【学习笔记】Dirichlet前缀和

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\(\text{Solution:}\)

观察到一个\(a_i\)若对\(a_j\)有贡献，则必须\(i\)的所有质因子幂次小于等于\(j\)的质因子幂次。

于是，我们可以枚举质数的倍数并累加即可。其实就是把直接枚举每个数的倍数改为枚举质数的倍数，可以把\(O(n\log n)\)优化到\(O(n\log \log n).\)

注意：埃氏筛筛积性函数是可以做到\(O(n\log\log n)\)的（枚举质数的倍数），而直接枚举每一个数的倍数应该是\(O(n\log n)\)的。

#include<bits/stdc++.h>
using namespace std;
const int MAXN=20000000;
#define uint unsigned int
uint seed;
inline uint getnext(){
	seed^=seed<<13;
	seed^=seed>>17;
	seed^=seed<<5;
	return seed;
}
bitset<MAXN+1>vis;
int cnt,n;
uint a[MAXN],ans,p[MAXN];
int main(){
	scanf("%d",&n);
	scanf("%u",&seed);
	for(int i=1;i<=n;++i)a[i]=getnext();
	for(int i=2;i<=MAXN;++i){
		if(!vis[i])p[++cnt]=i;
		for(int j=1;j<=cnt&&i*p[j]<=MAXN;++j){
			vis[i*p[j]]=1;
			if(i%p[j]==0)break;
		}
	}
	for(int i=1;i<=cnt;++i){
		for(int j=1;j*p[i]<=MAXN;++j){
			a[j*p[i]]+=a[j];
		}
	}
	for(int i=1;i<=n;++i)ans^=a[i];
	cout<<ans<<endl;
	return 0;
}