学习笔记 - 快速傅里叶变换 / 大数A * B的另一种解法
转：
学习笔记 - 快速傅里叶变换 / 大数A * B的另一种解法
文章目录
- 前言
- ~~Fast Fast TLE~~
- 一、FFT是什么?
- 二、FFT可以干什么?
- 1.多项式乘法
- 2.大数乘法
- 三、FFT怎么做?
- 1. 系数表示法和点值表示法
- 3.如何巧妙地进行DFT? - FFT的高明之处
- 4. *单位复根* - FFT的高明之处(二)
- 5. Inverse Fast Fourier Transform - 从点值表示法回到系数表示法
- 四、FFT的递归实现
- 五、大数乘法的实现(FFT版)
- 后话(~~废话~~)
前言
Fast Fast TLE
原本做大数乘法的时候是想偷懒的, 就百度了下大数 A * B 的代码, 无意中发现有使用FFT的做法, 于是便开始了学习 (受苦) , 本文用以记录仅在算法应用层面上我对FFT的理解和一个手搓的大数乘法模版.
需要一定的复数知识, 但不多.
笔者对FFT的理解较为粗浅, 因此在下文可能大量略过某些部分的详细证明, 请见谅!
一、FFT是什么?
快速傅里叶变换( Fast Fourier Transform ), 是一种对离散傅里叶变换( Discrete Fourier Transform )的优化, 可令离散傅里叶变换的运算量大大降低, 在取样点数量较多的情况下可显著提升效率
二、FFT可以干什么?
1.多项式乘法
实际上, FFT可以大大提升卷积1的计算效率, 而当卷积的两个函数为多项式的时候, FFT则能在多项式乘法上大显神威.
2.大数乘法
关于乘法, 朴素的算法则是模拟我们自小学会的竖式乘法, 不难证明这样的算法的复杂度为O(n2), 然而这样的算法不仅容易精度溢出, 效率也不够高, 应用FFT则可以使算法的复杂度降低至O(nlogn).
观察一个数字, 如123456, 换种角度思考, 可以将其转化为以下的式子:
123456
=
1
∗
1
0
5
+
2
∗
1
0
4
+
3
∗
1
0
3
+
4
∗
1
0
2
+
5
∗
1
0
1
+
6
∗
1
0
0
123456 = 1 *10^5+2*10^4+3*10^3+4*10^2+5*10^1+6*10^0
123456=1∗105+2∗104+3∗103+4∗102+5∗101+6∗100再转化一次, 令x = 10, 则可以得到:
1
∗
x
5
+
2
∗
x
4
+
3
∗
x
3
+
4
∗
x
2
+
5
∗
x
1
+
6
∗
x
0
1 *x^5+2*x^4+3*x^3+4*x^2+5*x^1+6*x^0
1∗x5+2∗x4+3∗x3+4∗x2+5∗x1+6∗x0
从这个角度思考, 大数乘法不正是x = 10的情况下的多项式乘法吗?
三、FFT怎么做?
PS:强烈建议您通过这个视频进行学习并在需要的情况下结合下文理解, 个人认为这个视频讲得相当易懂
1. 系数表示法和点值表示法
任取一个n-1阶2 多项式, 将其表示为
a
0
+
a
1
x
+
a
2
x
2
+
.
.
.
+
a
n
−
1
x
n
−
1
a_0+a_1x+a_2x^2+...+a_{n-1}x^{n-1}
a0+a1x+a2x2+...+an−1xn−1实际上我们已经得到了它的系数表示, 即
[
a
0
a
1
a
2
.
.
.
a
n
−
1
]
left[ begin{array}{l} a_0&a_1&a_2&...&a_{n-1} end{array} right]
[a0a1a2...an−1]
那么什么是它的点值表示法呢?
对一个多项式
f
(
x
)
=
a
0
+
a
1
x
+
a
2
x
2
+
.
.
.
+
a
n
−
1
x
n
−
1
f(x)= a_0+a_1x+a_2x^2+...+a_{n-1}x^{n-1}
f(x)=a0+a1x+a2x2+...+an−1xn−1任取不小于n个xi带入并计算得到f(xi)即为其点值表示法:
{
(
x
0
,
f
(
x
0
)
,
(
x
1
,
f
(
x
1
)
,
…
,
(
x
n
−
1
,
f
(
x
n
−
1
)
}
left{ (x_0,f(x_0),(x_1,f(x_1), dots,(x_{n-1},f(x_{n-1}) right}
{(x0,f(x0),(x1,f(x1),…,(xn−1,f(xn−1)}
将其化为矩阵形式, 有
[
f
(
x
1
)
f
(
x
2
)
⋮
f
(
x
−
1
)
]
=
[
1
x
0
x
0
2
…
x
0
n
−
1
1
x
1
x
1
2
…
x
1
n
−
1
…
…
…
⋮
…
1
x
n
−
1
x
n
−
1
2
…
x
n
−
1
n
−
1
]
[
a
0
a
1
⋮
a
n
−
1
]
left[ begin{array}{l} f(x_1)\ f(x_2)\ vdots \ f(x-1) end{array} right] = left[ begin{array}{l} 1&x_0&x_0^2&dots&x_{0}^{n-1}\ 1&x_1&x_1^2&dots&x_{1}^{n-1}\ dots&dots&dots&vdots&dots\ 1&x_{n-1}&x_{n-1}^2&dots&x_{n-1}^{n-1} end{array} right] left[ begin{array}{l} a_0\ a_1\ vdots \ a_{n-1} end{array} right]
⎣⎢⎢⎢⎡f(x1)f(x2)⋮f(x−1)⎦⎥⎥⎥⎤=⎣⎢⎢⎢⎡11…1x0x1…xn−1x02x12…xn−12……⋮…x0n−1x1n−1…xn−1n−1⎦⎥⎥⎥⎤⎣⎢⎢⎢⎡a0a1⋮an−1⎦⎥⎥⎥⎤
PS:从 系数表示法 得到 点值表示法 的这一步即为DFT(离散傅里叶变换)
由范德蒙德行列式易证得当x0 ~ xn-1互不相同时矩阵可逆, 即当所取的xi不小于矩阵的阶加一时, 点值表示法和系数表示法一一对应.
令
h
(
x
)
=
f
(
x
)
g
(
x
)
h(x)=f(x)g(x)
h(x)=f(x)g(x)
在点值表示法的基础上, 要计算h(x)的表达式, 只需要取相同的xi得出f(xi)和g(xi)并相乘, 再从(xi ,f(xi)g(xi))的点值表示法转换成系数表示法即可得到h(x)的值.
那么如何从点值表示法转换成系数表示法呢? 仔细观察上面的矩阵表达式不难得出:
{
(
x
0
,
f
(
x
0
)
,
(
x
1
,
f
(
x
1
)
,
…
,
(
x
n
−
1
,
f
(
x
n
−
1
)
}
left{ (x_0,f(x_0),(x_1,f(x_1), dots,(x_{n-1},f(x_{n-1}) right}
{(x0,f(x0),(x1,f(x1),…,(xn−1,f(xn−1)}
将其化为矩阵形式, 有
[
a
0
a
1
⋮
a
n
−
1
]
=
[
1
x
0
x
0
2
…
x
0
n
−
1
1
x
1
x
1
2
…
x
1
n
−
1
…
…
…
⋮
…
1
x
n
−
1
x
n
−
1
2
…
x
n
−
1
n
−
1
]
−
1
[
f
(
x
1
)
f
(
x
2
)
⋮
f
(
x
−
1
)
]
left[ begin{array}{l} a_0\ a_1\ vdots \ a_{n-1} end{array} right] = left[ begin{array}{l} 1&x_0&x_0^2&dots&x_{0}^{n-1}\ 1&x_1&x_1^2&dots&x_{1}^{n-1}\ dots&dots&dots&vdots&dots\ 1&x_{n-1}&x_{n-1}^2&dots&x_{n-1}^{n-1} end{array} right]^{-1} left[ begin{array}{l} f(x_1)\ f(x_2)\ vdots \ f(x-1) end{array} right]
⎣⎢⎢⎢⎡a0a1⋮an−1⎦⎥⎥⎥⎤=⎣⎢⎢⎢⎡11…1x0x1…xn−1x02x12…xn−12……⋮…x0n−1x1n−1…xn−1n−1⎦⎥⎥⎥⎤−1⎣⎢⎢⎢⎡f(x1)f(x2)⋮f(x−1)⎦⎥⎥⎥⎤
PS:从 点值表示法 得到 系数表示法 的这一步即为Inverse DFT(逆离散傅里叶变换)
3.如何巧妙地进行DFT? - FFT的高明之处
对上述的DFT过程, 一个通常的想法是在x轴上随便挑几个点代入计算, 比如说x0= 0, x1 = 1, …然而这样做的话又重新掉入了O(n2)的窠臼之中, 我们依旧需要对n个甚至以上的点计算n次, 而要探讨FFT的做法, 让我们先着眼于两个简单的多项式
P
1
=
x
2
P_1=x^2
P1=x2
因为这是一个偶函数, 当我们确定f(xi)时通过偶函数的性质可以立刻确定f(-xi) = f(xi), 这样我们任取一个点, 立刻就可以确定其相反数的函数值了.
而对于
P
2
=
x
3
P_2= x^3
P2=x3
和P1不同, 这是个奇函数, 因此f(-xi) = -f(xi).
据此, 我们不妨将一个一般的多项式(设n为偶数)分解为奇函数的部分和偶函数的部分, 再从奇函数部分提取一个x:
P
(
x
)
=
a
0
+
a
1
x
+
a
2
x
2
+
.
.
.
+
a
n
−
1
x
n
−
1
令
P
e
(
x
)
=
a
0
+
a
2
x
2
+
.
.
.
+
a
n
−
2
x
n
−
2
,
P
o
(
x
)
=
a
1
+
a
3
x
2
+
.
.
.
+
a
n
−
1
x
n
−
2
则
P
(
x
i
)
=
P
e
(
x
i
)
+
x
i
P
o
(
x
i
)
,
P
(
−
x
i
)
=
P
e
(
x
i
)
−
x
i
P
o
(
x
i
)
P(x) = a_0+a_1x+a_2x^2+...+a_{n-1}x^{n-1}\ 令P_e(x) = a_0+ a_2x^2+...+a_{n-2}x^{n-2} , P_o(x) = a_1+a_3x^2+...+a_{n-1}x^{n-2}\ 则P(x_i)=P_e(x_i)+x_iP_o(x_i), \P(-x_i)=P_e(x_i)-x_iP_o(x_i)
P(x)=a0+a1x+a2x2+...+an−1xn−1令Pe(x)=a0+a2x2+...+an−2xn−2,Po(x)=a1+a3x2+...+an−1xn−2则P(xi)=Pe(xi)+xiPo(xi),P(−xi)=Pe(xi)−xiPo(xi)
若令 p = x2, 则Pe(x)和Po(x)则简化为以下式子:
P
e
(
x
)
=
a
0
+
a
2
x
2
+
.
.
.
+
a
n
−
2
x
n
−
2
P
o
(
x
)
=
a
1
+
a
3
x
2
+
.
.
.
+
a
n
−
1
x
n
−
2
⇕
令
p
=
x
2
P
e
(
p
)
=
a
0
+
a
2
p
+
.
.
.
+
a
n
−
2
p
n
−
2
2
P
o
(
p
)
=
a
1
+
a
3
p
+
.
.
.
+
a
n
−
1
p
n
−
2
2
P_e(x) = a_0+ a_2x^2+...+a_{n-2}x^{n-2}\ P_o(x) = a_1+a_3x^2+...+a_{n-1}x^{n-2}\ Updownarrow 令p=x^2\ P_e(p) = a_0 + a_2p+...+a_{n-2}p^{frac{n-2}{2}}\ P_o(p) = a_1 + a_3p+...+a_{n-1}p^{frac{n-2}{2}}\
Pe(x)=a0+a2x2+...+an−2xn−2Po(x)=a1+a3x2+...+an−1xn−2⇕令p=x2Pe(p)=a0+a2p+...+an−2p2n−2Po(p)=a1+a3p+...+an−1p2n−2
如果此时将Pe和Po视为新的式子, 重复上述操作则可将Pe和Po继续降阶直到Pe和Po的式子的阶降至0, 那么此时Pe和Po的值便为常数a0和a1.
以多项式P(x) = a0 + a1x + a2x2 + a3x2为例, DFT过程需要构造4个根x1, x2, x3, x4并带入求值, 以上述方法降阶则有:
第一步:
P
0
(
x
)
=
a
0
+
a
1
x
+
a
2
x
2
+
a
3
x
3
⇕
令
t
=
x
2
P
e
0
(
t
)
=
a
0
+
a
2
t
P
o
0
(
t
)
=
a
1
+
a
3
t
P
0
(
x
i
)
=
P
e
0
(
x
i
2
)
+
x
i
P
o
0
(
x
i
2
)
,
P
0
(
−
x
i
)
=
P
e
0
(
x
i
2
)
−
x
i
P
o
0
(
x
i
2
)
P_0(x) = a_0+a_1x+a_2x^2+a_3x^3\ Updownarrow令t = x^2\ P_{e0}(t) = a_0+a_2t\ P_{o0}(t)= a_1 + a_3t\\ P_0(x_i)=P_{e0}(x_i^2)+x_iP_{o0}(x_i^2), \P_0(-x_i)=P_{e0}(x_i^2)-x_iP_{o0}(x_i^2)
P0(x)=a0+a1x+a2x2+a3x3⇕令t=x2Pe0(t)=a0+a2tPo0(t)=a1+a3tP0(xi)=Pe0(xi2)+xiPo0(xi2),P0(−xi)=Pe0(xi2)−xiPo0(xi2)
第二步:
令
P
1
=
P
e
0
(
t
)
=
a
0
+
a
2
t
,
令
P
2
=
P
o
0
(
t
)
=
a
1
+
a
3
t
,
则
P
e
1
(
t
)
=
a
0
,
则
P
e
2
(
t
)
=
a
1
,
P
o
1
(
t
)
=
a
2
P
e
2
(
t
)
=
a
3
P
1
(
x
i
2
)
=
P
e
1
(
x
i
2
)
+
x
i
2
P
o
1
(
x
i
2
)
=
a
0
+
x
i
2
⋅
a
2
,
P
2
(
x
i
2
)
=
P
e
2
(
x
i
2
)
+
x
i
2
P
o
2
(
x
i
2
)
=
a
1
+
x
i
2
⋅
a
3
,
P
1
(
−
x
i
2
)
=
P
e
1
(
−
x
i
2
)
−
x
i
2
P
o
1
(
x
i
2
)
=
a
0
−
x
i
2
⋅
a
2
P
2
(
−
x
i
2
)
=
P
e
2
(
−
x
i
2
)
−
x
i
2
P
o
2
(
x
i
2
)
=
a
1
−
x
i
2
⋅
a
3
begin{array}{c|c} 令P_1=P_{e0}(t) = a_0+a_2t, & 令P_2 = P_{o0}(t)= a_1 + a_3t,\ 则P_{e1}(t) = a_0, & 则P_{e2}(t) = a_1,\ P_{o1}(t) = a_2 & P_{e2}(t) = a_3\ P_1(x_i^2) = P_{e1}(x_i^2)+x_i^2P_{o1}(x_i^2) = a_0 + x_i^2cdot a_2, & P_2(x_i^2) = P_{e2}(x_i^2)+x_i^2P_{o2}(x_i^2) = a_1 + x_i^2cdot a_3,\ P_1(-x_i^2) = P_{e1}(-x_i^2)-x_i^2P_{o1}(x_i^2) = a_0 - x_i^2cdot a_2 & P_2(-x_i^2) = P_{e2}(-x_i^2)-x_i^2P_{o2}(x_i^2)=a_1 - x_i^2cdot a_3\ end{array}
令P1=Pe0(t)=a0+a2t,则Pe1(t)=a0,Po1(t)=a2P1(xi2)=Pe1(xi2)+xi2Po1(xi2)=a0+xi2⋅a2,P1(−xi2)=Pe1(−xi2)−xi2Po1(xi2)=a0−xi2⋅a2令P2=Po0(t)=a1+a3t,则Pe2(t)=a1,Pe2(t)=a3P2(xi2)=Pe2(xi2)+xi2Po2(xi2)=a1+xi2⋅a3,P2(−xi2)=Pe2(−xi2)−xi2Po2(xi2)=a1−xi2⋅a3
如此, 对P0(x)的快速傅里叶变换过程已经呼之欲出了, 然而这里却有一个严重的问题亟待解决……
4. 单位复根 - FFT的高明之处(二)
也许你已经注意到了其中的问题, 让我们回到上述第二步, 该如何取xi的值才能使得x02与x12互为相反数呢, 显然在实数域中这个问题是无法被解决的.
这就是FFT的第二个高明之处, 使用n次单位复根来解决问题.
让我们继续使用上面那个多项式P0(x), 我们需要4个数作为x代入多项式并求值, 从而得出P0(x)的点值表达式, 那么我们不妨使用4次单位复根(1, -1, i, -i)作为 xi :
求
P
0
(
x
i
)
的
值
,
其
中
P
0
(
x
)
=
a
0
+
a
1
x
+
a
2
x
2
+
a
3
x
3
,
x
i
=
[
1
,
−
1
,
i
,
−
i
]
P
0
(
1
)
=
P
e
0
(
1
)
+
1
⋅
P
o
0
(
1
)
,
P
0
(
−
1
)
=
P
e
0
(
1
)
−
1
⋅
P
o
0
(
1
)
P
0
(
i
)
=
P
e
0
(
−
1
)
+
i
⋅
P
o
0
(
−
1
)
,
P
0
(
−
1
)
=
P
e
0
(
−
1
)
−
i
⋅
P
o
0
(
−
1
)
求P_0(x_i)的值, 其中P_0(x) = a_0+a_1x+a_2x^2+a_3x^3 ,x_i = left[ 1,-1,i,-i right]\ P_0(1)=P_{e0}(1)+1 cdot P_{o0}(1), \P_0(-1)=P_{e0}(1)-1 cdot P_{o0}(1)\ P_0(i)=P_{e0}(-1)+i cdot P_{o0}(-1), \P_0(-1)=P_{e0}(-1)-i cdot P_{o0}(-1)\
求P0(xi)的值,其中P0(x)=a0+a1x+a2x2+a3x3,xi=[1,−1,i,−i]P0(1)=Pe0(1)+1⋅Po0(1),P0(−1)=Pe0(1)−1⋅Po0(1)P0(i)=Pe0(−1)+i⋅Po0(−1),P0(−1)=Pe0(−1)−i⋅Po0(−1)
P
e
0
(
1
)
=
P
1
(
1
)
=
P
e
1
(
1
)
+
1
⋅
P
o
1
(
1
)
=
a
0
+
1
⋅
a
2
,
P
e
0
(
−
1
)
=
P
1
(
−
1
)
=
P
e
1
(
−
1
)
−
1
⋅
P
o
1
(
1
)
=
a
0
−
1
⋅
a
2
P
o
0
(
1
)
=
P
1
(
1
)
=
P
e
2
(
1
)
+
1
⋅
P
o
2
(
1
)
=
a
1
+
1
⋅
a
3
,
P
o
0
(
−
1
)
=
P
1
(
−
1
)
=
P
e
2
(
−
1
)
−
1
⋅
P
o
2
(
1
)
=
a
1
−
1
⋅
a
3
P_{e0}(1) = P_1(1) = P_{e1}(1)+1cdot P_{o1}(1) = a_0 + 1cdot a_2, \ P_{e0}(-1) = P_1(-1) = P_{e1}(-1)-1cdot P_{o1}(1) = a_0 - 1cdot a_2\ P_{o0}(1) = P_1(1) = P_{e2}(1)+1cdot P_{o2}(1) = a_1 + 1cdot a_3, \ P_{o0}(-1) = P_1(-1) = P_{e2}(-1)-1cdot P_{o2}(1) = a_1 - 1cdot a_3
Pe0(1)=P1(1)=Pe1(1)+1⋅Po1(1)=a0+1⋅a2,Pe0(−1)=P1(−1)=Pe1(−1)−1⋅Po1(1)=a0−1⋅a2Po0(1)=P1(1)=Pe2(1)+1⋅Po2(1)=a1+1⋅a3,Po0(−1)=P1(−1)=Pe2(−1)−1⋅Po2(1)=a1−1⋅a3
再将值代入上式, 整个FFT过程便结束了.
当然单位复根的其他(我并不熟知)的性质(如可约引理, 等分引理, 求和引理等), 造就了其十分适合用于快速傅里叶变换中.
简单来说, 对于n次单位复根(其中n是2的正整数次幂), 他们之间两两正负配对(第k个根与第k + n/2个根)且平方后同样两两正负配对, 这令其十分适合用于递归当中.
当然, 这些性质在n是2的正整数次幂时才生效, 当n不是2的正整数次幂时, 可自行将多项式的次数补足, 此时该项系数为0即可.
当然由于我十分的菜, 具体的证明就此略过了, 各位可以看看我推荐的那个视频或者自行寻找资料进行证明(
5. Inverse Fast Fourier Transform - 从点值表示法回到系数表示法
这一步骤之简单你绝对无法想象, 观察上文的IDFT的实现:
[
a
0
a
1
⋮
a
n
−
1
]
=
[
1
x
0
x
0
2
…
x
0
n
−
1
1
x
1
x
1
2
…
x
1
n
−
1
…
…
…
⋮
…
1
x
n
−
1
x
n
−
1
2
…
x
n
−
1
n
−
1
]
−
1
[
f
(
x
1
)
f
(
x
2
)
⋮
f
(
x
−
1
)
]
left[ begin{array}{l} a_0\ a_1\ vdots \ a_{n-1} end{array} right] = left[ begin{array}{l} 1&x_0&x_0^2&dots&x_{0}^{n-1}\ 1&x_1&x_1^2&dots&x_{1}^{n-1}\ dots&dots&dots&vdots&dots\ 1&x_{n-1}&x_{n-1}^2&dots&x_{n-1}^{n-1} end{array} right]^{-1} left[ begin{array}{l} f(x_1)\ f(x_2)\ vdots \ f(x-1) end{array} right]
⎣⎢⎢⎢⎡a0a1⋮an−1⎦⎥⎥⎥⎤=⎣⎢⎢⎢⎡11…1x0x1…xn−1x02x12…xn−12……⋮…x0n−1x1n−1…xn−1n−1⎦⎥⎥⎥⎤−1⎣⎢⎢⎢⎡f(x1)f(x2)⋮f(x−1)⎦⎥⎥⎥⎤
让我们对第二个矩阵进行求逆:
[
1
x
0
x
0
2
…
x
0
n
−
1
1
x
1
x
1
2
…
x
1
n
−
1
…
…
…
⋮
…
1
x
n
−
1
x
n
−
1
2
…
x
n
−
1
n
−
1
]
−
1
=
[
1
1
1
…
1
1
ω
ω
2
…
ω
n
−
1
…
…
…
⋮
…
1
ω
n
−
1
ω
2
(
n
−
1
)
…
ω
(
n
−
1
)
(
n
−
1
)
]
−
1
=
1
n
[
1
1
1
…
1
1
ω
−
1
ω
−
2
…
ω
−
(
n
−
1
)
…
…
…
⋮
…
1
ω
−
(
n
−
1
)
ω
−
2
(
n
−
1
)
…
ω
−
(
n
−
1
)
(
n
−
1
)
]
left[ begin{array}{l} 1&x_0&x_0^2&dots&x_{0}^{n-1}\ 1&x_1&x_1^2&dots&x_{1}^{n-1}\ dots&dots&dots&vdots&dots\ 1&x_{n-1}&x_{n-1}^2&dots&x_{n-1}^{n-1} end{array} right]^{-1} = left[ begin{array}{l} 1&1 &1&dots&1\ 1&omega &omega ^2 &dots&omega ^{n-1}\ dots&dots&dots&vdots&dots\ 1&omega ^{n-1}&omega ^{2(n-1)}&dots&omega^{(n-1)(n-1)} end{array} right]^{-1}=frac{1}{n}left[ begin{array}{l} 1&1 &1&dots&1\ 1&omega^{-1} &omega ^{-2} &dots&omega ^{-(n-1)}\ dots&dots&dots&vdots&dots\ 1&omega ^{-(n-1)}&omega ^{-2(n-1)}&dots&omega^{-(n-1)(n-1)} end{array} right]
⎣⎢⎢⎢⎡11…1x0x1…xn−1x02x12…xn−12……⋮…x0n−1x1n−1…xn−1n−1⎦⎥⎥⎥⎤−1=⎣⎢⎢⎢⎡11…11ω…ωn−11ω2…ω2(n−1)……⋮…1ωn−1…ω(n−1)(n−1)⎦⎥⎥⎥⎤−1=n1⎣⎢⎢⎢⎡11…11ω−1…ω−(n−1)1ω−2…ω−2(n−1)……⋮…1ω−(n−1)…ω−(n−1)(n−1)⎦⎥⎥⎥⎤其中
x
k
=
ω
k
,
ω
=
e
2
π
i
n
x_k = omega_k, omega = e^{frac{2pi i}{n}}
xk=ωk,ω=en2πi
也就是说:
[
p
0
p
1
⋮
p
n
−
1
]
=
1
n
[
1
1
1
…
1
1
ω
ω
2
…
ω
n
−
1
…
…
…
⋮
…
1
ω
n
−
1
ω
2
(
n
−
1
)
…
ω
(
n
−
1
)
(
n
−
1
)
]
[
P
(
x
1
)
P
(
x
2
)
⋮
P
(
x
−
1
)
]
left[ begin{array}{l} p_0\ p_1\ vdots \ p_{n-1} end{array} right] = frac{1}{n}left[ begin{array}{l} 1&1 &1&dots&1\ 1&omega &omega ^2 &dots&omega ^{n-1}\ dots&dots&dots&vdots&dots\ 1&omega ^{n-1}&omega ^{2(n-1)}&dots&omega^{(n-1)(n-1)} end{array} right] left[ begin{array}{l} P(x_1)\ P(x_2)\ vdots \ P(x-1) end{array} right]
⎣⎢⎢⎢⎡p0p1⋮pn−1⎦⎥⎥⎥⎤=n1⎣⎢⎢⎢⎡11…11ω…ωn−11ω2…ω2(n−1)……⋮…1ωn−1…ω(n−1)(n−1)⎦⎥⎥⎥⎤⎣⎢⎢⎢⎡P(x1)P(x2)⋮P(x−1)⎦⎥⎥⎥⎤
不难发现, 要实现IFFT, 只需在FFT的基础上将ω取倒数, 并在最终结果乘以n分之一即可.
PS:我觉得自己写的FFT解释很烂, 在此建议您如果 (肯定) 有看不懂的部分结合刚才推荐的视频学习
四、FFT的递归实现
据此, 我们终于可以写出FFT的代码了, 我手写的递归实现如下:
#include
using namespace std;
typedef unsigned long long ull;
const double Pi = acos(-1.0); //将常数Pi的值设为arccos(-1)
vector<complex<double> > FFT(vector<complex<double> > &a, int flag) {
//第一个参数为一个多项式的系数, 以次数从小到大的顺序, 向量中每一项的实部为该项系数
//flag == 1->FFT, flag == -1->IFFT
int n = a.size();
if(n == 1) //如果当前多项式仅有常数项时直接返回多项式的值
return a;
vector<complex<double> > Pe, Po; //即原文中的Pe与Po的系数表示法
complex<double> omega(cos(2.0 * Pi / n), sin(flag * 2.0 * Pi / n)), cur(1, 0); //omega为第一个n次复根, cur为第零个n次复根即1
for (unsigned int i = 0; i < n; i++) {
if(i & 1)
Po.push_back(a[i]);
else
Pe.push_back(a[i]);
}
vector<complex<double> > ye = FFT(Pe, flag), yo = FFT(Po, flag), y(n); //递归求得ye=Pe(xi), yo=Po(xi)
for (int i = 0; i < n / 2; i++) {
y[i] = ye[i] + cur * yo[i]; //求出P(xi)
y[i + n / 2] = ye[i] - cur * yo[i]; //由单位复根的性质可知第k个根与第k + n/2个根互为相反数
cur *= omega; //cur * omega得到下一个复根
}
return y; //返回最终的系数
}
当然需要注意的是, 如果当前进行的是IFFT时, 需要将最终结果除以n, 其中n为不小于原多项式阶+1的最小2的整数次幂.
因此你需要在上述代码的基础上增加一个代码, 向原系数向量补0直到向量中元素的个数为二的整数幂为止.
五、大数乘法的实现(FFT版)
了解了FFT的实现方法, 大数乘法的实现可以说是再简单不过了(毕竟前面的鬼东西都看懂了), 这里便直接贴上源代码了,当然有一个非常需要注意的地方, 最终获取的多项式系数是有可能大于等于10的, 此时需要做进位处理!
#include
#define sync ios::sync_with_stdio(false)
using namespace std;
typedef unsigned long long ull;
const double Pi = acos(-1.0); //将常数Pi的值设为arccos(-1)
vector<complex<double> > FFT(vector<complex<double> > &a, int flag) {
//第一个参数为一个多项式的系数, 以次数从小到大的顺序, 向量中每一项的实部为该项系数
//flag == 1->FFT, flag == -1->IFFT
int n = a.size();
if(n == 1) //如果当前多项式仅有常数项时直接返回多项式的值
return a;
vector<complex<double> > Pe, Po; //即原文中的Pe与Po的系数表示法
complex<double> omega(cos(2.0 * Pi / n), sin(flag * 2.0 * Pi / n)), cur(1, 0); //omega为第一个n次复根, cur为第零个n次复根即1
for (unsigned int i = 0; i < n; i++) {
if(i & 1)
Po.push_back(a[i]);
else
Pe.push_back(a[i]);
}
vector<complex<double> > ye = FFT(Pe, flag), yo = FFT(Po, flag), y(n); //递归求得ye=Pe(xi), yo=Po(xi)
for (int i = 0; i < n / 2; i++) {
y[i] = ye[i] + cur * yo[i]; //求出P(xi)
y[i + n / 2] = ye[i] - cur * yo[i]; //由单位复根的性质可知第k个根与第k + n/2个根互为相反数
cur *= omega; //cur * omega得到下一个复根
}
return y; //返回最终的系数
}
vector<complex<double> > read() { //获取系数, 注意需要从右向左获取(从0次幂的系数开始)
string num;
cin >> num;
vector<complex<double> > result;
for (int i = num.size() - 1; i >= 0; i--) {
complex<double> tmp(num[i] - '0', 0);
result.push_back(tmp);
}
return result;
}
void solve(vector<complex<double> > &a, vector<complex<double> > &b) { //多项式系数表达式的修饰
complex<double> tmp(0, 0);
int sum = a.size() + b.size();
while (a.size() < sum)
a.push_back(tmp);
while (b.size() < sum)
b.push_back(tmp);
//如果两式的阶不同, 先补齐
int temp = 1;
while (temp < a.size())
temp <<= 1;
//获取不小于n的最小2的整数次幂
while (a.size() < temp) {
a.push_back(tmp);
b.push_back(tmp);
}
//补齐
}
int main() {
sync;
vector<complex<double> > num1 = read(), num2 = read(), tmp1, tmp2, mid, ans;
solve(num1, num2);
tmp1 = FFT(num1, 1), tmp2 = FFT(num2, 1);
num1.clear();
num2.clear();
for (int i = 0; i < tmp1.size(); i++)
mid.push_back(tmp1[i] * tmp2[i]);
tmp1.clear();
tmp2.clear();
ans = FFT(mid, -1);
bool Ans = false;
int add = 0;
string final;
//进位处理
for (int i = 0; i < ans.size(); i++) {
int op = round(round(ans[i].real()) / ans.size()) + add;
add = 0;
if(op >= 10)
add = op / 10;
final += op % 10 + '0';
}
if(add > 0)
final += add % 10 + '0';
for (int i = final.size() - 1; i >= 0; i--) {
if(final[i] != '0')
Ans = true;
else if(!Ans)
continue;
cout << final[i];
}
cout << 'n';
}
后话(废话)
- 历时一个寒假! 终于把这篇万字长文(x)写完了, 多谢某csome同学的鼓励~~(催更)~~ !
- 理解FFT足足花了2天时间, 好难……
- 如果博客有错漏, 敬请指出并不吝赐教, 感谢!
卷积的定义请参见维基对卷积的定义. ︎
多项式的次数最大的项的次数即为多项式的阶. ︎
文章目录
- 前言
- ~~Fast Fast TLE~~
- 一、FFT是什么?
- 二、FFT可以干什么?
- 1.多项式乘法
- 2.大数乘法
- 三、FFT怎么做?
- 1. 系数表示法和点值表示法
- 3.如何巧妙地进行DFT? - FFT的高明之处
- 4. *单位复根* - FFT的高明之处(二)
- 5. Inverse Fast Fourier Transform - 从点值表示法回到系数表示法
- 四、FFT的递归实现
- 五、大数乘法的实现(FFT版)
- 后话(~~废话~~)
前言
Fast Fast TLE
原本做大数乘法的时候是想偷懒的, 就百度了下大数 A * B 的代码, 无意中发现有使用FFT的做法, 于是便开始了学习 (受苦) , 本文用以记录仅在算法应用层面上我对FFT的理解和一个手搓的大数乘法模版.
需要一定的复数知识, 但不多.
笔者对FFT的理解较为粗浅, 因此在下文可能大量略过某些部分的详细证明, 请见谅!
一、FFT是什么?
快速傅里叶变换( Fast Fourier Transform ), 是一种对离散傅里叶变换( Discrete Fourier Transform )的优化, 可令离散傅里叶变换的运算量大大降低, 在取样点数量较多的情况下可显著提升效率
二、FFT可以干什么?
1.多项式乘法
实际上, FFT可以大大提升卷积1的计算效率, 而当卷积的两个函数为多项式的时候, FFT则能在多项式乘法上大显神威.
2.大数乘法
关于乘法, 朴素的算法则是模拟我们自小学会的竖式乘法, 不难证明这样的算法的复杂度为O(n2), 然而这样的算法不仅容易精度溢出, 效率也不够高, 应用FFT则可以使算法的复杂度降低至O(nlogn).
观察一个数字, 如123456, 换种角度思考, 可以将其转化为以下的式子:
123456
=
1
∗
1
0
5
+
2
∗
1
0
4
+
3
∗
1
0
3
+
4
∗
1
0
2
+
5
∗
1
0
1
+
6
∗
1
0
0
123456 = 1 *10^5+2*10^4+3*10^3+4*10^2+5*10^1+6*10^0
123456=1∗105+2∗104+3∗103+4∗102+5∗101+6∗100再转化一次, 令x = 10, 则可以得到:
1
∗
x
5
+
2
∗
x
4
+
3
∗
x
3
+
4
∗
x
2
+
5
∗
x
1
+
6
∗
x
0
1 *x^5+2*x^4+3*x^3+4*x^2+5*x^1+6*x^0
1∗x5+2∗x4+3∗x3+4∗x2+5∗x1+6∗x0
从这个角度思考, 大数乘法不正是x = 10的情况下的多项式乘法吗?
三、FFT怎么做?
PS:强烈建议您通过这个视频进行学习并在需要的情况下结合下文理解, 个人认为这个视频讲得相当易懂
1. 系数表示法和点值表示法
任取一个n-1阶2 多项式, 将其表示为
a
0
+
a
1
x
+
a
2
x
2
+
.
.
.
+
a
n
−
1
x
n
−
1
a_0+a_1x+a_2x^2+...+a_{n-1}x^{n-1}
a0+a1x+a2x2+...+an−1xn−1实际上我们已经得到了它的系数表示, 即
[
a
0
a
1
a
2
.
.
.
a
n
−
1
]
left[ begin{array}{l} a_0&a_1&a_2&...&a_{n-1} end{array} right]
[a0a1a2...an−1]
那么什么是它的点值表示法呢?
对一个多项式
f
(
x
)
=
a
0
+
a
1
x
+
a
2
x
2
+
.
.
.
+
a
n
−
1
x
n
−
1
f(x)= a_0+a_1x+a_2x^2+...+a_{n-1}x^{n-1}
f(x)=a0+a1x+a2x2+...+an−1xn−1任取不小于n个xi带入并计算得到f(xi)即为其点值表示法:
{
(
x
0
,
f
(
x
0
)
,
(
x
1
,
f
(
x
1
)
,
…
,
(
x
n
−
1
,
f
(
x
n
−
1
)
}
left{ (x_0,f(x_0),(x_1,f(x_1), dots,(x_{n-1},f(x_{n-1}) right}
{(x0,f(x0),(x1,f(x1),…,(xn−1,f(xn−1)}
将其化为矩阵形式, 有
[
f
(
x
1
)
f
(
x
2
)
⋮
f
(
x
−
1
)
]
=
[
1
x
0
x
0
2
…
x
0
n
−
1
1
x
1
x
1
2
…
x
1
n
−
1
…
…
…
⋮
…
1
x
n
−
1
x
n
−
1
2
…
x
n
−
1
n
−
1
]
[
a
0
a
1
⋮
a
n
−
1
]
left[ begin{array}{l} f(x_1)\ f(x_2)\ vdots \ f(x-1) end{array} right] = left[ begin{array}{l} 1&x_0&x_0^2&dots&x_{0}^{n-1}\ 1&x_1&x_1^2&dots&x_{1}^{n-1}\ dots&dots&dots&vdots&dots\ 1&x_{n-1}&x_{n-1}^2&dots&x_{n-1}^{n-1} end{array} right] left[ begin{array}{l} a_0\ a_1\ vdots \ a_{n-1} end{array} right]
⎣⎢⎢⎢⎡f(x1)f(x2)⋮f(x−1)⎦⎥⎥⎥⎤=⎣⎢⎢⎢⎡11…1x0x1…xn−1x02x12…xn−12……⋮…x0n−1x1n−1…xn−1n−1⎦⎥⎥⎥⎤⎣⎢⎢⎢⎡a0a1⋮an−1⎦⎥⎥⎥⎤
PS:从 系数表示法 得到 点值表示法 的这一步即为DFT(离散傅里叶变换)
由范德蒙德行列式易证得当x0 ~ xn-1互不相同时矩阵可逆, 即当所取的xi不小于矩阵的阶加一时, 点值表示法和系数表示法一一对应.
令
h
(
x
)
=
f
(
x
)
g
(
x
)
h(x)=f(x)g(x)
h(x)=f(x)g(x)
在点值表示法的基础上, 要计算h(x)的表达式, 只需要取相同的xi得出f(xi)和g(xi)并相乘, 再从(xi ,f(xi)g(xi))的点值表示法转换成系数表示法即可得到h(x)的值.
那么如何从点值表示法转换成系数表示法呢? 仔细观察上面的矩阵表达式不难得出:
{
(
x
0
,
f
(
x
0
)
,
(
x
1
,
f
(
x
1
)
,
…
,
(
x
n
−
1
,
f
(
x
n
−
1
)
}
left{ (x_0,f(x_0),(x_1,f(x_1), dots,(x_{n-1},f(x_{n-1}) right}
{(x0,f(x0),(x1,f(x1),…,(xn−1,f(xn−1)}
将其化为矩阵形式, 有
[
a
0
a
1
⋮
a
n
−
1
]
=
[
1
x
0
x
0
2
…
x
0
n
−
1
1
x
1
x
1
2
…
x
1
n
−
1
…
…
…
⋮
…
1
x
n
−
1
x
n
−
1
2
…
x
n
−
1
n
−
1
]
−
1
[
f
(
x
1
)
f
(
x
2
)
⋮
f
(
x
−
1
)
]
left[ begin{array}{l} a_0\ a_1\ vdots \ a_{n-1} end{array} right] = left[ begin{array}{l} 1&x_0&x_0^2&dots&x_{0}^{n-1}\ 1&x_1&x_1^2&dots&x_{1}^{n-1}\ dots&dots&dots&vdots&dots\ 1&x_{n-1}&x_{n-1}^2&dots&x_{n-1}^{n-1} end{array} right]^{-1} left[ begin{array}{l} f(x_1)\ f(x_2)\ vdots \ f(x-1) end{array} right]
⎣⎢⎢⎢⎡a0a1⋮an−1⎦⎥⎥⎥⎤=⎣⎢⎢⎢⎡11…1x0x1…xn−1x02x12…xn−12……⋮…x0n−1x1n−1…xn−1n−1⎦⎥⎥⎥⎤−1⎣⎢⎢⎢⎡f(x1)f(x2)⋮f(x−1)⎦⎥⎥⎥⎤
PS:从 点值表示法 得到 系数表示法 的这一步即为Inverse DFT(逆离散傅里叶变换)
3.如何巧妙地进行DFT? - FFT的高明之处
对上述的DFT过程, 一个通常的想法是在x轴上随便挑几个点代入计算, 比如说x0= 0, x1 = 1, …然而这样做的话又重新掉入了O(n2)的窠臼之中, 我们依旧需要对n个甚至以上的点计算n次, 而要探讨FFT的做法, 让我们先着眼于两个简单的多项式
P
1
=
x
2
P_1=x^2
P1=x2
因为这是一个偶函数, 当我们确定f(xi)时通过偶函数的性质可以立刻确定f(-xi) = f(xi), 这样我们任取一个点, 立刻就可以确定其相反数的函数值了.
而对于
P
2
=
x
3
P_2= x^3
P2=x3
和P1不同, 这是个奇函数, 因此f(-xi) = -f(xi).
据此, 我们不妨将一个一般的多项式(设n为偶数)分解为奇函数的部分和偶函数的部分, 再从奇函数部分提取一个x:
P
(
x
)
=
a
0
+
a
1
x
+
a
2
x
2
+
.
.
.
+
a
n
−
1
x
n
−
1
令
P
e
(
x
)
=
a
0
+
a
2
x
2
+
.
.
.
+
a
n
−
2
x
n
−
2
,
P
o
(
x
)
=
a
1
+
a
3
x
2
+
.
.
.
+
a
n
−
1
x
n
−
2
则
P
(
x
i
)
=
P
e
(
x
i
)
+
x
i
P
o
(
x
i
)
,
P
(
−
x
i
)
=
P
e
(
x
i
)
−
x
i
P
o
(
x
i
)
P(x) = a_0+a_1x+a_2x^2+...+a_{n-1}x^{n-1}\ 令P_e(x) = a_0+ a_2x^2+...+a_{n-2}x^{n-2} , P_o(x) = a_1+a_3x^2+...+a_{n-1}x^{n-2}\ 则P(x_i)=P_e(x_i)+x_iP_o(x_i), \P(-x_i)=P_e(x_i)-x_iP_o(x_i)
P(x)=a0+a1x+a2x2+...+an−1xn−1令Pe(x)=a0+a2x2+...+an−2xn−2,Po(x)=a1+a3x2+...+an−1xn−2则P(xi)=Pe(xi)+xiPo(xi),P(−xi)=Pe(xi)−xiPo(xi)
若令 p = x2, 则Pe(x)和Po(x)则简化为以下式子:
P
e
(
x
)
=
a
0
+
a
2
x
2
+
.
.
.
+
a
n
−
2
x
n
−
2
P
o
(
x
)
=
a
1
+
a
3
x
2
+
.
.
.
+
a
n
−
1
x
n
−
2
⇕
令
p
=
x
2
P
e
(
p
)
=
a
0
+
a
2
p
+
.
.
.
+
a
n
−
2
p
n
−
2
2
P
o
(
p
)
=
a
1
+
a
3
p
+
.
.
.
+
a
n
−
1
p
n
−
2
2
P_e(x) = a_0+ a_2x^2+...+a_{n-2}x^{n-2}\ P_o(x) = a_1+a_3x^2+...+a_{n-1}x^{n-2}\ Updownarrow 令p=x^2\ P_e(p) = a_0 + a_2p+...+a_{n-2}p^{frac{n-2}{2}}\ P_o(p) = a_1 + a_3p+...+a_{n-1}p^{frac{n-2}{2}}\
Pe(x)=a0+a2x2+...+an−2xn−2Po(x)=a1+a3x2+...+an−1xn−2⇕令p=x2Pe(p)=a0+a2p+...+an−2p2n−2Po(p)=a1+a3p+...+an−1p2n−2
如果此时将Pe和Po视为新的式子, 重复上述操作则可将Pe和Po继续降阶直到Pe和Po的式子的阶降至0, 那么此时Pe和Po的值便为常数a0和a1.
以多项式P(x) = a0 + a1x + a2x2 + a3x2为例, DFT过程需要构造4个根x1, x2, x3, x4并带入求值, 以上述方法降阶则有:
第一步:
P
0
(
x
)
=
a
0
+
a
1
x
+
a
2
x
2
+
a
3
x
3
⇕
令
t
=
x
2
P
e
0
(
t
)
=
a
0
+
a
2
t
P
o
0
(
t
)
=
a
1
+
a
3
t
P
0
(
x
i
)
=
P
e
0
(
x
i
2
)
+
x
i
P
o
0
(
x
i
2
)
,
P
0
(
−
x
i
)
=
P
e
0
(
x
i
2
)
−
x
i
P
o
0
(
x
i
2
)
P_0(x) = a_0+a_1x+a_2x^2+a_3x^3\ Updownarrow令t = x^2\ P_{e0}(t) = a_0+a_2t\ P_{o0}(t)= a_1 + a_3t\\ P_0(x_i)=P_{e0}(x_i^2)+x_iP_{o0}(x_i^2), \P_0(-x_i)=P_{e0}(x_i^2)-x_iP_{o0}(x_i^2)
P0(x)=a0+a1x+a2x2+a3x3⇕令t=x2Pe0(t)=a0+a2tPo0(t)=a1+a3tP0(xi)=Pe0(xi2)+xiPo0(xi2),P0(−xi)=Pe0(xi2)−xiPo0(xi2)
第二步:
令
P
1
=
P
e
0
(
t
)
=
a
0
+
a
2
t
,
令
P
2
=
P
o
0
(
t
)
=
a
1
+
a
3
t
,
则
P
e
1
(
t
)
=
a
0
,
则
P
e
2
(
t
)
=
a
1
,
P
o
1
(
t
)
=
a
2
P
e
2
(
t
)
=
a
3
P
1
(
x
i
2
)
=
P
e
1
(
x
i
2
)
+
x
i
2
P
o
1
(
x
i
2
)
=
a
0
+
x
i
2
⋅
a
2
,
P
2
(
x
i
2
)
=
P
e
2
(
x
i
2
)
+
x
i
2
P
o
2
(
x
i
2
)
=
a
1
+
x
i
2
⋅
a
3
,
P
1
(
−
x
i
2
)
=
P
e
1
(
−
x
i
2
)
−
x
i
2
P
o
1
(
x
i
2
)
=
a
0
−
x
i
2
⋅
a
2
P
2
(
−
x
i
2
)
=
P
e
2
(
−
x
i
2
)
−
x
i
2
P
o
2
(
x
i
2
)
=
a
1
−
x
i
2
⋅
a
3
begin{array}{c|c} 令P_1=P_{e0}(t) = a_0+a_2t, & 令P_2 = P_{o0}(t)= a_1 + a_3t,\ 则P_{e1}(t) = a_0, & 则P_{e2}(t) = a_1,\ P_{o1}(t) = a_2 & P_{e2}(t) = a_3\ P_1(x_i^2) = P_{e1}(x_i^2)+x_i^2P_{o1}(x_i^2) = a_0 + x_i^2cdot a_2, & P_2(x_i^2) = P_{e2}(x_i^2)+x_i^2P_{o2}(x_i^2) = a_1 + x_i^2cdot a_3,\ P_1(-x_i^2) = P_{e1}(-x_i^2)-x_i^2P_{o1}(x_i^2) = a_0 - x_i^2cdot a_2 & P_2(-x_i^2) = P_{e2}(-x_i^2)-x_i^2P_{o2}(x_i^2)=a_1 - x_i^2cdot a_3\ end{array}
令P1=Pe0(t)=a0+a2t,则Pe1(t)=a0,Po1(t)=a2P1(xi2)=Pe1(xi2)+xi2Po1(xi2)=a0+xi2⋅a2,P1(−xi2)=Pe1(−xi2)−xi2Po1(xi2)=a0−xi2⋅a2令P2=Po0(t)=a1+a3t,则Pe2(t)=a1,Pe2(t)=a3P2(xi2)=Pe2(xi2)+xi2Po2(xi2)=a1+xi2⋅a3,P2(−xi2)=Pe2(−xi2)−xi2Po2(xi2)=a1−xi2⋅a3
如此, 对P0(x)的快速傅里叶变换过程已经呼之欲出了, 然而这里却有一个严重的问题亟待解决……
4. 单位复根 - FFT的高明之处(二)
也许你已经注意到了其中的问题, 让我们回到上述第二步, 该如何取xi的值才能使得x02与x12互为相反数呢, 显然在实数域中这个问题是无法被解决的.
这就是FFT的第二个高明之处, 使用n次单位复根来解决问题.
让我们继续使用上面那个多项式P0(x), 我们需要4个数作为x代入多项式并求值, 从而得出P0(x)的点值表达式, 那么我们不妨使用4次单位复根(1, -1, i, -i)作为 xi :
求
P
0
(
x
i
)
的
值
,
其
中
P
0
(
x
)
=
a
0
+
a
1
x
+
a
2
x
2
+
a
3
x
3
,
x
i
=
[
1
,
−
1
,
i
,
−
i
]
P
0
(
1
)
=
P
e
0
(
1
)
+
1
⋅
P
o
0
(
1
)
,
P
0
(
−
1
)
=
P
e
0
(
1
)
−
1
⋅
P
o
0
(
1
)
P
0
(
i
)
=
P
e
0
(
−
1
)
+
i
⋅
P
o
0
(
−
1
)
,
P
0
(
−
1
)
=
P
e
0
(
−
1
)
−
i
⋅
P
o
0
(
−
1
)
求P_0(x_i)的值, 其中P_0(x) = a_0+a_1x+a_2x^2+a_3x^3 ,x_i = left[ 1,-1,i,-i right]\ P_0(1)=P_{e0}(1)+1 cdot P_{o0}(1), \P_0(-1)=P_{e0}(1)-1 cdot P_{o0}(1)\ P_0(i)=P_{e0}(-1)+i cdot P_{o0}(-1), \P_0(-1)=P_{e0}(-1)-i cdot P_{o0}(-1)\
求P0(xi)的值,其中P0(x)=a0+a1x+a2x2+a3x3,xi=[1,−1,i,−i]P0(1)=Pe0(1)+1⋅Po0(1),P0(−1)=Pe0(1)−1⋅Po0(1)P0(i)=Pe0(−1)+i⋅Po0(−1),P0(−1)=Pe0(−1)−i⋅Po0(−1)
P
e
0
(
1
)
=
P
1
(
1
)
=
P
e
1
(
1
)
+
1
⋅
P
o
1
(
1
)
=
a
0
+
1
⋅
a
2
,
P
e
0
(
−
1
)
=
P
1
(
−
1
)
=
P
e
1
(
−
1
)
−
1
⋅
P
o
1
(
1
)
=
a
0
−
1
⋅
a
2
P
o
0
(
1
)
=
P
1
(
1
)
=
P
e
2
(
1
)
+
1
⋅
P
o
2
(
1
)
=
a
1
+
1
⋅
a
3
,
P
o
0
(
−
1
)
=
P
1
(
−
1
)
=
P
e
2
(
−
1
)
−
1
⋅
P
o
2
(
1
)
=
a
1
−
1
⋅
a
3
P_{e0}(1) = P_1(1) = P_{e1}(1)+1cdot P_{o1}(1) = a_0 + 1cdot a_2, \ P_{e0}(-1) = P_1(-1) = P_{e1}(-1)-1cdot P_{o1}(1) = a_0 - 1cdot a_2\ P_{o0}(1) = P_1(1) = P_{e2}(1)+1cdot P_{o2}(1) = a_1 + 1cdot a_3, \ P_{o0}(-1) = P_1(-1) = P_{e2}(-1)-1cdot P_{o2}(1) = a_1 - 1cdot a_3
Pe0(1)=P1(1)=Pe1(1)+1⋅Po1(1)=a0+1⋅a2,Pe0(−1)=P1(−1)=Pe1(−1)−1⋅Po1(1)=a0−1⋅a2Po0(1)=P1(1)=Pe2(1)+1⋅Po2(1)=a1+1⋅a3,Po0(−1)=P1(−1)=Pe2(−1)−1⋅Po2(1)=a1−1⋅a3
再将值代入上式, 整个FFT过程便结束了.
当然单位复根的其他(我并不熟知)的性质(如可约引理, 等分引理, 求和引理等), 造就了其十分适合用于快速傅里叶变换中.
简单来说, 对于n次单位复根(其中n是2的正整数次幂), 他们之间两两正负配对(第k个根与第k + n/2个根)且平方后同样两两正负配对, 这令其十分适合用于递归当中.
当然, 这些性质在n是2的正整数次幂时才生效, 当n不是2的正整数次幂时, 可自行将多项式的次数补足, 此时该项系数为0即可.
当然由于我十分的菜, 具体的证明就此略过了, 各位可以看看我推荐的那个视频或者自行寻找资料进行证明(
5. Inverse Fast Fourier Transform - 从点值表示法回到系数表示法
这一步骤之简单你绝对无法想象, 观察上文的IDFT的实现:
[
a
0
a
1
⋮
a
n
−
1
]
=
[
1
x
0
x
0
2
…
x
0
n
−
1
1
x
1
x
1
2
…
x
1
n
−
1
…
…
…
⋮
…
1
x
n
−
1
x
n
−
1
2
…
x
n
−
1
n
−
1
]
−
1
[
f
(
x
1
)
f
(
x
2
)
⋮
f
(
x
−
1
)
]
left[ begin{array}{l} a_0\ a_1\ vdots \ a_{n-1} end{array} right] = left[ begin{array}{l} 1&x_0&x_0^2&dots&x_{0}^{n-1}\ 1&x_1&x_1^2&dots&x_{1}^{n-1}\ dots&dots&dots&vdots&dots\ 1&x_{n-1}&x_{n-1}^2&dots&x_{n-1}^{n-1} end{array} right]^{-1} left[ begin{array}{l} f(x_1)\ f(x_2)\ vdots \ f(x-1) end{array} right]
⎣⎢⎢⎢⎡a0a1⋮an−1⎦⎥⎥⎥⎤=⎣⎢⎢⎢⎡11…1x0x1…xn−1x02x12…xn−12……⋮…x0n−1x1n−1…xn−1n−1⎦⎥⎥⎥⎤−1⎣⎢⎢⎢⎡f(x1)f(x2)⋮f(x−1)⎦⎥⎥⎥⎤
让我们对第二个矩阵进行求逆:
[
1
x
0
x
0
2
…
x
0
n
−
1
1
x
1
x
1
2
…
x
1
n
−
1
…
…
…
⋮
…
1
x
n
−
1
x
n
−
1
2
…
x
n
−
1
n
−
1
]
−
1
=
[
1
1
1
…
1
1
ω
ω
2
…
ω
n
−
1
…
…
…
⋮
…
1
ω
n
−
1
ω
2
(
n
−
1
)
…
ω
(
n
−
1
)
(
n
−
1
)
]
−
1
=
1
n
[
1
1
1
…
1
1
ω
−
1
ω
−
2
…
ω
−
(
n
−
1
)
…
…
…
⋮
…
1
ω
−
(
n
−
1
)
ω
−
2
(
n
−
1
)
…
ω
−
(
n
−
1
)
(
n
−
1
)
]
left[ begin{array}{l} 1&x_0&x_0^2&dots&x_{0}^{n-1}\ 1&x_1&x_1^2&dots&x_{1}^{n-1}\ dots&dots&dots&vdots&dots\ 1&x_{n-1}&x_{n-1}^2&dots&x_{n-1}^{n-1} end{array} right]^{-1} = left[ begin{array}{l} 1&1 &1&dots&1\ 1&omega &omega ^2 &dots&omega ^{n-1}\ dots&dots&dots&vdots&dots\ 1&omega ^{n-1}&omega ^{2(n-1)}&dots&omega^{(n-1)(n-1)} end{array} right]^{-1}=frac{1}{n}left[ begin{array}{l} 1&1 &1&dots&1\ 1&omega^{-1} &omega ^{-2} &dots&omega ^{-(n-1)}\ dots&dots&dots&vdots&dots\ 1&omega ^{-(n-1)}&omega ^{-2(n-1)}&dots&omega^{-(n-1)(n-1)} end{array} right]
⎣⎢⎢⎢⎡11…1x0x1…xn−1x02x12…xn−12……⋮…x0n−1x1n−1…xn−1n−1⎦⎥⎥⎥⎤−1=⎣⎢⎢⎢⎡11…11ω…ωn−11ω2…ω2(n−1)……⋮…1ωn−1…ω(n−1)(n−1)⎦⎥⎥⎥⎤−1=n1⎣⎢⎢⎢⎡11…11ω−1…ω−(n−1)1ω−2…ω−2(n−1)……⋮…1ω−(n−1)…ω−(n−1)(n−1)⎦⎥⎥⎥⎤其中
x
k
=
ω
k
,
ω
=
e
2
π
i
n
x_k = omega_k, omega = e^{frac{2pi i}{n}}
xk=ωk,ω=en2πi
也就是说:
[
p
0
p
1
⋮
p
n
−
1
]
=
1
n
[
1
1
1
…
1
1
ω
ω
2
…
ω
n
−
1
…
…
…
⋮
…
1
ω
n
−
1
ω
2
(
n
−
1
)
…
ω
(
n
−
1
)
(
n
−
1
)
]
[
P
(
x
1
)
P
(
x
2
)
⋮
P
(
x
−
1
)
]
left[ begin{array}{l} p_0\ p_1\ vdots \ p_{n-1} end{array} right] = frac{1}{n}left[ begin{array}{l} 1&1 &1&dots&1\ 1&omega &omega ^2 &dots&omega ^{n-1}\ dots&dots&dots&vdots&dots\ 1&omega ^{n-1}&omega ^{2(n-1)}&dots&omega^{(n-1)(n-1)} end{array} right] left[ begin{array}{l} P(x_1)\ P(x_2)\ vdots \ P(x-1) end{array} right]
⎣⎢⎢⎢⎡p0p1⋮pn−1⎦⎥⎥⎥⎤=n1⎣⎢⎢⎢⎡11…11ω…ωn−11ω2…ω2(n−1)……⋮…1ωn−1…ω(n−1)(n−1)⎦⎥⎥⎥⎤⎣⎢⎢⎢⎡P(x1)P(x2)⋮P(x−1)⎦⎥⎥⎥⎤
不难发现, 要实现IFFT, 只需在FFT的基础上将ω取倒数, 并在最终结果乘以n分之一即可.
PS:我觉得自己写的FFT解释很烂, 在此建议您如果 (肯定) 有看不懂的部分结合刚才推荐的视频学习
四、FFT的递归实现
据此, 我们终于可以写出FFT的代码了, 我手写的递归实现如下:
#include
using namespace std;
typedef unsigned long long ull;
const double Pi = acos(-1.0); //将常数Pi的值设为arccos(-1)
vector<complex<double> > FFT(vector<complex<double> > &a, int flag) {
//第一个参数为一个多项式的系数, 以次数从小到大的顺序, 向量中每一项的实部为该项系数
//flag == 1->FFT, flag == -1->IFFT
int n = a.size();
if(n == 1) //如果当前多项式仅有常数项时直接返回多项式的值
return a;
vector<complex<double> > Pe, Po; //即原文中的Pe与Po的系数表示法
complex<double> omega(cos(2.0 * Pi / n), sin(flag * 2.0 * Pi / n)), cur(1, 0); //omega为第一个n次复根, cur为第零个n次复根即1
for (unsigned int i = 0; i < n; i++) {
if(i & 1)
Po.push_back(a[i]);
else
Pe.push_back(a[i]);
}
vector<complex<double> > ye = FFT(Pe, flag), yo = FFT(Po, flag), y(n); //递归求得ye=Pe(xi), yo=Po(xi)
for (int i = 0; i < n / 2; i++) {
y[i] = ye[i] + cur * yo[i]; //求出P(xi)
y[i + n / 2] = ye[i] - cur * yo[i]; //由单位复根的性质可知第k个根与第k + n/2个根互为相反数
cur *= omega; //cur * omega得到下一个复根
}
return y; //返回最终的系数
}
当然需要注意的是, 如果当前进行的是IFFT时, 需要将最终结果除以n, 其中n为不小于原多项式阶+1的最小2的整数次幂.
因此你需要在上述代码的基础上增加一个代码, 向原系数向量补0直到向量中元素的个数为二的整数幂为止.
五、大数乘法的实现(FFT版)
了解了FFT的实现方法, 大数乘法的实现可以说是再简单不过了(毕竟前面的鬼东西都看懂了), 这里便直接贴上源代码了,当然有一个非常需要注意的地方, 最终获取的多项式系数是有可能大于等于10的, 此时需要做进位处理!
#include
#define sync ios::sync_with_stdio(false)
using namespace std;
typedef unsigned long long ull;
const double Pi = acos(-1.0); //将常数Pi的值设为arccos(-1)
vector<complex<double> > FFT(vector<complex<double> > &a, int flag) {
//第一个参数为一个多项式的系数, 以次数从小到大的顺序, 向量中每一项的实部为该项系数
//flag == 1->FFT, flag == -1->IFFT
int n = a.size();
if(n == 1) //如果当前多项式仅有常数项时直接返回多项式的值
return a;
vector<complex<double> > Pe, Po; //即原文中的Pe与Po的系数表示法
complex<double> omega(cos(2.0 * Pi / n), sin(flag * 2.0 * Pi / n)), cur(1, 0); //omega为第一个n次复根, cur为第零个n次复根即1
for (unsigned int i = 0; i < n; i++) {
if(i & 1)
Po.push_back(a[i]);
else
Pe.push_back(a[i]);
}
vector<complex<double> > ye = FFT(Pe, flag), yo = FFT(Po, flag), y(n); //递归求得ye=Pe(xi), yo=Po(xi)
for (int i = 0; i < n / 2; i++) {
y[i] = ye[i] + cur * yo[i]; //求出P(xi)
y[i + n / 2] = ye[i] - cur * yo[i]; //由单位复根的性质可知第k个根与第k + n/2个根互为相反数
cur *= omega; //cur * omega得到下一个复根
}
return y; //返回最终的系数
}
vector<complex<double> > read() { //获取系数, 注意需要从右向左获取(从0次幂的系数开始)
string num;
cin >> num;
vector<complex<double> > result;
for (int i = num.size() - 1; i >= 0; i--) {
complex<double> tmp(num[i] - '0', 0);
result.push_back(tmp);
}
return result;
}
void solve(vector<complex<double> > &a, vector<complex<double> > &b) { //多项式系数表达式的修饰
complex<double> tmp(0, 0);
int sum = a.size() + b.size();
while (a.size() < sum)
a.push_back(tmp);
while (b.size() < sum)
b.push_back(tmp);
//如果两式的阶不同, 先补齐
int temp = 1;
while (temp < a.size())
temp <<= 1;
//获取不小于n的最小2的整数次幂
while (a.size() < temp) {
a.push_back(tmp);
b.push_back(tmp);
}
//补齐
}
int main() {
sync;
vector<complex<double> > num1 = read(), num2 = read(), tmp1, tmp2, mid, ans;
solve(num1, num2);
tmp1 = FFT(num1, 1), tmp2 = FFT(num2, 1);
num1.clear();
num2.clear();
for (int i = 0; i < tmp1.size(); i++)
mid.push_back(tmp1[i] * tmp2[i]);
tmp1.clear();
tmp2.clear();
ans = FFT(mid, -1);
bool Ans = false;
int add = 0;
string final;
//进位处理
for (int i = 0; i < ans.size(); i++) {
int op = round(round(ans[i].real()) / ans.size()) + add;
add = 0;
if(op >= 10)
add = op / 10;
final += op % 10 + '0';
}
if(add > 0)
final += add % 10 + '0';
for (int i = final.size() - 1; i >= 0; i--) {
if(final[i] != '0')
Ans = true;
else if(!Ans)
continue;
cout << final[i];
}
cout << 'n';
}
后话(废话)
- 历时一个寒假! 终于把这篇万字长文(x)写完了, 多谢某csome同学的鼓励~~(催更)~~ !
- 理解FFT足足花了2天时间, 好难……
- 如果博客有错漏, 敬请指出并不吝赐教, 感谢!
卷积的定义请参见维基对卷积的定义. ︎
多项式的次数最大的项的次数即为多项式的阶. ︎
转：
学习笔记 - 快速傅里叶变换 / 大数A * B的另一种解法
学习笔记 - 快速傅里叶变换 / 大数A * B的另一种解法的更多相关文章
- MongoDB学习笔记:快速入门
MongoDB学习笔记:快速入门 一.MongoDB 简介 MongoDB 是由C++语言编写的,是一个基于分布式文件存储的开源数据库系统.在高负载的情况下,添加更多的节点,可以保证服务器性能.M ...
- Dubbo -- 系统学习 笔记 -- 快速启动
Dubbo -- 系统学习 笔记 -- 目录 快速启动 服务提供者 服务消费者 快速启动 Dubbo采用全Spring配置方式,透明化接入应用,对应用没有任何API侵入,只需用Spring加载Dubb ...
- flink学习笔记-快速生成Flink项目
说明:本文为<Flink大数据项目实战>学习笔记,想通过视频系统学习Flink这个最火爆的大数据计算框架的同学,推荐学习课程: Flink大数据项目实战:http://t.cn/EJtKh ...
- mybatis学习笔记(四）-- 为实体类定义别名两种方法（基于xml映射）
下面示例在mybatis学习笔记(二)-- 使用mybatisUtil工具类体验基于xml和注解实现 Demo的基础上进行优化 以新增一个用户为例子,原UserMapper.xml配置如下: < ...
- C++ Primer学习笔记（三） C++中函数是一种类型！！！
C++中函数是一种类型!C++中函数是一种类型!C++中函数是一种类型! 函数名就是变量!函数名就是变量!函数名就是变量! (---20160618最新消息,函数名不是变量名...囧) (---201 ...
- dubbo学习笔记:快速搭建
搭建一个简单的dubbo服务 参考地址: dubbo官网:http://dubbo.apache.org/zh-cn/docs/user/references/registry/zookeeper.h ...
- [学习笔记]快速幂&&快速乘
本质:二进制拆分(你说倍增我也没脾气).然后是一个配凑. 合起来就是边二进制拆分,边配凑. 快速乘(其实龟速):把乘数二进制拆分.利用乘法分配率. 用途:防止爆long long 代码: ll qk( ...
- yii学习笔记--快速创建一个项目
下载yii框架 下载地址:http://www.yiiframework.com/ 中文网站:http://www.yiichina.com/ 解压文件
- angular-cli学习笔记 快速创建代码模板
组件: ng g component component/demo 服务: ng g service service/news 然后在app.module.ts里引入 ng g service ser ...
随机推荐
- hdu2852 KiKi's K-Number
Problem Description For the k-th number, we all should be very familiar with it. Of course,to kiki i ...
- Codeforces Round #529 (Div. 3) D. Circular Dance (思维)
题意:有\(n\)个熊小孩,绕着树转圈圈,编号\(i\)的小孩可以记住\(a_{i,1}\)和\(a_{i,2}\)两个小孩,这两个小孩是顺时针相邻的,但谁前谁后不一定.现在给你每个小孩的\(a_{i ...
- GYM101810 ACM International Collegiate Programming Contest, Amman Collegiate Programming Contest (2018) M. Greedy Pirate (LCA)
题意:有\(n\)个点,\(n-1\)条边,每条边正向和反向有两个权值,且每条边最多只能走两次,有\(m\)次询问,问你从\(u\)走到\(v\)的最大权值是多少. 题解:可以先在纸上画一画,不难发现 ...
- Python 读Excel数据
一.读取Excel数据的步骤及方式: 1.打开Excel文件 data = xlrd.open_workbook(r'D:\Interface_test\test_data\测试用例.xlsx') 2 ...
- 《软件建模与分析》——UML基本概念
UML-基本概念 UML本质上是一种语言,语言的学习离不开基本的单词(元素)和语法(视图.模型)的学习,今天我们就从它们开始. 元素 类图中的关系 控制权限 继承 实现 依赖:一个类A使用到了另一个类 ...
- 前端接收后端文件流导出excel文档遇到的问题
先上代码: Vue.prototype.download = function(oUrl, filename) { this.axios .get(oUrl, { responseType: 'arr ...
- Gym 101174D Dinner Bet（概率DP）题解
题意:n个球,两个人每人选C个球作为目标,然后放回.每回合有放回的拿出D个球,如果有目标球,就实现了这个目标,直到至少一个人实现了所有目标游戏结束.问结束回合的期望.误差1e-3以内. 思路:概率DP ...
- μC/OS-III---I笔记3---时间管理
时间管理相关函数,其实深入根本的理解就是一些对时间任务相关变量,数据结果进行修改的函数这样方便对应任务查找延时等时间相关的任务有没有到期.前面的时间相关的函数是这些操作的基 1.延时函数 OsTIme ...
- VuePress 最新教程
VuePress 最新教程 https://vuepress.vuejs.org/ https://github.com/vuejs/vuepress VuePress plugins 插件通常会为 ...
- LeetCode 数组分割
LeetCode 数组分割 LeetCode 数组怎么分割可以得到左右最大值的差值的最大 https://www.nowcoder.com/study/live/489/1/1 左右最值最大差 htt ...