1. EM算法-数学基础

1. EM算法-数学基础

2. EM算法-原理详解

3. EM算法-高斯混合模型GMM

4. EM算法-高斯混合模型GMM详细代码实现

5. EM算法-高斯混合模型GMM+Lasso

1. 凸函数

通常在实际中，最小化的函数有几个极值，所以最优化算法得出的极值不确实是否为全局的极值，对于一些特殊的函数，凸函数与凹函数，任何局部极值也是全局极致，因此如果目标函数是凸的或凹的，那么优化算法就能保证是全局的。

定义1：集合\(R_c\subset E^n\)是凸集，如果对每对点\(\textbf{x}_1,\textbf{x}_2\subset R_c\)，每个实数\(\alpha,0<\alpha<1\)，点\(\textbf{x}\in R_c\)

\[
\textbf{x}=\alpha\textbf{x}_1+(1-\alpha)\textbf{x}_2
\]

定义2：我们称定义在凸集\(R_c\)上的函数\(f(x)\)为凸的，如果对每对\(\textbf{x}_1,\textbf{x}_2 \in R_c\)与每个实数\(\alpha ,0<\alpha<1\)，则满足不等式

\[
f[\alpha\textbf{x}_1+(1-\alpha)\textbf{x}_2]\leq\alpha f(\textbf{x}_1)+(1-\alpha)f(\textbf{x}_2)
\]

如果\(\textbf{x}_1\neq\textbf{x}_2\)，则f(x)是严格凸的。

\[
f[\alpha\textbf{x}_1+(1-\alpha)\textbf{x}_2]<\alpha f(\textbf{x}_1)+(1-\alpha)f(\textbf{x}_2)
\]

2. Jensen不等式

定义1：若\(f(x)\)为区间\(X\)上的凸函数，则\(\forall n \in \mathbb N, n \ge 1,\), 若\(\forall i \in \mathbb N, 1 \le i \le n, x_i \in X, \lambda_i \in \mathbb R,\),且\(\sum^n_{i=1}\lambda_i=1\), 则：

\[
f(\sum_{i=1}^{n} \lambda_i x_i) \le \sum_{i=1}^{n} \lambda_i f(x_i)
\]

推论1：若\(f(x)\)为区间\(R\)上的凸函数，\(g(x): R \rightarrow R\)为一任意函数，\(X\)为一取值范围有限的离散变量，\(E [f \left ( g(X) \right ) ]\)与\(E[g(X)]\)都存在，则：

\[
E [f \left ( g(X) \right ) ] \ge f \left (E[g(X)] \right )
\]

3. 极大似然估计

极大似然估计方法（Maximum Likelihood Estimate，MLE）也称为最大概似估计或最大似然估计。

一般说来，事件\(A\)发生的概率与某一未知参数\(\theta\)有关，\(\theta\)的取值不同，则事件\(A\)发生的概率\(P(A|\theta)\)也不同，当我们在一次试验中事件\(A\)发生了，则认为此时的\(\theta\)值应是\(t\)的一切可能取值中使\(P(A|\theta)\)达到最大的那一个，极大似然估计法就是要选取这样的\(t\)值作为参数t的估计值，使所选取的样本在被选的总体中出现的可能性为最大。

直观的例子：
设甲箱中有99个白球，1个黑球；乙箱中有1个白球．99个黑球。现随机取出一箱，再从抽取的一箱中随机取出一球，结果是黑球，这一黑球从乙箱抽取的概率比从甲箱抽取的概率大得多，这时我们自然更多地相信这个黑球是取自乙箱的。