HDU5446:Unknown Treasure——题解
http://acm.hdu.edu.cn/showproblem.php?pid=5446
求C(n,m)%(p1p2…pk)的值,其中pi均为质数。
参考:https://www.cnblogs.com/linyujun/p/5199684.html
预备知识:
1.Lucas定理(图片来自百科):当p为素数时,有
2.中国剩余定理:
3.求逆元。
根据中国剩余定理可知,我们求C(n,m)%(p1p2…pk),实际就是在求解同余方程组:
C(n,m)%p1=a1
C(n,m)%p2=a2
……
C(n,m)%p3=a3
最终求得的C(n,m)即是在%(p1p2…pk)意义下的。
根据lucas定理,我们能立刻求出所有a的值。
在那之后用中国剩余定理求解即可。
(另外如果逆元不存在的话我就不知道怎么做了emmm……不过看数据貌似避开了这个问题)
#include<cmath>
#include<cstdio>
#include<cstring>
#include<iostream>
#include<algorithm>
using namespace std;
typedef long long ll;
ll qpow(ll k,ll n,ll p){
ll ans=;
while(n){
if(n&)ans=ans*k%p;
k=k*k%p;n>>=;
}
return ans;
}
ll mul(ll a,ll b,ll p){
ll ans=;
while(b){
if(b&)ans=(ans+a)%p;
a=(a<<)%p;b>>=;
}
return ans;
}
ll C(ll n,ll m,ll p){
if(n<m)return ;
if(n==m)return ;
if(m>n-m)m=n-m;
ll cn=,cm=;
for(ll i=;i<m;i++){
cn=cn*(n-i)%p;
cm=cm*(m-i)%p;
}
return cn*qpow(cm%p,p-,p)%p;
}
ll lucas(ll n,ll m,ll p){
ll ans=;
while(n&&m&&ans){
ans=ans*C(n%p,m%p,p)%p;
n/=p;m/=p;
}
return ans;
}
int t;
ll n,m,k,p[],r[],P;
int main(){
cin>>t;
while(t--){
cin>>n>>m>>k;P=;
for(int i=;i<=k;i++){
cin>>p[i];P*=p[i];
r[i]=lucas(n,m,p[i]);
}
ll ans=;
for(int i=;i<=k;i++){
ll w=P/p[i],inv=qpow(w%p[i],p[i]-,p[i]);
ans=(ans+mul(w*inv,r[i],P))%P;
}
printf("%lld\n",ans);
}
return ;
}
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