bzoj 3453 数论
首先我们知道对于f(x)来说,它是一个k次的多项式,那么f(x)的通项公式可以表示成一个k+1次的式子,且因为f(x)没有常数项,所以我们设这个式子为
f(x)=Σ(a[i]*x^i) (1<=i<=k+1)
那么比较显然的是f(x+1)-f(x)=(x+1)^k,因为(x+1)^k=Σc(k,i)*x^i (0<=i<=k),所以我们可以将这个式子的左右展开,可以得到
f(x+1)-f(x)=(x+1)^k Σ(a[i]*(x+1)^i)-Σ(a[i]*x^i)=(x+1)^k Σa[i](Σc(i,j)*x^j (0<=j<=i)-x^i) (1<=i<=k+1)=Σc(k,i)*x^i (0<=i<=k)
Σa[i]Σc(i,j)*x^j (0<=j<=i-1) (1<=i<=k+1)=Σc(k,i)*x^i (0<=i<=k)
那么我们发现,式子的左右两边x的指数都是属于[0,k]的,那么对应项系数相等,可以得出k+1个式子,则对于任意一个系数j,我们有Σa[i]*c(i,j) (j+1<=i<=k+1)=c(k,j)。这样我们就有了k+1个式子,对于a数组的k+1个未知数,我们可以用高斯消元来解决这个问题。
下面对于g(x),我们可以表示为
g(x)=Σ(x-i+1)*i^k (1<=i<=x)
我们可以进一步整理为
g(x)=(x+1)Σi^k-Σi^(k+1) (1<=i<=x)
那么我们发现,这个式子的前面就是(x+1)乘上f(x),后面就是一个类似f(x)的东西,只是系数变成了k+1,那么我们设这个表达式为w(x)且系数为b[i],那么类似于求f(x)的过程我们可以将b[i]求出来,那么g(x)=(x+1)*f(x)-w(x),那么对于相同指数的x我们可以直接合并,那么我们就可以得到g(x)的系数组。
那么我们构造矩阵A[i](1,i^1,i^2....,i^(k+2)),那么对于(i+1)^j=Σc(j,l)*i^l (0<=l<=j),那么我们显然可以由上一层累加得到,系数为c(j,l)。
那么我们构造矩阵B[j](1,i^1,i^2....,i^(k+2),Σg(s+j*d)) i=s+j*d,初始的时候最后一项可以由A[i]矩阵的s次幂转移乘上g的系数组得到,那么对于这个矩阵的转移矩阵,前半部分显然可以由为A[i]的转移矩阵的d次自乘得到,对于最后一项的转移则为上一次的Σ值累加上g(s+i*d)的值,我们可以由前面的i的若干次幂乘上g(x)的系数组转移得到。
/**************************************************************
Problem: 3453
User: BLADEVIL
Language: C++
Result: Accepted
Time:11180 ms
Memory:1444 kb
****************************************************************/
//By BLADEVIL
#include <cstdio>
#include <cstring>
#include <algorithm>
#define LL long long
#define maxk 150
#define P 1234567891
using namespace std;
struct mat{
int n,m;
int a[maxk][maxk];
mat (int n,int m):n(n),m(m){memset(a,,sizeof a);};
};
int K,S,N,D;
int C[maxk][maxk];
int a[maxk][maxk],fac[][maxk];
mat operator *(const mat &a,const mat &b) {
mat c(a.n,b.m);
for (int i=;i<a.n;i++)
for (int j=;j<b.m;j++)
for (int k=;k<a.m;k++)
c.a[i][j]=(c.a[i][j]+(LL)a.a[i][k]*b.a[k][j])%P;
return c;
}
mat pwr(mat a,int x) {
mat ans(a.n,a.n);
for (int i=;i<a.n;i++) ans.a[i][i]=;
while (x) {
if (x&) ans=ans*a;
a=a*a;
x>>=;
}
return ans;
}
void pre(){
C[][]=;
for (int i=;i<maxk;i++) {
C[i][]=C[i][i]=;
for (int j=;j<i;j++)
C[i][j]=((LL)C[i-][j-]+C[i-][j])%P;
}
}
int pwr(int x,int y) {
int ans=;
while (y) {
if (y&) ans=((LL)ans*x)%P;
x=((LL)x*x)%P;
y>>=;
}
return ans;
}
void gauss(int a[][maxk],int n) {
for (int i=;i<n;i++) {
int k=,t;
for (k=i;(k<n)&&(!a[k][i]);k++);
for (int j=;j<=n;j++) swap(a[i][j],a[k][j]);
t=pwr(a[i][i],P-);
for (int j=i;j<=n;j++) a[i][j]=((LL)a[i][j]*t)%P;
for (int j=;j<n;j++) if (j!=i)
for (k=n;k>=i;k--) a[j][k]=(a[j][k]+(LL)a[j][i]*(P-a[i][k]))%P;
}
}
void solve() {
memset(a,,sizeof a); memset(fac,,sizeof fac);
for (int i=;i<=K;i++) {
for (int j=i+;j<=K+;j++) a[i][j-]=C[j][i];
a[i][K+]=C[K][i];
}
gauss(a,K+);
for (int i=;i<=K;i++) fac[][i+]=a[i][K+]; K++;
memset(a,,sizeof a);
for (int i=;i<=K;i++) {
for (int j=i+;j<=K+;j++) a[i][j-]=C[j][i];
a[i][K+]=C[K][i];
}
gauss(a,K+);
for (int i=;i<=K;i++) fac[][i+]=a[i][K+]; K--;
for (int i=;i<=K+;i++) fac[][i]=fac[][i-];
for (int i=;i<=K+;i++) fac[][i]=((LL)fac[][i]+fac[][i])%P;
for (int i=;i<=K+;i++) fac[][i]=((LL)fac[][i]-fac[][i]+P)%P;
mat DP(K+,K+);
for (int i=;i<=K+;i++)
for (int j=;j<=i;j++) DP.a[j][i]=C[i][j];
DP=pwr(DP,D); DP.n++; DP.m++;
for (int i=;i<=K+;i++)
for (int j=;j<=K+;j++)
DP.a[j][K+]=(DP.a[j][K+]+(LL)DP.a[j][i]*fac[][i])%P;
DP.a[K+][K+]=;
mat A(,K+); A.a[][]=;
for (int i=;i<=K+;i++) A.a[][i]=((LL)A.a[][i-]*S)%P;
for (int i=;i<=K+;i++) A.a[][K+]=(A.a[][K+]+(LL)fac[][i]*A.a[][i])%P;
A=A*pwr(DP,N);
printf("%d\n",A.a[][K+]);
}
int main() {
pre();
int task;
scanf("%d",&task);
while (task--) {
scanf("%d%d%d%d",&K,&S,&N,&D);
solve();
}
return ;
}
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