子串和再续

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难度:4
描述
给你一个序列 S1, S2, S3, S4 ... Sx, ... Sn (1 ≤ x ≤ n ≤ 1,000,000, -32768 ≤ Sx ≤ 32767). 我们定义
sum(i, j) = Si + ... + Sj (1 ≤ i ≤ j ≤ n).现在给你一个 m(8>m>0&&m<n)你的任务是计算
sum(i1, j1) + sum(i2, j2) + sum(i3, j3) + ... + sum(im, jm) ;我们规定他是不相交的。
请输出m段最大和,比如:m = 2,n = 6 ,{-1 4 -2 3 -2 4} 它的结果是 9;
输入
输入 T,表示T组数据
第二行 分别是m,n;
输出
请输出m段最大和
样例输入
1
2 6
-1 4 -2 3 -2 4
样例输出
9

PS:给定n个数求这n个数划分成互不相交的m段的最大m子段和。
   经典的动态规划优化的问题。设f(i, j)表示前i个数划分成j段,且包括第i个数的最大m子段和,那么有dp方程:
       f(i, j) = max { f(i - 1, j) + v[i], max {f(k, j - 1) + v[i]}(k = j - 1 ... i - 1) }
  也就是说第i个数要么自己划到第j段,要么和前一个数一起划到第j段里面,转移是O(n)的,总复杂度O(n * n * m)。
  可以引入一个辅助数组来优化转移。设g(i, j)表示前i个数划分成j段的最大子段和(注意第i个数未必在j段里面),那么递推关系如下:
       g(i, j) = max{g(i - 1, j), f(i, j)},分是否加入第i个数来转移
  这样f的递推关系就变成:
    f(i, j) = max{f(i - 1, j), g(i - 1, j - 1)} + v[i],转移变成了O(1)
  这样最后的结果就是g[n][m],通过引入辅助数组巧妙的优化了转移。实现的时候可以用一维数组,速度很快。

AC代码:

 #include<iostream>
#include<cstdio>
#include<algorithm>
#include<cstring>
#include<string>
#include<cmath>
#include<map>
#include<queue>
using namespace std;
const int N=1e6+;
const int INF=-0x7ffffff;
int g[N],f[N],a[N];
int max_sum(int m,int n)
{
int i,j,t;
for(i=; i<=n; i++)
{
t=min(i,m); //最大才m组,所以j不能大于t;
for(j=; j<=t; j++)
{
f[j]=max(f[j],g[j-])+a[i];
g[j-]=max(g[j-],f[j-]);
}
g[j-]=max(g[j-],f[j-]);
}
return g[m];
}
int main()
{
int i,j,k,t,m,n;
cin>>t;
while(t--)
{
cin>>m>>n;
g[]=f[]=;
for(int i=; i<=n; i++)
{
cin>>a[i];
f[i]=g[i]=INF;//全部初始化为 最小值
}
cout<<max_sum(m,n)<<endl;
}
return ;
}

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