Luogu5369 [PKUSC2018]最大前缀和

题目链接：洛谷

题目大意：给定一个长为$n$的整数序列，求全排列的最大前缀和（必须包含第一个数）之和。

数据范围：$1\leq n\leq 20,1\leq \sum_{i=1}^n|a_i|\leq 10^9$

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神级状压dp，不得不服。。。

我们考虑对全排列的最大前缀和的前缀的集合进行dp。

设$f[S],g[S]$分别表示集合$S$内的数组成的排列中，最大前缀和为$sum[S]$和负数的排列数，其中$sum[S]$为$\sum_{i\in S}i$

我们发现，如果这个最大的前缀组成的集合就是$S$，当且仅当前$|S|$个数的最大前缀和为$sum[S]$，后面$n-|S|$个数的最大前缀和为负数，所以

$$ans=\sum_{S\subset U}sum[S]*f[S]*g[U-S]$$

其中$U$表示全集。注意这里$g[S]$必须要求是负数才可以，0不行，否则可能会重复统计。

然后考虑对$f,g$进行dp。

若$sum[S]\geq 0$，则$g[S]=0$，否则枚举最后一个数$j$，即$g[S]=\sum_{j\in S}g[S-\{j\}]$

若$sum[S]\geq 0$，则对于$j\notin S$，$f[S+\{j\}]+=f[S]$，否则$f[S]$对$f[S+\{j\}]$无贡献。

时间复杂度$O(n2^n)$，空间复杂度$O(2^n)$

 #include<bits/stdc++.h>
 #define Rint register int
 using namespace std;
 typedef long long LL;
 const int N =  << , mod = ;
 int n, lim, sum[N], f[N], g[N], ans;
 inline int add(int a, int b){int c = a + b; return c >= mod ? (c - mod) : c;}
 int main(){
     scanf("%d", &n); lim =  << n; g[] = ;
     for(Rint i = ;i < n;i ++){
         scanf("%d", sum + ( << i));
         f[ << i] = ;
     }
     for(Rint i = ;i < lim;i ++)
         sum[i] = add(sum[i ^ (i & -i)], sum[i & -i]);
     for(Rint i = ;i < lim;i ++)
         if(sum[i] >= ){
             for(Rint j = ;j < n;j ++)
                 if(!(i & ( << j))) f[i | ( << j)] = add(f[i | ( << j)], f[i]);
         } else {
             for(Rint j = ;j < n;j ++)
                 if(i & ( << j)) g[i] = add(g[i], g[i ^ ( << j)]);
         }
     for(Rint i = ;i < lim;i ++)
         ans = add(ans, (LL) sum[i] * f[i] % mod * g[lim -  - i] % mod) % mod;
     printf("%d", (ans % mod + mod) % mod);
 }

Luogu5369