线性代数之——微分方程和 exp(At)

本节的核心是将常系数微分方程转化为线性代数问题。

\[\frac{du}{dt}=\lambda u \quad 的解为 \quad u(t) = Ce^{\lambda t}\]

代入 $t=0$，可得 $u(0) = C$，因此有 $u(t) = u(0)e^{\lambda t}$。这是只有一个变量的情况，在线性代数里，我们扩展到 $n$ 个方程的情况。

\[\frac{d\boldsymbol u}{dt}=A \boldsymbol u \quad 初始条件为向量 \quad \boldsymbol u(0)_{t=0} \]

注意，这里 $A$ 是常矩阵，不随时间而改变。而且这些方程是线性的，如果 $\boldsymbol u(t)$ 和 $\boldsymbol v(t)$ 都是方程组的解，那么它们的线性组合 $C\boldsymbol u(t)+D\boldsymbol v(t)$ 也是解，我们需要 $n$ 个这样的常数来匹配方程组的初始条件。

1. $\frac{d\boldsymbol u}{dt}=A \boldsymbol u$ 的解

其中一个解是 $e^{\lambda t} \boldsymbol x$，$\lambda$ 是矩阵 $A$ 的特征值，而 $\boldsymbol x$ 是特征向量。将这个解代入原方程，利用 $A\boldsymbol x=\lambda \boldsymbol x$ 可得

\[\frac{d\boldsymbol u}{dt} = \lambda e^{\lambda t} \boldsymbol x = A e^{\lambda t} \boldsymbol x=A \boldsymbol u\]

这个解的所有部分都有 $e^{\lambda t}$，当 $\lambda>0$ 时，解会增长；当 $\lambda<0$ 时，解会衰减。而当 $\lambda$ 为虚数时，则它的实部决定解是增长还是衰减。

例 1

求解 $\frac{d\boldsymbol u}{dt}=A \boldsymbol u = \begin{bmatrix}0&1 \\ 1&0\end{bmatrix}\boldsymbol u，\boldsymbol u_0 = \begin{bmatrix}4 \\ 2\end{bmatrix}$。

矩阵 $A$ 的特征值为 1 和 -1，特征向量为 (1, 1) 和 (1, -1)，因此两个纯指数解为：

\[\boldsymbol u_1(t) = e^{\lambda_1 t} \boldsymbol x_1 = e^t\begin{bmatrix}1 \\ 1\end{bmatrix}\]

\[\boldsymbol u_2(t) = e^{\lambda_2 t} \boldsymbol x_2 = e^{-t}\begin{bmatrix}1 \\ -1\end{bmatrix}\]

这些 $\boldsymbol u$ 依然是矩阵的特征向量，它们满足 $A\boldsymbol u_1 = \boldsymbol u_1$ 和 $A\boldsymbol u_2 = -\boldsymbol u_2$，只不过是系数随着 $t$ 改变罢了。方程组的全解为这些特解的线性组合。

利用初始条件我们可以确定出系数 $C$ 和 $D$。

因此，我们可以通过以下三个步骤来求解 $\frac{d\boldsymbol u}{dt}=A \boldsymbol u$。

将 $\boldsymbol u_0$ 写成特征向量的线性组合，$\boldsymbol u_0 = c_1 \boldsymbol x_1+\cdots+c_n \boldsymbol x_n$；
将每个特征向量 $\boldsymbol x_i$ 乘以 $e^{\lambda_i t}$；
全解就是 $e^{\lambda t}\boldsymbol x$ 的线性组合，$\boldsymbol u(t) = c_1 e^{\lambda_1 t}\boldsymbol x_1+\cdots+c_ne^{\lambda_n t} \boldsymbol x_n$。

注意，如果两个特征值相同而只有一个对应的特征向量，那么我们就需要另外一个解 $te^{\lambda t}\boldsymbol x$。

例 2

2. 二阶方程组

针对二阶方程 $my''+by'+ky=0$，我们将之转化为矩阵形式，假设 $m=1$。

因此，我们需要先求解出矩阵的特征值和特征向量。

3. 2×2 矩阵的稳定性

针对方程组的解，我们想知道随着 $t \to \infty$，解是否趋向于 $\boldsymbol u = 0$，也就是问题是否是稳定的。这取决于矩阵的特征值。

全解是由 $e^{\lambda t}\boldsymbol x$ 构建出来的。如果特征值 $\lambda$ 是实数，只有当 $\lambda<0$ 时，解才会趋向 0。如果特征值 $\lambda$ 是复数，那么有 $\lambda=r+is$，那么其实部必须小于零。

对 2×2 矩阵 $\begin{bmatrix}a&b \\ c&d\end{bmatrix}$ 来说，如果其两个特征值满足上面的两个条件，则一定有：

\[\lambda_1 + \lambda_2 < 0 \to 矩阵的迹 \quad T = a + d < 0 \]

\[\lambda_1 \lambda_2 > 0 \to 矩阵的行列式 \quad D = ad - bc > 0 \]

4. 矩阵的指数次方

最后，我们想将方程组的解写成一个新的形式 $\boldsymbol u(t) =e^{At}\boldsymbol u_0$。

\[e^x = 1 + x+\frac{1}{2}x^2+\frac{1}{6}x^3 + \cdots\]

我们将 $x$ 换成矩阵，可得：

\[e^{At} = I + At+\frac{1}{2}(At)^2+\frac{1}{6}(At)^3 + \cdots\]

它的导数为 $Ae^{At}$：

\[A + A^2t+\frac{1}{2}A^3t^2+\frac{1}{6}A^4t^3 + \cdots =Ae^{At} \]

它的特征值是 $e^{\lambda t}$：

\[(I + At+\frac{1}{2}(At)^2+\frac{1}{6}(At)^3 + \cdots)x = (1+\lambda t + \frac{1}{2}(\lambda t)^2+\frac{1}{6}(\lambda t)^3 + \cdots)x\]

假设 $A$ 有 $n$ 个线性不相关的特征向量，将 $A=S\Lambda S^{-1}$ 代入 $e^{At}$ 可得：

\[e^{At} = I + At+\frac{1}{2}(At)^2+\frac{1}{6}(At)^3 + \cdots\]

\[= I + S\Lambda S^{-1}t+\frac{1}{2}(S\Lambda S^{-1}t)(S\Lambda S^{-1}t)+ \cdots\]

将 $S$ 和 $S^{-1}$ 提取出来有

\[= S(I + \Lambda t+\frac{1}{2}(\Lambda t)^2+\cdots)S^{-1} = Se^{\Lambda t}S^{-1}\]

这和之前解的形式是一模一样的！

例 3

$e^{At}$ 满足下面三个规则：

$e^{At}$ 总有逆矩阵 $e^{-At}$；
$e^{At}$ 的特征值总是 $e^{\lambda t}$；
如果 $A$ 是反对称矩阵，即 $A^T=-A$，那么 $e^{-At}$ 是一个正交矩阵，转置等于逆。
例 4

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