BZOJ2844：albus就是要第一个出场——题解

https://www.lydsy.com/JudgeOnline/problem.php?id=2844

已知一个长度为n的正整数序列A（下标从1开始）， 令 S = { x | 1 <= x <= n }, S 的幂集2^S定义为S 所有子集构成的集合。
定义映射 f : 2^S -> Z
f(空集) = 0
f(T) = XOR A[t] （对于一切t属于T）
现在albus把2^S中每个集合的f值计算出来， 从小到大排成一行， 记为序列B（下标从1开始）。
给定一个数， 那么这个数在序列B中第1次出现时的下标是多少呢？

这话真的不是人说出来的。

简单翻译一下题就是序列所有的子集（可为空）的异或和经过排序，给一个q，求q在排序后序列中的位置下标。

参考：https://blog.sengxian.com/algorithms/linear-basis

如果是无重的，我们按照类似HDU3949：XOR的做法二进制分解q即可做（看代码应该更好理解吧）。

但是有重集合就很尴尬。

不过我们有对于一个数x，它出现次数一定是2^(n-size)（size为线性基大小）。

详细证明可以看参考，这里给出我的想法。

显然对于原线性基有且仅有一种方法构造出来x，且有且仅有一种方法构造出来非线性基内但却在a序列中的数。

那么对于非线性基内但却在a序列中的数有(n-size)个，它们和线性基内的数异或为0的方法有(n-size)，排列组合就有2^(n-size)个，再与仅有一种方法构造出来x，就有2^(n-size)个了。

于是我知道了它去重前的排名，它排名前面的数都乘上2^(n-size)后+1即为答案。

PS：自己曾经也纠结过第一次算ans是否需要减一，但后来发现集合可为空……emmm这不值就有0了吗，对于0也满足这个性质啊，但是ans算排名的时候忽略了0啊。所以相当于ans-1+1=ans了啊。

#include<cstdio>
#include<iostream>
#include<vector>
#include<cstring>
#include<cmath>
#include<cctype>
#include<algorithm>
using namespace std;
const int N=;
const int p=;
const int BASE=;
inline int read(){
    int X=,w=;char ch=;
    while(!isdigit(ch)){w|=ch=='-';ch=getchar();}
    while(isdigit(ch))X=(X<<)+(X<<)+(ch^),ch=getchar();
    return w?-X:X;
}
int qpow(int k,int n){
    int res=;
    while(n){
    if(n&)res=res*k%p;
    k=k*k%p;
    n>>=;
    }
    return res;
}
int a[N],b[BASE+],cnt;
vector<int>mp;
int main(){
    int n=read();
    for(int i=;i<=n;i++){
    a[i]=read();
    for(int j=BASE;j>=;j--){
        if(a[i]>>j&){
        if(b[j])a[i]^=b[j];
        else{
            b[j]=a[i];cnt++;
            break;
        }
        }
    }
    }
    int q=read(),ans=;
    for(int i=;i<=BASE;i++)
    if(b[i])mp.push_back(i);
    for(int i=;i<mp.size();i++){
    if(q>>mp[i]&)ans+=<<i;
    ans%=p;
    }
    ans=ans*qpow(,n-cnt)%p+;
    printf("%d\n",ans%p);
    return ;
}

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