luogu P3690 【模板】Link Cut Tree （动态树）

嘟嘟嘟




LCT竟然看了整整一天，但好歹是看懂了。




教程这里不写，强烈推荐 闪狐大佬的博客 。




但是还是有几句想说的。




1.尽管LCT和splay很像，但是有一些细节还是不一样的。首先是rotate，我们习惯性的令\(y\)为\(x\)的父亲，\(z\)为\(y\)的父亲。这时候一定要判断\(y\)是否为当前splay（这是一个名词）的根，是的话在从\(z\)连向\(x\)。

平时之所以不用判断，是因为当\(y\)为根的时候\(z\)自然是\(0\)。而此时\(z\)是另一棵splay的一个节点，自然不能连边。

但这时候\(x\)的父亲还是要连向\(z\)的，代表一条虚边。




2.splay操作也是有区别的。首先要将这条路径上的点从上到下pushdown一遍，然后再正常的旋到根。为啥咧？想一下普通的splay，如果我们要找树上的结点\(u\)，一定是从根节点往下一路找到的，所以该下传的都下传了，splay的时候自然不用。但是在lct中，是可以直接找到该节点的，所以还得把根节点到这个节点的路径都pushdown一遍。




3.对于实边和虚边，闪狐大佬讲的很好：虚边是认父不认子。也就是说，一条虚边只能连一条从儿子到父亲的单向边，如果从父亲再连一条边，就变成实边了。




4.access操作跟准确来说是把\(x\)所在splay和原树根节点所在splay连接在一起。而不一定要直接把\(x\)和树根相连。

而且连完后，这棵splay里只有\(x\)到树根的路径上的点，只有这样，才能维护树上的链。




5.一棵splay向另一棵splay连边。虽然是一棵splay的根节点向另一棵splay连边，但规则是splay中深度最小的点向另一棵splay中原树上的点连边，也就是说原树上的边是虚边的时候，虚边的两端和原树边的两端不一定一样。




大概就是这些，剩下的可以看代码及注释

#include<cstdio>
#include<iostream>
#include<cmath>
#include<algorithm>
#include<cstring>
#include<cstdlib>
#include<cctype>
#include<vector>
#include<stack>
#include<queue>
using namespace std;
#define enter puts("")
#define space putchar(' ')
#define Mem(a, x) memset(a, x, sizeof(a))
#define rg register
typedef long long ll;
typedef double db;
const int INF = 0x3f3f3f3f;
const db eps = 1e-8;
const int maxn = 3e5 + 5;
inline ll read()
{
  ll ans = 0;
  char ch = getchar(), last = ' ';
  while(!isdigit(ch)) last = ch, ch = getchar();
  while(isdigit(ch)) ans = (ans << 1) + (ans << 3) + ch - '0', ch = getchar();
  if(last == '-') ans = -ans;
  return ans;
}
inline void write(ll x)
{
  if(x < 0) x = -x, putchar('-');
  if(x >= 10) write(x / 10);
  putchar(x % 10 + '0');
}

int n, m;
struct Tree
{
  int ch[2], fa;
  int val, sum, rev;
}t[maxn];

void _PrintTr(int now)
{
  if(!now) return;
  printf("-->now:%d val:%d sum:%d ls:%d rs%d\n", now, t[now].val, t[now].sum, t[now].ch[0], t[now].ch[1]);
  _PrintTr(t[now].ch[0]); _PrintTr(t[now].ch[1]);
}

void pushup(int now)  //别跟线段树搞混,一定要算上自己
{
  t[now].sum = t[t[now].ch[0]].sum ^ t[t[now].ch[1]].sum ^ t[now].val;
}
void change(int now)
{
  swap(t[now].ch[0], t[now].ch[1]); t[now].rev ^= 1;
}
void pushdown(int now)
{
  if(t[now].rev)
    {
      if(t[now].ch[0]) change(t[now].ch[0]);
      if(t[now].ch[1]) change(t[now].ch[1]);
      t[now].rev = 0;
    }
}
bool n_root(int now)  //根节点的父亲不一定是0了,所以必须要判断一下,也就是这条边是不是虚边
{
  return t[t[now].fa].ch[0] == now || t[t[now].fa].ch[1] == now;
}
void rotate(int x)  //一定要有这个判断条件,因为当y是根的时候,z就不应该向y连边,但父亲可以指向z,代表虚边
{
  int y = t[x].fa, z = t[y].fa, k = (t[y].ch[1] == x);
  if(n_root(y)) t[z].ch[t[z].ch[1] == y] = x; t[x].fa = z;
  t[y].ch[k] = t[x].ch[k ^ 1]; t[t[x].ch[k ^ 1]].fa = y;
  t[x].ch[k ^ 1] = y; t[y].fa = x;
  pushup(y), pushup(x);
}
int st[maxn], top = 0;
void splay(int x)
{
  int y = x;
  st[top = 1] = y;
  while(n_root(y)) y = t[y].fa, st[++top] = y;
  while(top) pushdown(st[top--]);
  while(n_root(x))
    {
      int y = t[x].fa, z = t[y].fa;
      if(n_root(y))
	{
	  if((t[z].ch[0] == y) ^ (t[y].ch[0] == x)) rotate(x);
	  else rotate(y);
	}
      rotate(x);
    }
}
void access(int x)  //access后,x为splay根节点,且x无右儿子
{
  int y = 0;
  while(x)
    {
      splay(x); t[x].ch[1] = y;
      pushup(x);
      y = x; x = t[x].fa;
    }
}
void make_root(int x)
{
  access(x); splay(x);
  change(x);
}
int find_root(int x)
{
  access(x); splay(x);
  while(t[x].ch[0]) pushdown(x), x = t[x].ch[0];
  return x;
}
void split(int x, int y)  //提取x到y这条链
{
  make_root(x);
  access(y); splay(y); //splay(y):更新链上信息,因为没有记录根节点,所以还得返回y
}
void Link(int x, int y)
{
  make_root(x);
  if(find_root(y) != x) t[x].fa = y;
}
void Cut(int x, int y)
{
  make_root(x);
  if(find_root(y) == x && t[x].fa == y && !t[x].ch[1]) //t[x].ch[1] = 0:x和y之间没有其他点
    {
      t[x].fa = t[y].ch[0] = 0;  //find_root(y)后,y此时是x的父亲
      pushup(y);
    }
}

int main()
{
  n = read(); m = read();
  for(int i = 1; i <= n; ++i) t[i].val = t[i].sum = read();
  for(int i = 1; i <= m; ++i)
    {
      int op = read(), x = read(), y = read();
      if(!op) split(x, y), write(t[y].sum), enter;
      else if(op == 1) Link(x, y);
      else if(op == 2) Cut(x, y);
      else splay(x), t[x].val = y;
    }
  return 0;
}