LibreOJ 2003. 「SDOI2017」新生舞会 基础01分数规划 最大权匹配

#2003. 「SDOI2017」新生舞会

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题目类型：传统评测方式：文本比较

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题目描述

学校组织了一次新生舞会，Cathy 作为经验丰富的老学姐，负责为同学们安排舞伴。

有 n nn 个男生和 n nn 个女生参加舞会，一个男生和一个女生一起跳舞，互为舞伴。
Cathy 收集了这些同学之间的关系，比如两个人之前是否认识，计算得出 ai,j a_{i, j}a​i,j​​，表示第 i ii 个男生和第 j jj 个女生一起跳舞时他们喜悦程度。
Cathy 还需要考虑两个人一起跳舞是否方便，比如身高体重差别会不会太大，计算得出 bi,j b_{i, j}b​i,j​​ 表示第 i ii 个男生和第 j jj 个女生一起跳舞时的不协调裎度。

当然，还需要考虑很多其他间题。

Cathy 想先用一个程序通过 ai,j a_{i, j}a​i,j​​ 和 bi,j b_{i, j}b​i,j​​ 求出一种方案，再手动对方案进行微调。
Cathy 找到你，希望你帮她写那个程序。

一个方案中有 n nn 对舞伴，假设每对舞伴的喜悦程度分别是 a1′,a2′,…,an′ a'_1, a'_2, \ldots, a'_na​1​′​​,a​2​′​​,…,a​n​′​​，假设每对舞伴不协调程度分别是 b1′,b2′,…,bn′ b'_1, b'_2, \ldots, b'_nb​1​′​​,b​2​′​​,…,b​n​′​​。令

C=a1′+a2′+⋯+an′b1′+b2′+⋯+bn′ C = \frac{a'_1 + a'_2 + \cdots + a'_n}{b'_1 + b'_2 + \cdots + b'_n}C=​b​1​′​​+b​2​′​​+⋯+b​n​′​​​​a​1​′​​+a​2​′​​+⋯+a​n​′​​​​

Cathy 希望 C 值最大。

输入格式

第一行一个整数 n nn。
接下来 n nn 行，每行 n nn 个正整数，第 i ii 行第 j jj 个数表示 ai,j a_{i, j}a​i,j​​。
接下来 n nn 行，每行 n nn 个正整数，第 i ii 行第 j jj 个数表示 bi,j b_{i, j}b​i,j​​。

输出格式

一行一个数，表示 C CC 的最大值。四舍五入保留六位小数，选手输出的小数需要与标准输出相等。

样例

样例输入

3
19 17 16
25 24 23
35 36 31
9 5 6
3 4 2
7 8 9

样例输出

5.357143

数据范围与提示对于 10% 10\%10% 的数据，1≤n≤5 1 \leq n \leq 51≤n≤5；

对于 40% 40\%40% 的数据，1≤n≤18 1 \leq n \leq 181≤n≤18；
另外存在 20% 20\%20% 的数据，bi,j=1 b_{i, j} = 1b​i,j​​=1；
对于 100% 100\%100% 的数据，1≤n≤100,1≤ai,j≤104,1≤bi,j≤104 1 \leq n \leq 100, 1 \leq a_{i, j} \leq 10 ^ 4,1 \leq b_{i, j} \leq 10 ^ 41≤n≤100,1≤a​i,j​​≤10​4​​,1≤b​i,j​​≤10​4​​。

传送一篇来自苣苣的博客：01分数规划总结

感觉01分数规划就是先二分答案，然后再求最值。

题目链接：https://loj.ac/problem/2003

题意：选出n对舞伴，使得价值和/代价和最大。

思路：基础01分数规划+最大权匹配（可以使用最小费用流求解，先对费用取负数，最后答案再取负数）

代码：

#include<iostream>
#include<cstdio>
#include<cmath>
#include<cstring>
#include<algorithm>
#include<set>
#include<queue>
#include<stack>
#include<map>
#include<vector>
using namespace std;
typedef long long ll;
typedef pair<int,int> P;
const int maxn=,maxm=1e5+,inf=0x3f3f3f3f,mod=1e9+;
const ll INF=1e18+;
const double eps=1e-;
int a[maxn][maxn],b[maxn][maxn];
struct edge
{
    int from,to;
    int c;
    int a,b;
};
vector<edge>es;
vector<int>G[maxn];
double dist[maxn];
int pre[maxn];
void addedge(int u,int v,int c,int a,int b)
{
    es.push_back((edge)
    {
        u,v,c,a,b
    });
    es.push_back((edge)
    {
        v,u,,-a,-b
    });
    int x=es.size();
    G[u].push_back(x-);
    G[v].push_back(x-);
}
bool SPFA(int s,int t,double mid)
{
    static std::queue<int> q;
    static bool inq[maxn];
    for(int i=; i<maxn; i++) dist[i]=1.0*inf,inq[i]=false;
    pre[s]=-;
    dist[s]=0.0;
    q.push(s);
    while(!q.empty())
    {
        int u=q.front();
        q.pop();
        inq[u]=false;
        for(int i=; i<G[u].size(); i++)
        {
            edge e=es[G[u][i]];
            double d=0.0;
            if(e.a&&e.b) d=1.0*e.a-mid*e.b;
            if(e.c&&dist[e.to]>dist[u]-d)
            {
                pre[e.to]=G[u][i];
                dist[e.to]=dist[u]-d;
                if(!inq[e.to]) q.push(e.to),inq[e.to]=true;
            }
        }
    }
    return fabs(inf-dist[t])>eps;
}
double dinic(int s,int t,int f,double mid)
{
    int flow=;
    double cost=0.0;
    while(SPFA(s,t,mid))
    {
        int d=f;
        for(int i=t; i!=s; i=es[pre[i]].from)
            d=min(d,es[pre[i]].c);
        f-=d;
        flow+=d,cost+=d*dist[t];
        for(int i=t; i!=s; i=es[pre[i]].from)
        {
            es[pre[i]].c-=d;
            es[pre[i]^].c+=d;
        }
        if(f<=) break;
    }
    for(int i=; i<es.size(); i+=) es[i].c=,es[i+].c=;
    //cout<<-1*cost<<" ******"<<endl<<endl;
    return -*cost;
}
bool check(double mid,int s,int t,int n)
{
    return dinic(s,t,n,mid)>=eps?true:false;
}
int main()
{
    int n,m;
    scanf("%d",&n);
    for(int i=; i<=n; i++)
    {
        for(int j=; j<=n; j++)
            scanf("%d",&a[i][j]);
    }
    for(int i=; i<=n; i++)
    {
        for(int j=; j<=n; j++)
            scanf("%d",&b[i][j]);
    }
    int s=,t=*n+;
    for(int i=; i<=n; i++) addedge(s,i,,,);
    for(int i=; i<=n; i++)
    {
        for(int j=; j<=n; j++)
            addedge(i,j+n,,a[i][j],b[i][j]);
    }
    for(int i=; i<=n; i++) addedge(i+n,t,,,);
    double l=0.0,r=1000000000.0;
    double ans=0.0;
    while((r-l)>eps)
    {
        double mid=(l+r)/;
        //printf("%.8f %.8f %.8f\n",l,r,mid);
        if(check(mid,s,t,n)) l=mid,ans=l;
        else r=mid;
    }
    printf("%.6f\n",ans);
    return ;
}

基础01分数规划+最大权匹配