LightOJ - 1030 期望+dp
题目链接:https://vjudge.net/problem/25907/origin
一个山洞,里面有有1到n个位置,每个位置都有一定的金币,你有一个六面的骰子,一开始你在1,每次摇到了哪个数就往前走几步
如果超过了n就重新摇,知道n为止,问你到n需要摇的次数的期望。
一开始我用正推,一直错,在这里我们需要逆推,我们先不想正推,等下再说。
我们假设Ei表示i点开始可以获得的金子的期望,如果i点到n的距离>=6,那么Ei=(E(i+1)/6+E(i+2)/6+E(i+3)/6+...+E(i+6)/6).
如果距离<6,Ei=(E(i+1)/6+E(i+2)/6+E(i+3)/6+...+En/6).注意:逆推时每个E的概率都是一样的。
#include<stdio.h>
int n,m,k,t;
double dp[];
int min(int a,int b)
{
if(a<b)
return a;
return b;
}
int main()
{
scanf("%d",&t);
int count=;
while(t--)
{
scanf("%d",&n);
for(int i=;i<=n;i++)
scanf("%lf",&dp[i]);
for(int i=n-;i>=;i--)
{
int num=min(n,i+);
double sum=;
for(int j=i+;j<=num;j++)
{
sum+=dp[j];
}
dp[i]=sum/(num-i)+dp[i];
}
printf("Case %d: %.7f\n",++count,dp[]);
}
return ;
}
为什么不能正推,现在给出我学长的解释,感觉很有道理:
为什么只有从后往前才会符合推理
因为从前往后的概率分布是不均匀的。
从a[i-6]到a[i]的概率并不是1/6,因为a[i-6]可以先到a[i-5],再到a[i],
所以实际上,a[i-6]到a[i]的 概率是低于其他值的,因为其他值到a[i]的概率是要先算上a[i-6]没有成功抵达a[i]的概率。
a[i]=1/6*a[i+1]+ 1/6*a[i+2]+……+1/6*a[i+6]
假如我们令方程为
a[i]=1/6*a[i-1]+ 1/6*a[i-2]+……+1/6*a[i-6]
a[2]=a[1]+a[2]
a[3]=0.5a[1]+0.5a[2]+a[3]=a[1]+0.5a[2]+a[3]
那么
a[4]=1/3a[1]+1/3a[2]+1/3a[3]+a[4]=a[1]+0.5a[2]+1/3a[3]+a[4]
然而实际上a[4]的期望并不是这样
如果1到4。
从1开始,到2的概率为1/3,到3的概率为1/3加上2到3的概率,为0.5。
所以正确的是a[4]=a[1]+1/3a[2]+0.5a[3]+a[4]。
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