COGS 有标号的二分图计数系列

其实这三道题都是不错的……(虽然感觉第三题略套路了……)

分别写一下做法好了……

COGS2392 有标号的二分图计数 I

这个就很简单了，Noip难度。

显然可以直接认为黑点和白点分别位于二分图两侧，枚举二分图左侧的点数，如果左侧的点数为$k$，那么就有$C_n^k$种选择方案，并且有$k(n-k)$条边可选，因为每条边都可以选或不选，因此答案就是

\begin{align}\sum_{k=0}^n C_n^k 2^{k(n-k)}\end{align}

由于只需求出一个答案，直接快速幂搞一搞即可，复杂度$O(n\log n)$。

 #include<cstdio>
 #include<cstring>
 #include<algorithm>
 #define LL long long
 #define fac(x) (((x)<(0))?(0):(f[(x)]))
 using namespace std;
 const int maxn=;
 const LL p=998244353ll;
 LL inv(LL);
 LL qpow(LL,LL);
 LL C(int,int);
 int n;
 LL f[maxn<<],ans=;
 int main(){
 #define MINE
 #ifdef MINE
     freopen("QAQ_bipartite_one.in","r",stdin);
     freopen("QAQ_bipartite_one.out","w",stdout);
 #endif
     scanf("%d",&n);
     f[]=1ll;
     for(int i=;i<=n;i++)f[i]=f[i-]*i%p;
     for(int i=;i<=n;i++)(ans+=C(n,i)*qpow(2ll,(LL)(n-i)*i%(p-1ll)))%=p;
     printf("%d",(int)ans);
     return ;
 }
 LL inv(LL x){
     return qpow(x,p-2ll);
 }
 LL qpow(LL a,LL b){
     LL ans=1ll;
     for(;b;b>>=,(a*=a)%=p)if(b&1ll)(ans*=a)%=p;
     return ans;
 }
 LL C(int n,int m){
     return fac(n)*inv(fac(m)*fac(n-m)%p)%p;
 }

(这代码是我很久之前写的了，十分丑陋，不要介意……)

COGS2393 有标号的二分图计数 II

设上一题的指数生成函数是$F(x)$，这题的指数生成函数为$G(x)$，强制必须连通的指数生成函数是$H(x)$，显然有

\begin{align}G=\sum_{i=0}^\infty\frac{H^i}{i!}=e^{H}\end{align}

然后考虑$F$和$H$的关系，如果某个二分图有$k$个连通块，那么它在第一题中就会被计算$2^k$次，所以我们需要把每一项乘上$2^k$，因此就有

\begin{align}F=\sum_{i=0}^\infty\frac{2^iH^i}{i!}=e^{2H}\end{align}

然后可以看出来$F=G^2$，也就是$G=\sqrt F$，跑一下多项式开根即可求出$G$。

但是还有一个最重要的问题，这个$F$不好算……

$F$显然是没法直接算了，但观察到$F$的形式和卷积比较像，因此我们可以尝试把$F$化成卷积形式。显然最碍事的就是$2^{n(n-k)}$了，只要解决掉它，一切就都好说了。

首先我们有$k(n-k)=k^2-nk$，把$nk$用$\frac{n^2+k^2-(n-k)^2}2$替换之后就可以得到$k(n-k)=\frac{n^2-k^2-(n-k)^2}2$，因此$2^{k(n-k)}=\frac{\left(\sqrt 2\right)^{n^2}}{\left(\sqrt 2\right)^{k^2}\left(\sqrt 2\right)^{(n-k)^2}}$，然后就是卷积形式了，一遍NTT即可求出$F$。

ps：我没有想出来，这是看了ad学长的题解才明白的，感觉还是比较妙啊……

在$\mod 998244353$意义下是存在$\sqrt 2$的，暴力一下并把暴力出的答案直接写到代码里即可。

 #include<cstdio>
 #include<cstring>
 #include<algorithm>
 using namespace std;
 const int maxn=,p=,g=,sqrt_2=,inv_2=;
 void NTT(int*,int,int);
 void getsqrt(int*,int*,int);
 void getinv(int*,int*,int);
 int qpow(int,int,int);
 int n,N=,A[maxn],B[maxn],fac[maxn],pw[maxn];
 int main(){
     freopen("QAQ_bipartite_two.in","r",stdin);
     freopen("QAQ_bipartite_two.out","w",stdout);
     scanf("%d",&n);
     while(N<=n)N<<=;
     A[]=fac[]=pw[]=;
     for(int i=;i<=n;i++){
         fac[i]=(long long)fac[i-]*i%p;
         pw[i]=qpow(sqrt_2,(long long)i*i%(p-),p);
         A[i]=qpow((long long)fac[i]*pw[i]%p,p-,p);
     }
     NTT(A,N<<,);
     for(int i=;i<(N<<);i++)A[i]=(long long)A[i]*A[i]%p;
     NTT(A,N<<,-);
     for(int i=;i<=n;i++)A[i]=(long long)A[i]*pw[i]%p;
     fill(A+n+,A+(N<<),);
     getsqrt(A,B,N);
     printf("%d",(int)((long long)B[n]*fac[n]%p));
     return ;
 }
 void NTT(int *A,int n,int tp){
     for(int i=,j=,k;i<n-;i++){
         k=n;
         do j^=(k>>=);while(j<k);
         if(i<j)swap(A[i],A[j]);
     }
     for(int k=;k<=n;k<<=){
         int wn=qpow(g,(tp>?(p-)/k:(p-)/k*(long long)(p-)%(p-)),p);
         for(int i=;i<n;i+=k){
             int w=;
             for(int j=;j<(k>>);j++,w=(long long)w*wn%p){
                 int a=A[i+j],b=(long long)w*A[i+j+(k>>)]%p;
                 A[i+j]=(a+b)%p;
                 A[i+j+(k>>)]=(a-b+p)%p;
             }
         }
     }
     if(tp<){
         int inv=qpow(n,p-,p);
         for(int i=;i<n;i++)A[i]=(long long)A[i]*inv%p;
     }
 }
 void getsqrt(int *A,int *C,int n){
     static int B[maxn],D[maxn];
     fill(C,C+(n<<),);
     C[]=;
     for(int k=;k<=n;k<<=){
         copy(A,A+k,B);
         fill(B+k,B+(k<<),);
         getinv(C,D,k);
         NTT(B,k<<,);
         NTT(D,k<<,);
         for(int i=;i<(k<<);i++)B[i]=(long long)B[i]*D[i]%p;
         NTT(B,k<<,-);
         for(int i=;i<k;i++)C[i]=(long long)(C[i]+B[i])*inv_2%p;
     }
 }
 void getinv(int *A,int *C,int n){
     static int B[maxn];
     fill(C,C+(n<<),);
     C[]=qpow(A[],p-,p);
     for(int k=;k<=n;k<<=){
         copy(A,A+k,B);
         fill(B+k,B+(k<<),);
         NTT(B,k<<,);
         NTT(C,k<<,);
         for(int i=;i<(k<<);i++)C[i]=C[i]*((-(long long)B[i]*C[i]%p+p)%p)%p;
         NTT(C,k<<,-);
         fill(C+k,C+(k<<),);
     }
 }
 int qpow(int a,int b,int p){
     int ans=;
     for(;b;b>>=,a=(long long)a*a%p)if(b&)ans=(long long)ans*a%p;
     return ans;
 }

COGS2395 有标号的二分图计数 III

你还记得$F=e^{2H}$不……

然后就很好说了，多项式$\ln$之后答案就是对应项系数$/2$……

 #include<cstdio>
 #include<cstring>
 #include<algorithm>
 using namespace std;
 const int maxn=,p=,g=,sqrt_2=,inv_2=;
 void NTT(int*,int,int);
 void getln(int*,int*,int);
 void getinv(int*,int*,int);
 void getderivative(int*,int*,int);
 void getintegrate(int*,int*,int);
 int qpow(int,int,int);
 int n,N=,A[maxn],B[maxn],fac[maxn],pw[maxn];
 int main(){
     freopen("QAQ_bipartite_thr.in","r",stdin);
     freopen("QAQ_bipartite_thr.out","w",stdout);
     scanf("%d",&n);
     while(N<=n)N<<=;
     A[]=fac[]=pw[]=;
     for(int i=;i<=n;i++){
         fac[i]=(long long)fac[i-]*i%p;
         pw[i]=qpow(sqrt_2,(long long)i*i%(p-),p);
         A[i]=qpow((long long)fac[i]*pw[i]%p,p-,p);
     }
     NTT(A,N<<,);
     for(int i=;i<(N<<);i++)A[i]=(long long)A[i]*A[i]%p;
     NTT(A,N<<,-);
     for(int i=;i<=n;i++)A[i]=(long long)A[i]*pw[i]%p;
     fill(A+n+,A+(N<<),);
     getln(A,B,N);
     printf("%d",(int)((long long)B[n]*fac[n]%p*inv_2%p));
     return ;
 }
 void NTT(int *A,int n,int tp){
     for(int i=,j=,k;i<n-;i++){
         k=n;
         do j^=(k>>=);while(j<k);
         if(i<j)swap(A[i],A[j]);
     }
     for(int k=;k<=n;k<<=){
         int wn=qpow(g,(tp>?(p-)/k:(p-)/k*(long long)(p-)%(p-)),p);
         for(int i=;i<n;i+=k){
             int w=;
             for(int j=;j<(k>>);j++,w=(long long)w*wn%p){
                 int a=A[i+j],b=(long long)w*A[i+j+(k>>)]%p;
                 A[i+j]=(a+b)%p;
                 A[i+j+(k>>)]=(a-b+p)%p;
             }
         }
     }
     if(tp<){
         int inv=qpow(n,p-,p);
         for(int i=;i<n;i++)A[i]=(long long)A[i]*inv%p;
     }
 }
 void getln(int *A,int *C,int n){
     static int B[maxn];
     getderivative(A,B,n);
     getinv(A,C,n);
     NTT(B,n<<,);
     NTT(C,n<<,);
     for(int i=;i<(n<<);i++)B[i]=(long long)B[i]*C[i]%p;
     NTT(B,n<<,-);
     getintegrate(B,C,n);
     fill(C+n,C+(n<<),);
 }
 void getinv(int *A,int *C,int n){
     static int B[maxn];
     fill(C,C+(n<<),);
     C[]=qpow(A[],p-,p);
     for(int k=;k<=n;k<<=){
         copy(A,A+k,B);
         fill(B+k,B+(k<<),);
         NTT(B,k<<,);
         NTT(C,k<<,);
         for(int i=;i<(k<<);i++)C[i]=C[i]*((-(long long)B[i]*C[i]%p+p)%p)%p;
         NTT(C,k<<,-);
         fill(C+k,C+(k<<),);
     }
 }
 void getderivative(int *A,int *C,int n){
     for(int i=;i<n;i++)C[i-]=(long long)A[i]*i%p;
     C[n-]=;
 }
 void getintegrate(int *A,int *C,int n){
     for(int i=;i<n;i++)C[i]=(long long)A[i-]*qpow(i,p-,p)%p;
     C[]=;
 }
 int qpow(int a,int b,int p){
     int ans=;
     for(;b;b>>=,a=(long long)a*a%p)if(b&)ans=(long long)ans*a%p;
     return ans;
 }