TXNLP 09-17

上节课讲了一些算法的复杂度，都比较简单，我就没有单独截图。1 n n^2 nlogn logn。。。等等

其实一些排序问题也比较简单。还是给大家列举一下.

归并排序：

主定理定理。。吐血

算法复杂度相关的知识：函数渐进阶，记号 O、Ω、θ和 o；Master 定理。

先插一句，在算法复杂度分析中，log 通常表示以 2 为底的对数。

算法复杂度（算法复杂性）是用来衡量算法运行所需要的计算机资源（时间、空间）的量。通常我们利用渐进性态来描述算法的复杂度。

比如 T(n) = 2 * n ^ 2 + n log n + 3，那么显然它的渐进性态是 2 * n ^ 2，因为当 n→∞ 时，后两项的增长速度要慢的多，可以忽略掉。引入渐进性态是为了简化算法复杂度的表达式，只考虑其中的主要因素。当比较两个算法复杂度的时候，如果他们的渐进复杂度的阶不相同，那只需要比较彼此的阶（忽略常数系数）就可以了。

总之，分析算法复杂度的时候，并不用严格演算出一个具体的公式，而是只需要分析当问题规模充分大的时候，复杂度在渐进意义下的阶。记号 O、Ω、θ和 o 可以帮助我们了解函数渐进阶的大小。

假设有两个函数 f(n) 和 g(n)，都是定义在正整数集上的正函数。上述四个记号的含义分别是：

可见，记号 O 给出了函数 f(n) 在渐进意义下的上界（但不一定是最小的），相反，记号Ω给出的是下界（不一定是最大的）。如果上界与下界相同，表示 f(n) 和 g(n) 在渐进意义下是同阶的（θ），亦即复杂度一样。

列举一些常见的函数之间的渐进阶的关系：

Fibonanci number (斐波那契数)

序列一次为 1，1，2，3，5，8，13，21，.... 问题： 怎么求出序列中第N个数？

T(n) = T(n-2) + T(n-1)

def fib(n):
    # base case
    if n < 3:
        return 1
    return fib(n-2)+fib(n-1)
print (fib(50))

斐波那契的时间复杂度：

但是会发现计算了很多重复的例如f（3）等等。所以 后面会讲 DP 的算法可以存储中间的数据，不用重复计算。

斐波那契的空间复杂度：

动态规划：

# 时间复杂度？
import numpy as np
def fib(n):
    tmp = np.zeros(n)
    tmp[0] = 1
    tmp[1] = 1
    for i in range(2,n):
        tmp[i] = tmp[i-2]+tmp[i-1]

    return tmp[n-1]

O(N) O(2^n)

def fib(n):
    tmp = np.zeros(n)
    tmp[0] = 1
    tmp[1] = 1
    for i in range(2,n):
        tmp[i] = tmp[i-2]+tmp[i-1]

    return tmp[n-1]

def fib(n):
    a,b=1,1
    c =0
    for i in range(2,n):
        c = a + b
        a = b
        b = c
    return c

思考题： 怎么在O(1)的时间复杂度下计算FIB(N)？

套公式

思考题： 这个公式怎么得来的？
提示： 转换成矩阵的连乘的形式， 矩阵连乘可以简化（MATRIX DECOMPOSION）

简单介绍一下：

P问题：

一个问题可以在多项式（O(n^k)）的时间复杂度内解决。　　　　

 NP问题：

一个问题的解可以在多项式的时间内被验证。

NP-hard问题：

任意np问题都可以在多项式时间内归约为该问题，但该问题本身不一定是NP问题。归约的意思是为了解决问题A，先将问题A归约为另一个问题B，解决问题B同时也间接解决了问题A。

  NPC问题：

既是NP问题，也是NP-hard问题。

时间复杂度并不是表示一个程序解决问题需要花多少时间，而是当问题规模扩大后，程序需要的时间长度增长得有多快。也就是说，对于高速处理数据的计算机来说，处理某一个特定数据的效率不能衡量一个程序的好坏，而应该看当这个数据的规模变大到数百倍后，程序运行时间是否还是一样，或者也跟着慢了数百倍，或者变慢了数万倍。不管数据有多大，程序处理花的时间始终是那么多的，我们就说这个程序很好，具有O(1)的时间复杂度，也称常数级复杂度；数据规模变得有多大，花的时间也跟着变得有多长，这个程序的时间复杂度就是O(n)，比如找n个数中的最大值；而像冒泡排序、插入排序等，数据扩大2倍，时间变慢4倍的，属于O(n^2)的复杂度。还有一些穷举类的算法，所需时间长度成几何阶数上涨，这就是O(a^n)的指数级复杂度，甚至O(n!)的阶乘级复杂度。不会存在O(2*n^2)的复杂度，因为前面的那个“2”是系数，根本不会影响到整个程序的时间增长。同样地，O (n^3+n^2)的复杂度也就是O(n^3)的复杂度。因此，我们会说，一个O(0.01*n^3)的程序的效率比O(100*n^2)的效率低，尽管在n很小的时候，前者优于后者，但后者时间随数据规模增长得慢，最终O(n^3)的复杂度将远远超过O(n^2)。我们也说，O(n^100)的复杂度小于O(1.01^n)的复杂度。
    容易看出，前面的几类复杂度被分为两种级别，其中后者的复杂度无论如何都远远大于前者：一种是O(1),O(log(n)),O(n^a)等，我们把它叫做多项式级的复杂度，因为它的规模n出现在底数的位置；另一种是O(a^n)和O(n!)型复杂度，它是非多项式级的，其复杂度计算机往往不能承受。当我们在解决一个问题时，我们选择的算法通常都需要是多项式级的复杂度，非多项式级的复杂度需要的时间太多，往往会超时，除非是数据规模非常小。

P类问题的概念：如果一个问题可以找到一个能在多项式的时间里解决它的算法，那么这个问题就属于P问题。