【概率论】3-8:随机变量函数(Functions of a Random Variable)

title: 【概率论】3-8:随机变量函数(Functions of a Random Variable)

categories:

Mathematic
Probability

keywords:
The Probability Integral Transformation
概率积分变换
Simulation
仿真
Pseudo-Random Numbers
伪随机数
General Function

toc: true

date: 2018-03-16 09:49:24

Abstract: 本文介绍通过函数这个工具，来研究随机变量

Keywords: The Probability Integral Transformation，Simulation，Pseudo-Random Numbers，General Function

开篇废话

我们到目前为止对概率的研究经过了试验结果，事件，随机变量大概这三个过程，其实每个过程都是更高层的抽象，比如，对于直观的事实，实验结果，我们通过一种函数，或者称为一种收集，将结果抽象成了事件，而对事件研究了一段时间后又将事件通过函数（随机变量）映射到了实数域，整个过程，更加抽象，更加复杂，但是计算和模拟现实中的试验结果变得更加容易更加准确。

对于实数的研究，函数是绕不开的话题，而函数的微分积分等又是现代科学的基础，所以本文简要的介绍下随机变量的函数。

问题的描述变成了当我们已知一个随机变量 XXX 具有某个p.f. 或者 p.d.f 那么随机变量 Y=f(x)Y=f(x)Y=f(x) 分布是什么。

Random Variable with a Discrete Distribution

先看一个例子：

离散随机变量 XXX 在 [1,…,9][1,\dots ,9][1,…,9] 有一个均匀分布，我们关系的是随机变量距离区间中心5的距离Y的分布情况。

这时候 YYY 的定义的数学化表示是： Y=∣X−5∣Y=|X-5|Y=∣X−5∣ 其分布函数不太好写，但是可以列举出来：

Y∈{0,1,2,3,4}Pr(Y=1)=Pr(X∈4,6)=29Pr(Y=2)=Pr(X∈3,7)=29Pr(Y=3)=Pr(X∈2,8)=29Pr(Y=4)=Pr(X∈1,9)=29Pr(Y=0)=Pr(X∈5)=19
Y\in \{0,1,2,3,4\}\\
Pr(Y=1)=Pr(X\in {4,6})=\frac{2}{9}\\
Pr(Y=2)=Pr(X\in {3,7})=\frac{2}{9}\\
Pr(Y=3)=Pr(X\in {2,8})=\frac{2}{9}\\
Pr(Y=4)=Pr(X\in {1,9})=\frac{2}{9}\\
Pr(Y=0)=Pr(X\in {5})=\frac{1}{9}\\
Y∈{0,1,2,3,4}Pr(Y=1)=Pr(X∈4,6)=92Pr(Y=2)=Pr(X∈3,7)=92Pr(Y=3)=Pr(X∈2,8)=92Pr(Y=4)=Pr(X∈1,9)=92Pr(Y=0)=Pr(X∈5)=91

这就是一个最简单的例子，关于离散随机变量的函数的分布问题。

Theorem Function of a Discrete Random Variable. Let XXX have a discrete distribution with p.f. fff and let Y=r(X)Y=r(X)Y=r(X) for some function of rrr defined on the set of possible values of XXX For each possible value y of YYY the p.f. ggg of YYY is

g(y)=Pr(Y=y)=Pr[r(X)=y]=∑x;r(x)=yf(x)
g(y)=Pr(Y=y)=Pr[r(X)=y]=\sum_{x;r(x)=y}f(x)
g(y)=Pr(Y=y)=Pr[r(X)=y]=x;r(x)=y∑f(x)

解读下上面的公式，其实公式写的很清楚，当我们知道函数r了以后，满足 r(X)=yr(X)=yr(X)=y 的所有X对应的概率最后组合成了Y，所以要进行求和，其实这一步跟从试验结果得到事件的过程是一样的。但是下面对于连续分布来说，就非常不一样了。

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