5.20 省选模拟赛 T1 图 启发式合并 线段树合并 染色计数问题

LINK：图

在说这道题之前吐槽一下今天的日子 520 = 1+1+4+514. /cy

这道题今天做的非常失败 一点分都没拿到手 关键是今天的T3 把我整个人给搞崩了。

先考虑 如果得到了这么一张图 怎么得到染色的方案数。

发现很难计算 容斥？总方案-2个相同的+3个相同的 我都觉得不太靠谱且复杂度过高。

考虑直接用乘法原理计数 随便从一个点dfs 然后把相邻的点能选择的方案-1.

这样也是错误的 如一个四个点的环(可能不满足题目中的条件类似的 不过也是可以构造出来的。

第一个点贡献为n 第二个点贡献为n-1 第三个点贡献为n-1 第四个点贡献为n-2

容易发现端倪 如果第三个点和第一个点颜色一样 那么第四个点方案就可以为 n-1了。

所以这是不正确的。

进一步的我们发现 关键是和某个点相邻的多个点可能没有边相连 所以 他们颜色可能相同。

结合题目条件 一个编号比周围都小的点一定没有这个限制。

那么从大到小考虑 染色就可以使相邻的点 颜色不同了。

考虑50分的做法 把图建出来 暴力染色 即可。

这里建图 我直接枚举了两个点b c 寻找是否存在一个a 满足 a<b,a<c 且a和b 以及a和c有边相连。

bitset优化一下即可。

const int MAXN=1002;
int n,m;
bitset<MAXN>b[MAXN],s,cc;
int a[MAXN],vis[MAXN],ans=1;
inline int mul(int a,int b){return (ll)a*b%mod;}
inline int add(int a,int b){return a+b>=mod?a+b-mod:a+b;}
inline int mus(int a,int b){return a-b<0?a-b+mod:a-b;}
inline int ksm(int b,int p)
{
	int cnt=1;
	while(p)
	{
		if(p&1)cnt=mul(cnt,b);
		b=mul(b,b);p=p>>1;
	}
	return cnt;
}
inline void dfs(int x)
{
	vis[x]=1;ans=mul(ans,a[x]);
	for(int i=1;i<=n;++i)
	{
		if(!b[x][i])continue;
		if(!vis[i])--a[i];
	}
	for(int i=1;i<=n;++i)
	{
		if(!b[x][i])continue;
		if(!vis[i])dfs(i);
	}
}
int main()
{
	freopen("a.in","r",stdin);
    freopen("a.out","w",stdout);
	get(n);get(m);
	rep(1,m,i)
	{
		int get(x),get(y);
		b[x][y]=b[y][x]=1;
	}
	s.reset();
	rep(2,n,i)
	{
		s[i-1]=1;
		rep(i+1,n,j)
		{
			if(b[i][j])continue;
			cc=b[i]&b[j]&s;
			if(cc.count())b[i][j]=b[j][i]=1;
		}
	}
	rep(1,n,i)a[i]=n;
	//rep(1,n,i){rep(1,n,j)cout<<b[i][j]<<' ';cout<<endl;}
	fep(n,1,i)
	{
		int cnt=0;
		rep(i+1,n,j)if(b[i][j])++cnt;
		ans=mul(ans,n-cnt);
	}
	put(ans);return 0;
}

考虑正解：

此时问题变成了 求每个点和其相连的 编号比其大的个数.

还是考虑题目中的a,b,c 和刚才的暴力一样需要从小到大做。

考虑最小的a 显然可以直接得到答案。

此时容易想到 和a相连的那些点必然也相连。

在从小到大考虑到某个和a相连的点w的时候 w和a能连得集合是相同的。

把a的集合拿过来用即可得到和自己相连的点集。

可以发现这个关系具有传递性 且每次只会传递到一个点上。

所以 由于要支持查询最小值和数量 所以可以利用set 进行启发式合并。nlog^2

当然也可以使用线段树合并来优化复杂度.nlog

值得注意的是 需要去重 所以无法使用可并堆/堆 来做。这里给出线段树合并的code。

const int MAXN=1000010;
int n,m,id;
int a[MAXN],root[MAXN],ans=1;
inline int mul(int a,int b){return (ll)a*b%mod;}
inline int add(int a,int b){return a+b>=mod?a+b-mod:a+b;}
inline int mus(int a,int b){return a-b<0?a-b+mod:a-b;}
inline int ksm(int b,int p)
{
	int cnt=1;
	while(p)
	{
		if(p&1)cnt=mul(cnt,b);
		b=mul(b,b);p=p>>1;
	}
	return cnt;
}
struct wy{int l,r;int sum;}t[MAXN*30];
inline void insert(int &p,int l,int r,int x)
{
	if(!p)p=++id;++sum(p);
	if(l==r)return;
	int mid=(l+r)>>1;
	if(x<=mid)insert(l(p),l,mid,x);
	else insert(r(p),mid+1,r,x);
}
inline int ask(int p,int l,int r)
{
	if(!sum(p))return 0;
	--sum(p);
	if(l==r)return l;
	int mid=(l+r)>>1;
	if(sum(l(p)))return ask(l(p),l,mid);
	return ask(r(p),mid+1,r);
}
inline int merge(int x,int y,int l,int r)
{
	if(!x||!y)return x|y;
	if(l==r)return x;
	int mid=(l+r)>>1;
	l(x)=merge(l(x),l(y),l,mid);
	r(x)=merge(r(x),r(y),mid+1,r);
	sum(x)=sum(l(x))+sum(r(x));
	return x;
}
int main()
{
	freopen("1.in","r",stdin);
    //freopen("a.out","w",stdout);
	get(n);get(m);
	rep(1,m,i)
	{
		int x,y;
		get(x);get(y);
		if(x>y)swap(x,y);
		insert(root[x],1,n,y);
	}
	rep(1,n,i)
	{
		ans=mul(ans,n-sum(root[i]));
		//cout<<sum(root[i])<<endl;
		int ww=ask(root[i],1,n);
		//cout<<sum(root[i])<<endl;
		if(ww)root[ww]=merge(root[ww],root[i],1,n);
	}
	put(ans);
	return 0;
}