【组合数学】AGC036C

找性质的能力不行

Problem Statement

We have a sequence of $N$ integers: $x=(x_0,x_1,\cdots,x_{N−1})$. Initially, $x_i=0$ for each $i (0≤i≤N−1)$.

Snuke will perform the following operation exactly $M$ times:

Choose two distinct indices $i,j (0≤i,j≤N−1, i≠j)$. Then, replace $x_i$ with $x_i+2$ and $x_j$ with $x_j+1$.
Find the number of different sequences that can result after $M$ operations. Since it can be enormous, compute the count modulo $998244353$.

Constraints

$2≤N≤10^6$
$1≤M≤5×10^5$
All values in input are integers.

题目分析

这类题的一般套路是把一些奇奇怪怪的操作转化成局部量守恒；或者是操作对一些特殊量的影响有什么限制。

这里首先能够看出限制一：$\forall a_i \le 2m$.

再来考察一下操作有什么特性：在两个位置$i,j$分别加上$2,1$也就是把$j$的奇偶性翻转；$i$的奇偶性不影响。初始每个位置都为偶。这说明全部操作只有$m$次翻转奇偶性的机会，由此得到限制二：$\sum\limits [x_i为奇数]\le m$.

这两个限制的必要性上面已经论述了，充分性可以通过对$m$归纳得到。

现在问题变成了：

给定$n,m$，求长度为$n$的可空数列$\{x_i\}$满足$[\sum x_i=3m ]\and [\forall x_i \le 2m ]\and [\sum\limits [x_i为奇数]\le m]$的个数。

第一条限制很好处理，问题主要是第二条限制。

首先来考虑单纯满足第二条限制的数列个数，不妨记$f(n,m,k)$表示把$m$分为$n$组非空、且奇数个数$\le k$的方案数。那么这里有$f(n,3m,m)=\sum\limits _{p=1,p≡3m\pmod 2}^n {\frac{3m-p}{2}+n-1\choose n-1}{n \choose p}$，其中$p$是枚举的奇数个数。

容斥地考虑，现在要计算的另一部分问题应是$[\exists x_i > 2m ]\and [\sum\limits [x_i为奇数]\le m]$，也即：枚举最大数位置$pos$，把$m$分为$n$组非空、奇数个数$\le k$、且$x_{pos}$非空的方案数。

这里的“某一位置非空”就是很经典的问题了，可以先用$m-1$构造非空数列、再将$1$加到$x_{pos}$上；也可以再容斥一次，用$m$构造$n$的方案减去用$m$构造$n-1$的方案，意即此位置为零不占用$m$.

 #include<bits/stdc++.h>
 #define MO 998244353
 typedef long long ll;
 const int maxn = ;
 
 ll n,m,ans;
 ll inv[maxn],fac[maxn];
 
 ll C(ll n, ll m)
 {
     if (n < m) return ;
     return fac[n]*inv[m]%MO*inv[n-m]%MO;
 }
 ll f(ll n, ll m, ll k)
 {
     ll ret = ;
     for (ll p=; p<=k; p++)
         if (((m-p)&)==){
             ret = (ret+C((m-p)/2ll+n-, n-)*C(n, p)%MO)%MO;
         }
     return ret;
 }
 int main()
 {     scanf("%lld%lld",&n,&m);
     fac[] = inv[] = inv[] = ;
     for (int i=; i<=n+*m; i++)
         inv[i] = (MO-1ll*MO/i*inv[MO%i]%MO);
     for (int i=; i<=n+*m; i++)
         inv[i] = inv[i-]*inv[i]%MO, fac[i] = fac[i-]*i%MO;
 //    ans = (f(n, 3*m, m)-n*(f(n, m, m)-f(n-1, m, m))%MO+MO)%MO;
     ans = (f(n, *m, m)-n*(f(n, m-, m))%MO+MO)%MO;
     printf("%lld\n",ans);
     return ;
 }

END