建筑物 L1_i和L2_i（道路方向为L1_i -> L2_i），以及她们从道路的一头走到另一头所需要的

时间T_i(1 <= T_i <= 1000)。 为了最好地享受她们的休息日，奶牛们希望她们在一整天中平均每单位时间内获得

的乐趣值最大。当然咯，奶牛们不会愿意把同一个建筑物参观两遍，也就是说，虽然她们可以两次经过同一个建筑

物，但她们的乐趣值只会增加一次。顺便说一句，为了让奶牛们得到一些锻炼，Farmer John要求奶牛们参观至少2个

建筑物。 请你写个程序，帮奶牛们计算一下她们能得到的最大平均乐趣值。

solution

二分答案$mid$

记环上的边$e(u, v)$和点$ u $为,则$tmp = \sum u / \sum e$， 化为 $tmp *  \sum e - \sum u = 0$

如果$mid < tmp$, 则 $mid * \sum e - \sum u < 0$， 然后把 $l$ 记为$mid$继续二分， 不然就把 $r$ 记为$mid$ 继续二分

因为要使答案尽可能大， 所以我们希望找出一个环使得 $mid * \sum e - \sum u < 0$。

那么我们就可以在每次check时 构造一个新图， 每条边的权值为 $mid * e - u$。 然后找到一个负环即可check。

找负环用spfa实现

代码

 #include<cstring>
 #include<queue>
 #include<cstdio>
 #include<algorithm>
 #define rd read()
 #define rep(i,a,b) for(register int i = (a); i <= (b); ++i)
 #define per(i,a,b) for(register int i = (a); i >= (b); --i)
 using namespace std;

 const int N = 1e3 + ;
 const int M = 5e3 + ;
 const int inf = ~0U >> ;
 const double eps = 1e-;

 int n, m;
 int head[N], tot, a[N], cnt[N], vis[N];
 int head2[N], tot2;
 double f[N];

 queue<int> q;

 int read() {
     int X = , p = ; char c = getchar();
     for(; c > '' || c < ''; c = getchar()) if(c == '-') p = -;
     for(; c >= '' && c <= ''; c = getchar()) X = X *  + c - '';
     return X * p;
 }

 struct edge {
     int fr, nxt, to;
     double val;
 }e[M << ], E[M << ];

 void add(int u, int v, double val) {
     e[++tot].to = v;
     e[tot].val = val;
     e[tot].nxt = head[u];
     e[tot].fr = u;
     head[u] = tot;
 }

 void add2(int u, int v, double val) {
     E[++tot2].to = v;
     E[tot2].val = val;
     E[tot2].nxt = head2[u];
     E[tot2].fr = u;
     head2[u] = tot2;
 }

 int ch(int x) {
     return ((x + ) ^ ) - ;
 }

 int spfa() {
     f[] = ;
     q.push();
     for(int u; !q.empty();) {
         u = q.front(); q.pop();
         vis[u] = ;
         for(int i = head2[u]; i; i = E[i].nxt) {
             int nt = E[i].to;
             double upd = f[u] + E[i].val;
             if(f[nt] + eps < upd) continue;
             cnt[nt] = cnt[u] + ;
             if(cnt[nt] >= n) return ;
             f[nt] = f[u] + E[i].val;
             if(!vis[nt]) {vis[nt] = ; q.push(nt);}
         }
     }
     return ;
 }

 int check(double x) {
     memset(head2, , sizeof(head2));
     memset(cnt, , sizeof(cnt));
     rep(i, , n) f[i] = inf;
     tot2 = ;
     rep(i, , tot) {
         int u = e[i].fr, v = e[i].to;
         double val = x * e[i].val - a[u];
         add2(u, v, val);
     }
     return spfa();
 }

 int main()
 {
     n = rd; m = rd;
     rep(i, , n) a[i] = rd;
     rep(i, , m) {
         int u = rd, v = rd, val = rd;
         add(u, v, val);
     }
     double l = , r = , mid, ans = ;
     while(l + eps < r) {
         mid = (l + r) / ;
         if(check(mid)) ans = mid, l = mid;
         else r = mid;
     }
     printf("%.2lf\n", ans);
 }