【DS】排序算法之希尔排序(Shell Sort)
一、算法思想
希尔排序,也称递减增量排序算法,是插入排序的一种更高效的改进版本。希尔排序是非稳定排序算法。
希尔排序是基于插入排序的以下两点性质而提出改进方法的:
1)插入排序在对几乎已经排好序的数据操作时, 效率高, 即可以达到线性排序的效率;
2)插入排序一般来说是低效的, 因为插入排序每次只能将数据移动一位;
我们将数组中两个元素之间的距离称为Gap,相邻元素之间的Gap自然是1,很明显的,插入排序的算法在调节元素的时候,Gap是1,这就造成了上面讲的低效的原因2)。因此希尔排序的思想如下:
1)假设序列的元素个数是n,选取一个初始Gap的d(d<n);
2)将序列中元素之间距离(即Gap)为d的元素分为一组,在每组之间直接进行插入排序;
3)全部完成以后,缩小Gap至d1(d1<d),然后继续2)直到Gap为1;
常见的Gap序列如下:
1)希尔原本的Gap:N/2、N/4、...1(反复除以2)
2)Hibbard的Gap:1、3、7、...、2k-1(k表示第几个gap)
3)Knuth的Gap: 1、4、13、...、(3k - 1) / 2(k表示第几个gap)
4)Sedgewick的Gap: 1、5、19、41、109、...
二、算法示意图
如图所示,展示了分组和排序的过程。第一行是分组的过程,总共有8个元素,Gap为8/2=4,标记为相同颜色的元素为一组。第二行是同一组元素经过插入排序后形成的样子,可以看到,蓝色和灰色组元素进行了交换。第三行是Gap缩小为4/2=2的分组,相同颜色元素为一组,第四行是同组元素经过插入排序后形成的序列,可以看到每一组都是有序的。第五行是Gap缩小为2/2=1的分组,即整个数列为一个组,直接进行插入排序,这里就和插入排序完全一样了。
注意到第五行的时候,序列已经基本有序了,靠近插入排序的最优情况,所以插入排序的效率极高。
三、Java代码
//@wiki
public class ShellSort extends Sort {
public static void sort(int array[]) {
int length = array.length;
int temp = 0;
for (int gap = length / 2; gap >= 1; gap = gap / 2)
for (int i = gap; i < length; i++)
for (int j = i; j >= gap && array[j] < array[j - gap]; j -= gap) {
temp = array[j];
array[j] = array[j - gap];
array[j - gap] = temp;
}
}
}
这段代码看上去比较复杂,因为嵌套着三层for循环,另外代码的想法和上面示意描述的并不一致,因此总是会比较难理解。
示意中讲:按照每一组进行插入排序,很容易让人想到一组组的去执行插入排序,然后一起再进行下一步。代码不是这样的,代码是所有组同时进行的,第7行可以看到,每次遍历都是从gap开始遍历到数列最后,然后对每一个元素进行往前进行插入排序,不过这次不是和前一个相邻元素作比较,而是和j-gap作比较,很容易发现,这其实是在元素所在组进行插入排序。
四、算法复杂度
其算法复杂度至今没有一个确定的解,其复杂度依赖于其Gap序列,范围Ο(n^1.5) ~ Ο(n^2)。而最好的情况则是序列初始状态就是顺序排列,此时算法的复杂度是O(n)。平均复杂度则为:Ο(n^5/4)。
空间复杂度非常容易,由代码可以看出来,只需要一个位置temp用于交换即可,因此是O(1)。
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