学习笔记 - 快速傅里叶变换 / 大数A * B的另一种解法
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学习笔记 - 快速傅里叶变换 / 大数A * B的另一种解法
文章目录
- 前言
- ~~Fast Fast TLE~~
- 一、FFT是什么?
- 二、FFT可以干什么?
- 1.多项式乘法
- 2.大数乘法
- 三、FFT怎么做?
- 1. 系数表示法和点值表示法
- 3.如何巧妙地进行DFT? - FFT的高明之处
- 4. *单位复根* - FFT的高明之处(二)
- 5. Inverse Fast Fourier Transform - 从点值表示法回到系数表示法
- 四、FFT的递归实现
- 五、大数乘法的实现(FFT版)
- 后话(~~废话~~)
前言
Fast Fast TLE
原本做大数乘法的时候是想偷懒的, 就百度了下大数 A * B 的代码, 无意中发现有使用FFT的做法, 于是便开始了学习 (受苦) , 本文用以记录仅在算法应用层面上我对FFT的理解和一个手搓的大数乘法模版.
需要一定的复数知识, 但不多.
笔者对FFT的理解较为粗浅, 因此在下文可能大量略过某些部分的详细证明, 请见谅!
一、FFT是什么?
快速傅里叶变换( Fast Fourier Transform ), 是一种对离散傅里叶变换( Discrete Fourier Transform )的优化, 可令离散傅里叶变换的运算量大大降低, 在取样点数量较多的情况下可显著提升效率
二、FFT可以干什么?
1.多项式乘法
实际上, FFT可以大大提升卷积1的计算效率, 而当卷积的两个函数为多项式的时候, FFT则能在多项式乘法上大显神威.
2.大数乘法
关于乘法, 朴素的算法则是模拟我们自小学会的竖式乘法, 不难证明这样的算法的复杂度为O(n2), 然而这样的算法不仅容易精度溢出, 效率也不够高, 应用FFT则可以使算法的复杂度降低至O(nlogn).
观察一个数字, 如123456, 换种角度思考, 可以将其转化为以下的式子:
123456
=
1
∗
1
0
5
+
2
∗
1
0
4
+
3
∗
1
0
3
+
4
∗
1
0
2
+
5
∗
1
0
1
+
6
∗
1
0
0
123456 = 1 *10^5+2*10^4+3*10^3+4*10^2+5*10^1+6*10^0
123456=1∗105+2∗104+3∗103+4∗102+5∗101+6∗100再转化一次, 令x = 10, 则可以得到:
1
∗
x
5
+
2
∗
x
4
+
3
∗
x
3
+
4
∗
x
2
+
5
∗
x
1
+
6
∗
x
0
1 *x^5+2*x^4+3*x^3+4*x^2+5*x^1+6*x^0
1∗x5+2∗x4+3∗x3+4∗x2+5∗x1+6∗x0
从这个角度思考, 大数乘法不正是x = 10的情况下的多项式乘法吗?
三、FFT怎么做?
PS:强烈建议您通过这个视频进行学习并在需要的情况下结合下文理解, 个人认为这个视频讲得相当易懂
1. 系数表示法和点值表示法
任取一个n-1阶2 多项式, 将其表示为
a
0
+
a
1
x
+
a
2
x
2
+
.
.
.
+
a
n
−
1
x
n
−
1
a_0+a_1x+a_2x^2+...+a_{n-1}x^{n-1}
a0+a1x+a2x2+...+an−1xn−1实际上我们已经得到了它的系数表示, 即
[
a
0
a
1
a
2
.
.
.
a
n
−
1
]
left[ begin{array}{l} a_0&a_1&a_2&...&a_{n-1} end{array} right]
[a0a1a2...an−1]
那么什么是它的点值表示法呢?
对一个多项式
f
(
x
)
=
a
0
+
a
1
x
+
a
2
x
2
+
.
.
.
+
a
n
−
1
x
n
−
1
f(x)= a_0+a_1x+a_2x^2+...+a_{n-1}x^{n-1}
f(x)=a0+a1x+a2x2+...+an−1xn−1任取不小于n个xi带入并计算得到f(xi)即为其点值表示法:
{
(
x
0
,
f
(
x
0
)
,
(
x
1
,
f
(
x
1
)
,
…
,
(
x
n
−
1
,
f
(
x
n
−
1
)
}
left{ (x_0,f(x_0),(x_1,f(x_1), dots,(x_{n-1},f(x_{n-1}) right}
{(x0,f(x0),(x1,f(x1),…,(xn−1,f(xn−1)}
将其化为矩阵形式, 有
[
f
(
x
1
)
f
(
x
2
)
⋮
f
(
x
−
1
)
]
=
[
1
x
0
x
0
2
…
x
0
n
−
1
1
x
1
x
1
2
…
x
1
n
−
1
…
…
…
⋮
…
1
x
n
−
1
x
n
−
1
2
…
x
n
−
1
n
−
1
]
[
a
0
a
1
⋮
a
n
−
1
]
left[ begin{array}{l} f(x_1)\ f(x_2)\ vdots \ f(x-1) end{array} right] = left[ begin{array}{l} 1&x_0&x_0^2&dots&x_{0}^{n-1}\ 1&x_1&x_1^2&dots&x_{1}^{n-1}\ dots&dots&dots&vdots&dots\ 1&x_{n-1}&x_{n-1}^2&dots&x_{n-1}^{n-1} end{array} right] left[ begin{array}{l} a_0\ a_1\ vdots \ a_{n-1} end{array} right]
⎣⎢⎢⎢⎡f(x1)f(x2)⋮f(x−1)⎦⎥⎥⎥⎤=⎣⎢⎢⎢⎡11…1x0x1…xn−1x02x12…xn−12……⋮…x0n−1x1n−1…xn−1n−1⎦⎥⎥⎥⎤⎣⎢⎢⎢⎡a0a1⋮an−1⎦⎥⎥⎥⎤
PS:从 系数表示法 得到 点值表示法 的这一步即为DFT(离散傅里叶变换)
由范德蒙德行列式易证得当x0 ~ xn-1互不相同时矩阵可逆, 即当所取的xi不小于矩阵的阶加一时, 点值表示法和系数表示法一一对应.
令
h
(
x
)
=
f
(
x
)
g
(
x
)
h(x)=f(x)g(x)
h(x)=f(x)g(x)
在点值表示法的基础上, 要计算h(x)的表达式, 只需要取相同的xi得出f(xi)和g(xi)并相乘, 再从(xi ,f(xi)g(xi))的点值表示法转换成系数表示法即可得到h(x)的值.
那么如何从点值表示法转换成系数表示法呢? 仔细观察上面的矩阵表达式不难得出:
{
(
x
0
,
f
(
x
0
)
,
(
x
1
,
f
(
x
1
)
,
…
,
(
x
n
−
1
,
f
(
x
n
−
1
)
}
left{ (x_0,f(x_0),(x_1,f(x_1), dots,(x_{n-1},f(x_{n-1}) right}
{(x0,f(x0),(x1,f(x1),…,(xn−1,f(xn−1)}
将其化为矩阵形式, 有
[
a
0
a
1
⋮
a
n
−
1
]
=
[
1
x
0
x
0
2
…
x
0
n
−
1
1
x
1
x
1
2
…
x
1
n
−
1
…
…
…
⋮
…
1
x
n
−
1
x
n
−
1
2
…
x
n
−
1
n
−
1
]
−
1
[
f
(
x
1
)
f
(
x
2
)
⋮
f
(
x
−
1
)
]
left[ begin{array}{l} a_0\ a_1\ vdots \ a_{n-1} end{array} right] = left[ begin{array}{l} 1&x_0&x_0^2&dots&x_{0}^{n-1}\ 1&x_1&x_1^2&dots&x_{1}^{n-1}\ dots&dots&dots&vdots&dots\ 1&x_{n-1}&x_{n-1}^2&dots&x_{n-1}^{n-1} end{array} right]^{-1} left[ begin{array}{l} f(x_1)\ f(x_2)\ vdots \ f(x-1) end{array} right]
⎣⎢⎢⎢⎡a0a1⋮an−1⎦⎥⎥⎥⎤=⎣⎢⎢⎢⎡11…1x0x1…xn−1x02x12…xn−12……⋮…x0n−1x1n−1…xn−1n−1⎦⎥⎥⎥⎤−1⎣⎢⎢⎢⎡f(x1)f(x2)⋮f(x−1)⎦⎥⎥⎥⎤
PS:从 点值表示法 得到 系数表示法 的这一步即为Inverse DFT(逆离散傅里叶变换)
3.如何巧妙地进行DFT? - FFT的高明之处
对上述的DFT过程, 一个通常的想法是在x轴上随便挑几个点代入计算, 比如说x0= 0, x1 = 1, …然而这样做的话又重新掉入了O(n2)的窠臼之中, 我们依旧需要对n个甚至以上的点计算n次, 而要探讨FFT的做法, 让我们先着眼于两个简单的多项式
P
1
=
x
2
P_1=x^2
P1=x2
因为这是一个偶函数, 当我们确定f(xi)时通过偶函数的性质可以立刻确定f(-xi) = f(xi), 这样我们任取一个点, 立刻就可以确定其相反数的函数值了.
而对于
P
2
=
x
3
P_2= x^3
P2=x3
和P1不同, 这是个奇函数, 因此f(-xi) = -f(xi).
据此, 我们不妨将一个一般的多项式(设n为偶数)分解为奇函数的部分和偶函数的部分, 再从奇函数部分提取一个x:
P
(
x
)
=
a
0
+
a
1
x
+
a
2
x
2
+
.
.
.
+
a
n
−
1
x
n
−
1
令
P
e
(
x
)
=
a
0
+
a
2
x
2
+
.
.
.
+
a
n
−
2
x
n
−
2
,
P
o
(
x
)
=
a
1
+
a
3
x
2
+
.
.
.
+
a
n
−
1
x
n
−
2
则
P
(
x
i
)
=
P
e
(
x
i
)
+
x
i
P
o
(
x
i
)
,
P
(
−
x
i
)
=
P
e
(
x
i
)
−
x
i
P
o
(
x
i
)
P(x) = a_0+a_1x+a_2x^2+...+a_{n-1}x^{n-1}\ 令P_e(x) = a_0+ a_2x^2+...+a_{n-2}x^{n-2} , P_o(x) = a_1+a_3x^2+...+a_{n-1}x^{n-2}\ 则P(x_i)=P_e(x_i)+x_iP_o(x_i), \P(-x_i)=P_e(x_i)-x_iP_o(x_i)
P(x)=a0+a1x+a2x2+...+an−1xn−1令Pe(x)=a0+a2x2+...+an−2xn−2,Po(x)=a1+a3x2+...+an−1xn−2则P(xi)=Pe(xi)+xiPo(xi),P(−xi)=Pe(xi)−xiPo(xi)
若令 p = x2, 则Pe(x)和Po(x)则简化为以下式子:
P
e
(
x
)
=
a
0
+
a
2
x
2
+
.
.
.
+
a
n
−
2
x
n
−
2
P
o
(
x
)
=
a
1
+
a
3
x
2
+
.
.
.
+
a
n
−
1
x
n
−
2
⇕
令
p
=
x
2
P
e
(
p
)
=
a
0
+
a
2
p
+
.
.
.
+
a
n
−
2
p
n
−
2
2
P
o
(
p
)
=
a
1
+
a
3
p
+
.
.
.
+
a
n
−
1
p
n
−
2
2
P_e(x) = a_0+ a_2x^2+...+a_{n-2}x^{n-2}\ P_o(x) = a_1+a_3x^2+...+a_{n-1}x^{n-2}\ Updownarrow 令p=x^2\ P_e(p) = a_0 + a_2p+...+a_{n-2}p^{frac{n-2}{2}}\ P_o(p) = a_1 + a_3p+...+a_{n-1}p^{frac{n-2}{2}}\
Pe(x)=a0+a2x2+...+an−2xn−2Po(x)=a1+a3x2+...+an−1xn−2⇕令p=x2Pe(p)=a0+a2p+...+an−2p2n−2Po(p)=a1+a3p+...+an−1p2n−2
如果此时将Pe和Po视为新的式子, 重复上述操作则可将Pe和Po继续降阶直到Pe和Po的式子的阶降至0, 那么此时Pe和Po的值便为常数a0和a1.
以多项式P(x) = a0 + a1x + a2x2 + a3x2为例, DFT过程需要构造4个根x1, x2, x3, x4并带入求值, 以上述方法降阶则有:
第一步:
P
0
(
x
)
=
a
0
+
a
1
x
+
a
2
x
2
+
a
3
x
3
⇕
令
t
=
x
2
P
e
0
(
t
)
=
a
0
+
a
2
t
P
o
0
(
t
)
=
a
1
+
a
3
t
P
0
(
x
i
)
=
P
e
0
(
x
i
2
)
+
x
i
P
o
0
(
x
i
2
)
,
P
0
(
−
x
i
)
=
P
e
0
(
x
i
2
)
−
x
i
P
o
0
(
x
i
2
)
P_0(x) = a_0+a_1x+a_2x^2+a_3x^3\ Updownarrow令t = x^2\ P_{e0}(t) = a_0+a_2t\ P_{o0}(t)= a_1 + a_3t\\ P_0(x_i)=P_{e0}(x_i^2)+x_iP_{o0}(x_i^2), \P_0(-x_i)=P_{e0}(x_i^2)-x_iP_{o0}(x_i^2)
P0(x)=a0+a1x+a2x2+a3x3⇕令t=x2Pe0(t)=a0+a2tPo0(t)=a1+a3tP0(xi)=Pe0(xi2)+xiPo0(xi2),P0(−xi)=Pe0(xi2)−xiPo0(xi2)
第二步:
令
P
1
=
P
e
0
(
t
)
=
a
0
+
a
2
t
,
令
P
2
=
P
o
0
(
t
)
=
a
1
+
a
3
t
,
则
P
e
1
(
t
)
=
a
0
,
则
P
e
2
(
t
)
=
a
1
,
P
o
1
(
t
)
=
a
2
P
e
2
(
t
)
=
a
3
P
1
(
x
i
2
)
=
P
e
1
(
x
i
2
)
+
x
i
2
P
o
1
(
x
i
2
)
=
a
0
+
x
i
2
⋅
a
2
,
P
2
(
x
i
2
)
=
P
e
2
(
x
i
2
)
+
x
i
2
P
o
2
(
x
i
2
)
=
a
1
+
x
i
2
⋅
a
3
,
P
1
(
−
x
i
2
)
=
P
e
1
(
−
x
i
2
)
−
x
i
2
P
o
1
(
x
i
2
)
=
a
0
−
x
i
2
⋅
a
2
P
2
(
−
x
i
2
)
=
P
e
2
(
−
x
i
2
)
−
x
i
2
P
o
2
(
x
i
2
)
=
a
1
−
x
i
2
⋅
a
3
begin{array}{c|c} 令P_1=P_{e0}(t) = a_0+a_2t, & 令P_2 = P_{o0}(t)= a_1 + a_3t,\ 则P_{e1}(t) = a_0, & 则P_{e2}(t) = a_1,\ P_{o1}(t) = a_2 & P_{e2}(t) = a_3\ P_1(x_i^2) = P_{e1}(x_i^2)+x_i^2P_{o1}(x_i^2) = a_0 + x_i^2cdot a_2, & P_2(x_i^2) = P_{e2}(x_i^2)+x_i^2P_{o2}(x_i^2) = a_1 + x_i^2cdot a_3,\ P_1(-x_i^2) = P_{e1}(-x_i^2)-x_i^2P_{o1}(x_i^2) = a_0 - x_i^2cdot a_2 & P_2(-x_i^2) = P_{e2}(-x_i^2)-x_i^2P_{o2}(x_i^2)=a_1 - x_i^2cdot a_3\ end{array}
令P1=Pe0(t)=a0+a2t,则Pe1(t)=a0,Po1(t)=a2P1(xi2)=Pe1(xi2)+xi2Po1(xi2)=a0+xi2⋅a2,P1(−xi2)=Pe1(−xi2)−xi2Po1(xi2)=a0−xi2⋅a2令P2=Po0(t)=a1+a3t,则Pe2(t)=a1,Pe2(t)=a3P2(xi2)=Pe2(xi2)+xi2Po2(xi2)=a1+xi2⋅a3,P2(−xi2)=Pe2(−xi2)−xi2Po2(xi2)=a1−xi2⋅a3
如此, 对P0(x)的快速傅里叶变换过程已经呼之欲出了, 然而这里却有一个严重的问题亟待解决……
4. 单位复根 - FFT的高明之处(二)
也许你已经注意到了其中的问题, 让我们回到上述第二步, 该如何取xi的值才能使得x02与x12互为相反数呢, 显然在实数域中这个问题是无法被解决的.
这就是FFT的第二个高明之处, 使用n次单位复根来解决问题.
让我们继续使用上面那个多项式P0(x), 我们需要4个数作为x代入多项式并求值, 从而得出P0(x)的点值表达式, 那么我们不妨使用4次单位复根(1, -1, i, -i)作为 xi :
求
P
0
(
x
i
)
的
值
,
其
中
P
0
(
x
)
=
a
0
+
a
1
x
+
a
2
x
2
+
a
3
x
3
,
x
i
=
[
1
,
−
1
,
i
,
−
i
]
P
0
(
1
)
=
P
e
0
(
1
)
+
1
⋅
P
o
0
(
1
)
,
P
0
(
−
1
)
=
P
e
0
(
1
)
−
1
⋅
P
o
0
(
1
)
P
0
(
i
)
=
P
e
0
(
−
1
)
+
i
⋅
P
o
0
(
−
1
)
,
P
0
(
−
1
)
=
P
e
0
(
−
1
)
−
i
⋅
P
o
0
(
−
1
)
求P_0(x_i)的值, 其中P_0(x) = a_0+a_1x+a_2x^2+a_3x^3 ,x_i = left[ 1,-1,i,-i right]\ P_0(1)=P_{e0}(1)+1 cdot P_{o0}(1), \P_0(-1)=P_{e0}(1)-1 cdot P_{o0}(1)\ P_0(i)=P_{e0}(-1)+i cdot P_{o0}(-1), \P_0(-1)=P_{e0}(-1)-i cdot P_{o0}(-1)\
求P0(xi)的值,其中P0(x)=a0+a1x+a2x2+a3x3,xi=[1,−1,i,−i]P0(1)=Pe0(1)+1⋅Po0(1),P0(−1)=Pe0(1)−1⋅Po0(1)P0(i)=Pe0(−1)+i⋅Po0(−1),P0(−1)=Pe0(−1)−i⋅Po0(−1)
P
e
0
(
1
)
=
P
1
(
1
)
=
P
e
1
(
1
)
+
1
⋅
P
o
1
(
1
)
=
a
0
+
1
⋅
a
2
,
P
e
0
(
−
1
)
=
P
1
(
−
1
)
=
P
e
1
(
−
1
)
−
1
⋅
P
o
1
(
1
)
=
a
0
−
1
⋅
a
2
P
o
0
(
1
)
=
P
1
(
1
)
=
P
e
2
(
1
)
+
1
⋅
P
o
2
(
1
)
=
a
1
+
1
⋅
a
3
,
P
o
0
(
−
1
)
=
P
1
(
−
1
)
=
P
e
2
(
−
1
)
−
1
⋅
P
o
2
(
1
)
=
a
1
−
1
⋅
a
3
P_{e0}(1) = P_1(1) = P_{e1}(1)+1cdot P_{o1}(1) = a_0 + 1cdot a_2, \ P_{e0}(-1) = P_1(-1) = P_{e1}(-1)-1cdot P_{o1}(1) = a_0 - 1cdot a_2\ P_{o0}(1) = P_1(1) = P_{e2}(1)+1cdot P_{o2}(1) = a_1 + 1cdot a_3, \ P_{o0}(-1) = P_1(-1) = P_{e2}(-1)-1cdot P_{o2}(1) = a_1 - 1cdot a_3
Pe0(1)=P1(1)=Pe1(1)+1⋅Po1(1)=a0+1⋅a2,Pe0(−1)=P1(−1)=Pe1(−1)−1⋅Po1(1)=a0−1⋅a2Po0(1)=P1(1)=Pe2(1)+1⋅Po2(1)=a1+1⋅a3,Po0(−1)=P1(−1)=Pe2(−1)−1⋅Po2(1)=a1−1⋅a3
再将值代入上式, 整个FFT过程便结束了.
当然单位复根的其他(我并不熟知)的性质(如可约引理, 等分引理, 求和引理等), 造就了其十分适合用于快速傅里叶变换中.
简单来说, 对于n次单位复根(其中n是2的正整数次幂), 他们之间两两正负配对(第k个根与第k + n/2个根)且平方后同样两两正负配对, 这令其十分适合用于递归当中.
当然, 这些性质在n是2的正整数次幂时才生效, 当n不是2的正整数次幂时, 可自行将多项式的次数补足, 此时该项系数为0即可.
当然由于我十分的菜, 具体的证明就此略过了, 各位可以看看我推荐的那个视频或者自行寻找资料进行证明(
5. Inverse Fast Fourier Transform - 从点值表示法回到系数表示法
这一步骤之简单你绝对无法想象, 观察上文的IDFT的实现:
[
a
0
a
1
⋮
a
n
−
1
]
=
[
1
x
0
x
0
2
…
x
0
n
−
1
1
x
1
x
1
2
…
x
1
n
−
1
…
…
…
⋮
…
1
x
n
−
1
x
n
−
1
2
…
x
n
−
1
n
−
1
]
−
1
[
f
(
x
1
)
f
(
x
2
)
⋮
f
(
x
−
1
)
]
left[ begin{array}{l} a_0\ a_1\ vdots \ a_{n-1} end{array} right] = left[ begin{array}{l} 1&x_0&x_0^2&dots&x_{0}^{n-1}\ 1&x_1&x_1^2&dots&x_{1}^{n-1}\ dots&dots&dots&vdots&dots\ 1&x_{n-1}&x_{n-1}^2&dots&x_{n-1}^{n-1} end{array} right]^{-1} left[ begin{array}{l} f(x_1)\ f(x_2)\ vdots \ f(x-1) end{array} right]
⎣⎢⎢⎢⎡a0a1⋮an−1⎦⎥⎥⎥⎤=⎣⎢⎢⎢⎡11…1x0x1…xn−1x02x12…xn−12……⋮…x0n−1x1n−1…xn−1n−1⎦⎥⎥⎥⎤−1⎣⎢⎢⎢⎡f(x1)f(x2)⋮f(x−1)⎦⎥⎥⎥⎤
让我们对第二个矩阵进行求逆:
[
1
x
0
x
0
2
…
x
0
n
−
1
1
x
1
x
1
2
…
x
1
n
−
1
…
…
…
⋮
…
1
x
n
−
1
x
n
−
1
2
…
x
n
−
1
n
−
1
]
−
1
=
[
1
1
1
…
1
1
ω
ω
2
…
ω
n
−
1
…
…
…
⋮
…
1
ω
n
−
1
ω
2
(
n
−
1
)
…
ω
(
n
−
1
)
(
n
−
1
)
]
−
1
=
1
n
[
1
1
1
…
1
1
ω
−
1
ω
−
2
…
ω
−
(
n
−
1
)
…
…
…
⋮
…
1
ω
−
(
n
−
1
)
ω
−
2
(
n
−
1
)
…
ω
−
(
n
−
1
)
(
n
−
1
)
]
left[ begin{array}{l} 1&x_0&x_0^2&dots&x_{0}^{n-1}\ 1&x_1&x_1^2&dots&x_{1}^{n-1}\ dots&dots&dots&vdots&dots\ 1&x_{n-1}&x_{n-1}^2&dots&x_{n-1}^{n-1} end{array} right]^{-1} = left[ begin{array}{l} 1&1 &1&dots&1\ 1&omega &omega ^2 &dots&omega ^{n-1}\ dots&dots&dots&vdots&dots\ 1&omega ^{n-1}&omega ^{2(n-1)}&dots&omega^{(n-1)(n-1)} end{array} right]^{-1}=frac{1}{n}left[ begin{array}{l} 1&1 &1&dots&1\ 1&omega^{-1} &omega ^{-2} &dots&omega ^{-(n-1)}\ dots&dots&dots&vdots&dots\ 1&omega ^{-(n-1)}&omega ^{-2(n-1)}&dots&omega^{-(n-1)(n-1)} end{array} right]
⎣⎢⎢⎢⎡11…1x0x1…xn−1x02x12…xn−12……⋮…x0n−1x1n−1…xn−1n−1⎦⎥⎥⎥⎤−1=⎣⎢⎢⎢⎡11…11ω…ωn−11ω2…ω2(n−1)……⋮…1ωn−1…ω(n−1)(n−1)⎦⎥⎥⎥⎤−1=n1⎣⎢⎢⎢⎡11…11ω−1…ω−(n−1)1ω−2…ω−2(n−1)……⋮…1ω−(n−1)…ω−(n−1)(n−1)⎦⎥⎥⎥⎤其中
x
k
=
ω
k
,
ω
=
e
2
π
i
n
x_k = omega_k, omega = e^{frac{2pi i}{n}}
xk=ωk,ω=en2πi
也就是说:
[
p
0
p
1
⋮
p
n
−
1
]
=
1
n
[
1
1
1
…
1
1
ω
ω
2
…
ω
n
−
1
…
…
…
⋮
…
1
ω
n
−
1
ω
2
(
n
−
1
)
…
ω
(
n
−
1
)
(
n
−
1
)
]
[
P
(
x
1
)
P
(
x
2
)
⋮
P
(
x
−
1
)
]
left[ begin{array}{l} p_0\ p_1\ vdots \ p_{n-1} end{array} right] = frac{1}{n}left[ begin{array}{l} 1&1 &1&dots&1\ 1&omega &omega ^2 &dots&omega ^{n-1}\ dots&dots&dots&vdots&dots\ 1&omega ^{n-1}&omega ^{2(n-1)}&dots&omega^{(n-1)(n-1)} end{array} right] left[ begin{array}{l} P(x_1)\ P(x_2)\ vdots \ P(x-1) end{array} right]
⎣⎢⎢⎢⎡p0p1⋮pn−1⎦⎥⎥⎥⎤=n1⎣⎢⎢⎢⎡11…11ω…ωn−11ω2…ω2(n−1)……⋮…1ωn−1…ω(n−1)(n−1)⎦⎥⎥⎥⎤⎣⎢⎢⎢⎡P(x1)P(x2)⋮P(x−1)⎦⎥⎥⎥⎤
不难发现, 要实现IFFT, 只需在FFT的基础上将ω取倒数, 并在最终结果乘以n分之一即可.
PS:我觉得自己写的FFT解释很烂, 在此建议您如果 (肯定) 有看不懂的部分结合刚才推荐的视频学习
四、FFT的递归实现
据此, 我们终于可以写出FFT的代码了, 我手写的递归实现如下:
#include
using namespace std;
typedef unsigned long long ull;
const double Pi = acos(-1.0); //将常数Pi的值设为arccos(-1)
vector<complex<double> > FFT(vector<complex<double> > &a, int flag) {
//第一个参数为一个多项式的系数, 以次数从小到大的顺序, 向量中每一项的实部为该项系数
//flag == 1->FFT, flag == -1->IFFT
int n = a.size();
if(n == 1) //如果当前多项式仅有常数项时直接返回多项式的值
return a;
vector<complex<double> > Pe, Po; //即原文中的Pe与Po的系数表示法
complex<double> omega(cos(2.0 * Pi / n), sin(flag * 2.0 * Pi / n)), cur(1, 0); //omega为第一个n次复根, cur为第零个n次复根即1
for (unsigned int i = 0; i < n; i++) {
if(i & 1)
Po.push_back(a[i]);
else
Pe.push_back(a[i]);
}
vector<complex<double> > ye = FFT(Pe, flag), yo = FFT(Po, flag), y(n); //递归求得ye=Pe(xi), yo=Po(xi)
for (int i = 0; i < n / 2; i++) {
y[i] = ye[i] + cur * yo[i]; //求出P(xi)
y[i + n / 2] = ye[i] - cur * yo[i]; //由单位复根的性质可知第k个根与第k + n/2个根互为相反数
cur *= omega; //cur * omega得到下一个复根
}
return y; //返回最终的系数
}
当然需要注意的是, 如果当前进行的是IFFT时, 需要将最终结果除以n, 其中n为不小于原多项式阶+1的最小2的整数次幂.
因此你需要在上述代码的基础上增加一个代码, 向原系数向量补0直到向量中元素的个数为二的整数幂为止.
五、大数乘法的实现(FFT版)
了解了FFT的实现方法, 大数乘法的实现可以说是再简单不过了(毕竟前面的鬼东西都看懂了), 这里便直接贴上源代码了,当然有一个非常需要注意的地方, 最终获取的多项式系数是有可能大于等于10的, 此时需要做进位处理!
#include
#define sync ios::sync_with_stdio(false)
using namespace std;
typedef unsigned long long ull;
const double Pi = acos(-1.0); //将常数Pi的值设为arccos(-1)
vector<complex<double> > FFT(vector<complex<double> > &a, int flag) {
//第一个参数为一个多项式的系数, 以次数从小到大的顺序, 向量中每一项的实部为该项系数
//flag == 1->FFT, flag == -1->IFFT
int n = a.size();
if(n == 1) //如果当前多项式仅有常数项时直接返回多项式的值
return a;
vector<complex<double> > Pe, Po; //即原文中的Pe与Po的系数表示法
complex<double> omega(cos(2.0 * Pi / n), sin(flag * 2.0 * Pi / n)), cur(1, 0); //omega为第一个n次复根, cur为第零个n次复根即1
for (unsigned int i = 0; i < n; i++) {
if(i & 1)
Po.push_back(a[i]);
else
Pe.push_back(a[i]);
}
vector<complex<double> > ye = FFT(Pe, flag), yo = FFT(Po, flag), y(n); //递归求得ye=Pe(xi), yo=Po(xi)
for (int i = 0; i < n / 2; i++) {
y[i] = ye[i] + cur * yo[i]; //求出P(xi)
y[i + n / 2] = ye[i] - cur * yo[i]; //由单位复根的性质可知第k个根与第k + n/2个根互为相反数
cur *= omega; //cur * omega得到下一个复根
}
return y; //返回最终的系数
}
vector<complex<double> > read() { //获取系数, 注意需要从右向左获取(从0次幂的系数开始)
string num;
cin >> num;
vector<complex<double> > result;
for (int i = num.size() - 1; i >= 0; i--) {
complex<double> tmp(num[i] - '0', 0);
result.push_back(tmp);
}
return result;
}
void solve(vector<complex<double> > &a, vector<complex<double> > &b) { //多项式系数表达式的修饰
complex<double> tmp(0, 0);
int sum = a.size() + b.size();
while (a.size() < sum)
a.push_back(tmp);
while (b.size() < sum)
b.push_back(tmp);
//如果两式的阶不同, 先补齐
int temp = 1;
while (temp < a.size())
temp <<= 1;
//获取不小于n的最小2的整数次幂
while (a.size() < temp) {
a.push_back(tmp);
b.push_back(tmp);
}
//补齐
}
int main() {
sync;
vector<complex<double> > num1 = read(), num2 = read(), tmp1, tmp2, mid, ans;
solve(num1, num2);
tmp1 = FFT(num1, 1), tmp2 = FFT(num2, 1);
num1.clear();
num2.clear();
for (int i = 0; i < tmp1.size(); i++)
mid.push_back(tmp1[i] * tmp2[i]);
tmp1.clear();
tmp2.clear();
ans = FFT(mid, -1);
bool Ans = false;
int add = 0;
string final;
//进位处理
for (int i = 0; i < ans.size(); i++) {
int op = round(round(ans[i].real()) / ans.size()) + add;
add = 0;
if(op >= 10)
add = op / 10;
final += op % 10 + '0';
}
if(add > 0)
final += add % 10 + '0';
for (int i = final.size() - 1; i >= 0; i--) {
if(final[i] != '0')
Ans = true;
else if(!Ans)
continue;
cout << final[i];
}
cout << 'n';
}
后话(废话)
- 历时一个寒假! 终于把这篇万字长文(x)写完了, 多谢某csome同学的鼓励~~(催更)~~ !
- 理解FFT足足花了2天时间, 好难……
- 如果博客有错漏, 敬请指出并不吝赐教, 感谢!
卷积的定义请参见维基对卷积的定义. ︎
多项式的次数最大的项的次数即为多项式的阶. ︎
文章目录
- 前言
- ~~Fast Fast TLE~~
- 一、FFT是什么?
- 二、FFT可以干什么?
- 1.多项式乘法
- 2.大数乘法
- 三、FFT怎么做?
- 1. 系数表示法和点值表示法
- 3.如何巧妙地进行DFT? - FFT的高明之处
- 4. *单位复根* - FFT的高明之处(二)
- 5. Inverse Fast Fourier Transform - 从点值表示法回到系数表示法
- 四、FFT的递归实现
- 五、大数乘法的实现(FFT版)
- 后话(~~废话~~)
前言
Fast Fast TLE
原本做大数乘法的时候是想偷懒的, 就百度了下大数 A * B 的代码, 无意中发现有使用FFT的做法, 于是便开始了学习 (受苦) , 本文用以记录仅在算法应用层面上我对FFT的理解和一个手搓的大数乘法模版.
需要一定的复数知识, 但不多.
笔者对FFT的理解较为粗浅, 因此在下文可能大量略过某些部分的详细证明, 请见谅!
一、FFT是什么?
快速傅里叶变换( Fast Fourier Transform ), 是一种对离散傅里叶变换( Discrete Fourier Transform )的优化, 可令离散傅里叶变换的运算量大大降低, 在取样点数量较多的情况下可显著提升效率
二、FFT可以干什么?
1.多项式乘法
实际上, FFT可以大大提升卷积1的计算效率, 而当卷积的两个函数为多项式的时候, FFT则能在多项式乘法上大显神威.
2.大数乘法
关于乘法, 朴素的算法则是模拟我们自小学会的竖式乘法, 不难证明这样的算法的复杂度为O(n2), 然而这样的算法不仅容易精度溢出, 效率也不够高, 应用FFT则可以使算法的复杂度降低至O(nlogn).
观察一个数字, 如123456, 换种角度思考, 可以将其转化为以下的式子:
123456
=
1
∗
1
0
5
+
2
∗
1
0
4
+
3
∗
1
0
3
+
4
∗
1
0
2
+
5
∗
1
0
1
+
6
∗
1
0
0
123456 = 1 *10^5+2*10^4+3*10^3+4*10^2+5*10^1+6*10^0
123456=1∗105+2∗104+3∗103+4∗102+5∗101+6∗100再转化一次, 令x = 10, 则可以得到:
1
∗
x
5
+
2
∗
x
4
+
3
∗
x
3
+
4
∗
x
2
+
5
∗
x
1
+
6
∗
x
0
1 *x^5+2*x^4+3*x^3+4*x^2+5*x^1+6*x^0
1∗x5+2∗x4+3∗x3+4∗x2+5∗x1+6∗x0
从这个角度思考, 大数乘法不正是x = 10的情况下的多项式乘法吗?
三、FFT怎么做?
PS:强烈建议您通过这个视频进行学习并在需要的情况下结合下文理解, 个人认为这个视频讲得相当易懂
1. 系数表示法和点值表示法
任取一个n-1阶2 多项式, 将其表示为
a
0
+
a
1
x
+
a
2
x
2
+
.
.
.
+
a
n
−
1
x
n
−
1
a_0+a_1x+a_2x^2+...+a_{n-1}x^{n-1}
a0+a1x+a2x2+...+an−1xn−1实际上我们已经得到了它的系数表示, 即
[
a
0
a
1
a
2
.
.
.
a
n
−
1
]
left[ begin{array}{l} a_0&a_1&a_2&...&a_{n-1} end{array} right]
[a0a1a2...an−1]
那么什么是它的点值表示法呢?
对一个多项式
f
(
x
)
=
a
0
+
a
1
x
+
a
2
x
2
+
.
.
.
+
a
n
−
1
x
n
−
1
f(x)= a_0+a_1x+a_2x^2+...+a_{n-1}x^{n-1}
f(x)=a0+a1x+a2x2+...+an−1xn−1任取不小于n个xi带入并计算得到f(xi)即为其点值表示法:
{
(
x
0
,
f
(
x
0
)
,
(
x
1
,
f
(
x
1
)
,
…
,
(
x
n
−
1
,
f
(
x
n
−
1
)
}
left{ (x_0,f(x_0),(x_1,f(x_1), dots,(x_{n-1},f(x_{n-1}) right}
{(x0,f(x0),(x1,f(x1),…,(xn−1,f(xn−1)}
将其化为矩阵形式, 有
[
f
(
x
1
)
f
(
x
2
)
⋮
f
(
x
−
1
)
]
=
[
1
x
0
x
0
2
…
x
0
n
−
1
1
x
1
x
1
2
…
x
1
n
−
1
…
…
…
⋮
…
1
x
n
−
1
x
n
−
1
2
…
x
n
−
1
n
−
1
]
[
a
0
a
1
⋮
a
n
−
1
]
left[ begin{array}{l} f(x_1)\ f(x_2)\ vdots \ f(x-1) end{array} right] = left[ begin{array}{l} 1&x_0&x_0^2&dots&x_{0}^{n-1}\ 1&x_1&x_1^2&dots&x_{1}^{n-1}\ dots&dots&dots&vdots&dots\ 1&x_{n-1}&x_{n-1}^2&dots&x_{n-1}^{n-1} end{array} right] left[ begin{array}{l} a_0\ a_1\ vdots \ a_{n-1} end{array} right]
⎣⎢⎢⎢⎡f(x1)f(x2)⋮f(x−1)⎦⎥⎥⎥⎤=⎣⎢⎢⎢⎡11…1x0x1…xn−1x02x12…xn−12……⋮…x0n−1x1n−1…xn−1n−1⎦⎥⎥⎥⎤⎣⎢⎢⎢⎡a0a1⋮an−1⎦⎥⎥⎥⎤
PS:从 系数表示法 得到 点值表示法 的这一步即为DFT(离散傅里叶变换)
由范德蒙德行列式易证得当x0 ~ xn-1互不相同时矩阵可逆, 即当所取的xi不小于矩阵的阶加一时, 点值表示法和系数表示法一一对应.
令
h
(
x
)
=
f
(
x
)
g
(
x
)
h(x)=f(x)g(x)
h(x)=f(x)g(x)
在点值表示法的基础上, 要计算h(x)的表达式, 只需要取相同的xi得出f(xi)和g(xi)并相乘, 再从(xi ,f(xi)g(xi))的点值表示法转换成系数表示法即可得到h(x)的值.
那么如何从点值表示法转换成系数表示法呢? 仔细观察上面的矩阵表达式不难得出:
{
(
x
0
,
f
(
x
0
)
,
(
x
1
,
f
(
x
1
)
,
…
,
(
x
n
−
1
,
f
(
x
n
−
1
)
}
left{ (x_0,f(x_0),(x_1,f(x_1), dots,(x_{n-1},f(x_{n-1}) right}
{(x0,f(x0),(x1,f(x1),…,(xn−1,f(xn−1)}
将其化为矩阵形式, 有
[
a
0
a
1
⋮
a
n
−
1
]
=
[
1
x
0
x
0
2
…
x
0
n
−
1
1
x
1
x
1
2
…
x
1
n
−
1
…
…
…
⋮
…
1
x
n
−
1
x
n
−
1
2
…
x
n
−
1
n
−
1
]
−
1
[
f
(
x
1
)
f
(
x
2
)
⋮
f
(
x
−
1
)
]
left[ begin{array}{l} a_0\ a_1\ vdots \ a_{n-1} end{array} right] = left[ begin{array}{l} 1&x_0&x_0^2&dots&x_{0}^{n-1}\ 1&x_1&x_1^2&dots&x_{1}^{n-1}\ dots&dots&dots&vdots&dots\ 1&x_{n-1}&x_{n-1}^2&dots&x_{n-1}^{n-1} end{array} right]^{-1} left[ begin{array}{l} f(x_1)\ f(x_2)\ vdots \ f(x-1) end{array} right]
⎣⎢⎢⎢⎡a0a1⋮an−1⎦⎥⎥⎥⎤=⎣⎢⎢⎢⎡11…1x0x1…xn−1x02x12…xn−12……⋮…x0n−1x1n−1…xn−1n−1⎦⎥⎥⎥⎤−1⎣⎢⎢⎢⎡f(x1)f(x2)⋮f(x−1)⎦⎥⎥⎥⎤
PS:从 点值表示法 得到 系数表示法 的这一步即为Inverse DFT(逆离散傅里叶变换)
3.如何巧妙地进行DFT? - FFT的高明之处
对上述的DFT过程, 一个通常的想法是在x轴上随便挑几个点代入计算, 比如说x0= 0, x1 = 1, …然而这样做的话又重新掉入了O(n2)的窠臼之中, 我们依旧需要对n个甚至以上的点计算n次, 而要探讨FFT的做法, 让我们先着眼于两个简单的多项式
P
1
=
x
2
P_1=x^2
P1=x2
因为这是一个偶函数, 当我们确定f(xi)时通过偶函数的性质可以立刻确定f(-xi) = f(xi), 这样我们任取一个点, 立刻就可以确定其相反数的函数值了.
而对于
P
2
=
x
3
P_2= x^3
P2=x3
和P1不同, 这是个奇函数, 因此f(-xi) = -f(xi).
据此, 我们不妨将一个一般的多项式(设n为偶数)分解为奇函数的部分和偶函数的部分, 再从奇函数部分提取一个x:
P
(
x
)
=
a
0
+
a
1
x
+
a
2
x
2
+
.
.
.
+
a
n
−
1
x
n
−
1
令
P
e
(
x
)
=
a
0
+
a
2
x
2
+
.
.
.
+
a
n
−
2
x
n
−
2
,
P
o
(
x
)
=
a
1
+
a
3
x
2
+
.
.
.
+
a
n
−
1
x
n
−
2
则
P
(
x
i
)
=
P
e
(
x
i
)
+
x
i
P
o
(
x
i
)
,
P
(
−
x
i
)
=
P
e
(
x
i
)
−
x
i
P
o
(
x
i
)
P(x) = a_0+a_1x+a_2x^2+...+a_{n-1}x^{n-1}\ 令P_e(x) = a_0+ a_2x^2+...+a_{n-2}x^{n-2} , P_o(x) = a_1+a_3x^2+...+a_{n-1}x^{n-2}\ 则P(x_i)=P_e(x_i)+x_iP_o(x_i), \P(-x_i)=P_e(x_i)-x_iP_o(x_i)
P(x)=a0+a1x+a2x2+...+an−1xn−1令Pe(x)=a0+a2x2+...+an−2xn−2,Po(x)=a1+a3x2+...+an−1xn−2则P(xi)=Pe(xi)+xiPo(xi),P(−xi)=Pe(xi)−xiPo(xi)
若令 p = x2, 则Pe(x)和Po(x)则简化为以下式子:
P
e
(
x
)
=
a
0
+
a
2
x
2
+
.
.
.
+
a
n
−
2
x
n
−
2
P
o
(
x
)
=
a
1
+
a
3
x
2
+
.
.
.
+
a
n
−
1
x
n
−
2
⇕
令
p
=
x
2
P
e
(
p
)
=
a
0
+
a
2
p
+
.
.
.
+
a
n
−
2
p
n
−
2
2
P
o
(
p
)
=
a
1
+
a
3
p
+
.
.
.
+
a
n
−
1
p
n
−
2
2
P_e(x) = a_0+ a_2x^2+...+a_{n-2}x^{n-2}\ P_o(x) = a_1+a_3x^2+...+a_{n-1}x^{n-2}\ Updownarrow 令p=x^2\ P_e(p) = a_0 + a_2p+...+a_{n-2}p^{frac{n-2}{2}}\ P_o(p) = a_1 + a_3p+...+a_{n-1}p^{frac{n-2}{2}}\
Pe(x)=a0+a2x2+...+an−2xn−2Po(x)=a1+a3x2+...+an−1xn−2⇕令p=x2Pe(p)=a0+a2p+...+an−2p2n−2Po(p)=a1+a3p+...+an−1p2n−2
如果此时将Pe和Po视为新的式子, 重复上述操作则可将Pe和Po继续降阶直到Pe和Po的式子的阶降至0, 那么此时Pe和Po的值便为常数a0和a1.
以多项式P(x) = a0 + a1x + a2x2 + a3x2为例, DFT过程需要构造4个根x1, x2, x3, x4并带入求值, 以上述方法降阶则有:
第一步:
P
0
(
x
)
=
a
0
+
a
1
x
+
a
2
x
2
+
a
3
x
3
⇕
令
t
=
x
2
P
e
0
(
t
)
=
a
0
+
a
2
t
P
o
0
(
t
)
=
a
1
+
a
3
t
P
0
(
x
i
)
=
P
e
0
(
x
i
2
)
+
x
i
P
o
0
(
x
i
2
)
,
P
0
(
−
x
i
)
=
P
e
0
(
x
i
2
)
−
x
i
P
o
0
(
x
i
2
)
P_0(x) = a_0+a_1x+a_2x^2+a_3x^3\ Updownarrow令t = x^2\ P_{e0}(t) = a_0+a_2t\ P_{o0}(t)= a_1 + a_3t\\ P_0(x_i)=P_{e0}(x_i^2)+x_iP_{o0}(x_i^2), \P_0(-x_i)=P_{e0}(x_i^2)-x_iP_{o0}(x_i^2)
P0(x)=a0+a1x+a2x2+a3x3⇕令t=x2Pe0(t)=a0+a2tPo0(t)=a1+a3tP0(xi)=Pe0(xi2)+xiPo0(xi2),P0(−xi)=Pe0(xi2)−xiPo0(xi2)
第二步:
令
P
1
=
P
e
0
(
t
)
=
a
0
+
a
2
t
,
令
P
2
=
P
o
0
(
t
)
=
a
1
+
a
3
t
,
则
P
e
1
(
t
)
=
a
0
,
则
P
e
2
(
t
)
=
a
1
,
P
o
1
(
t
)
=
a
2
P
e
2
(
t
)
=
a
3
P
1
(
x
i
2
)
=
P
e
1
(
x
i
2
)
+
x
i
2
P
o
1
(
x
i
2
)
=
a
0
+
x
i
2
⋅
a
2
,
P
2
(
x
i
2
)
=
P
e
2
(
x
i
2
)
+
x
i
2
P
o
2
(
x
i
2
)
=
a
1
+
x
i
2
⋅
a
3
,
P
1
(
−
x
i
2
)
=
P
e
1
(
−
x
i
2
)
−
x
i
2
P
o
1
(
x
i
2
)
=
a
0
−
x
i
2
⋅
a
2
P
2
(
−
x
i
2
)
=
P
e
2
(
−
x
i
2
)
−
x
i
2
P
o
2
(
x
i
2
)
=
a
1
−
x
i
2
⋅
a
3
begin{array}{c|c} 令P_1=P_{e0}(t) = a_0+a_2t, & 令P_2 = P_{o0}(t)= a_1 + a_3t,\ 则P_{e1}(t) = a_0, & 则P_{e2}(t) = a_1,\ P_{o1}(t) = a_2 & P_{e2}(t) = a_3\ P_1(x_i^2) = P_{e1}(x_i^2)+x_i^2P_{o1}(x_i^2) = a_0 + x_i^2cdot a_2, & P_2(x_i^2) = P_{e2}(x_i^2)+x_i^2P_{o2}(x_i^2) = a_1 + x_i^2cdot a_3,\ P_1(-x_i^2) = P_{e1}(-x_i^2)-x_i^2P_{o1}(x_i^2) = a_0 - x_i^2cdot a_2 & P_2(-x_i^2) = P_{e2}(-x_i^2)-x_i^2P_{o2}(x_i^2)=a_1 - x_i^2cdot a_3\ end{array}
令P1=Pe0(t)=a0+a2t,则Pe1(t)=a0,Po1(t)=a2P1(xi2)=Pe1(xi2)+xi2Po1(xi2)=a0+xi2⋅a2,P1(−xi2)=Pe1(−xi2)−xi2Po1(xi2)=a0−xi2⋅a2令P2=Po0(t)=a1+a3t,则Pe2(t)=a1,Pe2(t)=a3P2(xi2)=Pe2(xi2)+xi2Po2(xi2)=a1+xi2⋅a3,P2(−xi2)=Pe2(−xi2)−xi2Po2(xi2)=a1−xi2⋅a3
如此, 对P0(x)的快速傅里叶变换过程已经呼之欲出了, 然而这里却有一个严重的问题亟待解决……
4. 单位复根 - FFT的高明之处(二)
也许你已经注意到了其中的问题, 让我们回到上述第二步, 该如何取xi的值才能使得x02与x12互为相反数呢, 显然在实数域中这个问题是无法被解决的.
这就是FFT的第二个高明之处, 使用n次单位复根来解决问题.
让我们继续使用上面那个多项式P0(x), 我们需要4个数作为x代入多项式并求值, 从而得出P0(x)的点值表达式, 那么我们不妨使用4次单位复根(1, -1, i, -i)作为 xi :
求
P
0
(
x
i
)
的
值
,
其
中
P
0
(
x
)
=
a
0
+
a
1
x
+
a
2
x
2
+
a
3
x
3
,
x
i
=
[
1
,
−
1
,
i
,
−
i
]
P
0
(
1
)
=
P
e
0
(
1
)
+
1
⋅
P
o
0
(
1
)
,
P
0
(
−
1
)
=
P
e
0
(
1
)
−
1
⋅
P
o
0
(
1
)
P
0
(
i
)
=
P
e
0
(
−
1
)
+
i
⋅
P
o
0
(
−
1
)
,
P
0
(
−
1
)
=
P
e
0
(
−
1
)
−
i
⋅
P
o
0
(
−
1
)
求P_0(x_i)的值, 其中P_0(x) = a_0+a_1x+a_2x^2+a_3x^3 ,x_i = left[ 1,-1,i,-i right]\ P_0(1)=P_{e0}(1)+1 cdot P_{o0}(1), \P_0(-1)=P_{e0}(1)-1 cdot P_{o0}(1)\ P_0(i)=P_{e0}(-1)+i cdot P_{o0}(-1), \P_0(-1)=P_{e0}(-1)-i cdot P_{o0}(-1)\
求P0(xi)的值,其中P0(x)=a0+a1x+a2x2+a3x3,xi=[1,−1,i,−i]P0(1)=Pe0(1)+1⋅Po0(1),P0(−1)=Pe0(1)−1⋅Po0(1)P0(i)=Pe0(−1)+i⋅Po0(−1),P0(−1)=Pe0(−1)−i⋅Po0(−1)
P
e
0
(
1
)
=
P
1
(
1
)
=
P
e
1
(
1
)
+
1
⋅
P
o
1
(
1
)
=
a
0
+
1
⋅
a
2
,
P
e
0
(
−
1
)
=
P
1
(
−
1
)
=
P
e
1
(
−
1
)
−
1
⋅
P
o
1
(
1
)
=
a
0
−
1
⋅
a
2
P
o
0
(
1
)
=
P
1
(
1
)
=
P
e
2
(
1
)
+
1
⋅
P
o
2
(
1
)
=
a
1
+
1
⋅
a
3
,
P
o
0
(
−
1
)
=
P
1
(
−
1
)
=
P
e
2
(
−
1
)
−
1
⋅
P
o
2
(
1
)
=
a
1
−
1
⋅
a
3
P_{e0}(1) = P_1(1) = P_{e1}(1)+1cdot P_{o1}(1) = a_0 + 1cdot a_2, \ P_{e0}(-1) = P_1(-1) = P_{e1}(-1)-1cdot P_{o1}(1) = a_0 - 1cdot a_2\ P_{o0}(1) = P_1(1) = P_{e2}(1)+1cdot P_{o2}(1) = a_1 + 1cdot a_3, \ P_{o0}(-1) = P_1(-1) = P_{e2}(-1)-1cdot P_{o2}(1) = a_1 - 1cdot a_3
Pe0(1)=P1(1)=Pe1(1)+1⋅Po1(1)=a0+1⋅a2,Pe0(−1)=P1(−1)=Pe1(−1)−1⋅Po1(1)=a0−1⋅a2Po0(1)=P1(1)=Pe2(1)+1⋅Po2(1)=a1+1⋅a3,Po0(−1)=P1(−1)=Pe2(−1)−1⋅Po2(1)=a1−1⋅a3
再将值代入上式, 整个FFT过程便结束了.
当然单位复根的其他(我并不熟知)的性质(如可约引理, 等分引理, 求和引理等), 造就了其十分适合用于快速傅里叶变换中.
简单来说, 对于n次单位复根(其中n是2的正整数次幂), 他们之间两两正负配对(第k个根与第k + n/2个根)且平方后同样两两正负配对, 这令其十分适合用于递归当中.
当然, 这些性质在n是2的正整数次幂时才生效, 当n不是2的正整数次幂时, 可自行将多项式的次数补足, 此时该项系数为0即可.
当然由于我十分的菜, 具体的证明就此略过了, 各位可以看看我推荐的那个视频或者自行寻找资料进行证明(
5. Inverse Fast Fourier Transform - 从点值表示法回到系数表示法
这一步骤之简单你绝对无法想象, 观察上文的IDFT的实现:
[
a
0
a
1
⋮
a
n
−
1
]
=
[
1
x
0
x
0
2
…
x
0
n
−
1
1
x
1
x
1
2
…
x
1
n
−
1
…
…
…
⋮
…
1
x
n
−
1
x
n
−
1
2
…
x
n
−
1
n
−
1
]
−
1
[
f
(
x
1
)
f
(
x
2
)
⋮
f
(
x
−
1
)
]
left[ begin{array}{l} a_0\ a_1\ vdots \ a_{n-1} end{array} right] = left[ begin{array}{l} 1&x_0&x_0^2&dots&x_{0}^{n-1}\ 1&x_1&x_1^2&dots&x_{1}^{n-1}\ dots&dots&dots&vdots&dots\ 1&x_{n-1}&x_{n-1}^2&dots&x_{n-1}^{n-1} end{array} right]^{-1} left[ begin{array}{l} f(x_1)\ f(x_2)\ vdots \ f(x-1) end{array} right]
⎣⎢⎢⎢⎡a0a1⋮an−1⎦⎥⎥⎥⎤=⎣⎢⎢⎢⎡11…1x0x1…xn−1x02x12…xn−12……⋮…x0n−1x1n−1…xn−1n−1⎦⎥⎥⎥⎤−1⎣⎢⎢⎢⎡f(x1)f(x2)⋮f(x−1)⎦⎥⎥⎥⎤
让我们对第二个矩阵进行求逆:
[
1
x
0
x
0
2
…
x
0
n
−
1
1
x
1
x
1
2
…
x
1
n
−
1
…
…
…
⋮
…
1
x
n
−
1
x
n
−
1
2
…
x
n
−
1
n
−
1
]
−
1
=
[
1
1
1
…
1
1
ω
ω
2
…
ω
n
−
1
…
…
…
⋮
…
1
ω
n
−
1
ω
2
(
n
−
1
)
…
ω
(
n
−
1
)
(
n
−
1
)
]
−
1
=
1
n
[
1
1
1
…
1
1
ω
−
1
ω
−
2
…
ω
−
(
n
−
1
)
…
…
…
⋮
…
1
ω
−
(
n
−
1
)
ω
−
2
(
n
−
1
)
…
ω
−
(
n
−
1
)
(
n
−
1
)
]
left[ begin{array}{l} 1&x_0&x_0^2&dots&x_{0}^{n-1}\ 1&x_1&x_1^2&dots&x_{1}^{n-1}\ dots&dots&dots&vdots&dots\ 1&x_{n-1}&x_{n-1}^2&dots&x_{n-1}^{n-1} end{array} right]^{-1} = left[ begin{array}{l} 1&1 &1&dots&1\ 1&omega &omega ^2 &dots&omega ^{n-1}\ dots&dots&dots&vdots&dots\ 1&omega ^{n-1}&omega ^{2(n-1)}&dots&omega^{(n-1)(n-1)} end{array} right]^{-1}=frac{1}{n}left[ begin{array}{l} 1&1 &1&dots&1\ 1&omega^{-1} &omega ^{-2} &dots&omega ^{-(n-1)}\ dots&dots&dots&vdots&dots\ 1&omega ^{-(n-1)}&omega ^{-2(n-1)}&dots&omega^{-(n-1)(n-1)} end{array} right]
⎣⎢⎢⎢⎡11…1x0x1…xn−1x02x12…xn−12……⋮…x0n−1x1n−1…xn−1n−1⎦⎥⎥⎥⎤−1=⎣⎢⎢⎢⎡11…11ω…ωn−11ω2…ω2(n−1)……⋮…1ωn−1…ω(n−1)(n−1)⎦⎥⎥⎥⎤−1=n1⎣⎢⎢⎢⎡11…11ω−1…ω−(n−1)1ω−2…ω−2(n−1)……⋮…1ω−(n−1)…ω−(n−1)(n−1)⎦⎥⎥⎥⎤其中
x
k
=
ω
k
,
ω
=
e
2
π
i
n
x_k = omega_k, omega = e^{frac{2pi i}{n}}
xk=ωk,ω=en2πi
也就是说:
[
p
0
p
1
⋮
p
n
−
1
]
=
1
n
[
1
1
1
…
1
1
ω
ω
2
…
ω
n
−
1
…
…
…
⋮
…
1
ω
n
−
1
ω
2
(
n
−
1
)
…
ω
(
n
−
1
)
(
n
−
1
)
]
[
P
(
x
1
)
P
(
x
2
)
⋮
P
(
x
−
1
)
]
left[ begin{array}{l} p_0\ p_1\ vdots \ p_{n-1} end{array} right] = frac{1}{n}left[ begin{array}{l} 1&1 &1&dots&1\ 1&omega &omega ^2 &dots&omega ^{n-1}\ dots&dots&dots&vdots&dots\ 1&omega ^{n-1}&omega ^{2(n-1)}&dots&omega^{(n-1)(n-1)} end{array} right] left[ begin{array}{l} P(x_1)\ P(x_2)\ vdots \ P(x-1) end{array} right]
⎣⎢⎢⎢⎡p0p1⋮pn−1⎦⎥⎥⎥⎤=n1⎣⎢⎢⎢⎡11…11ω…ωn−11ω2…ω2(n−1)……⋮…1ωn−1…ω(n−1)(n−1)⎦⎥⎥⎥⎤⎣⎢⎢⎢⎡P(x1)P(x2)⋮P(x−1)⎦⎥⎥⎥⎤
不难发现, 要实现IFFT, 只需在FFT的基础上将ω取倒数, 并在最终结果乘以n分之一即可.
PS:我觉得自己写的FFT解释很烂, 在此建议您如果 (肯定) 有看不懂的部分结合刚才推荐的视频学习
四、FFT的递归实现
据此, 我们终于可以写出FFT的代码了, 我手写的递归实现如下:
#include
using namespace std;
typedef unsigned long long ull;
const double Pi = acos(-1.0); //将常数Pi的值设为arccos(-1)
vector<complex<double> > FFT(vector<complex<double> > &a, int flag) {
//第一个参数为一个多项式的系数, 以次数从小到大的顺序, 向量中每一项的实部为该项系数
//flag == 1->FFT, flag == -1->IFFT
int n = a.size();
if(n == 1) //如果当前多项式仅有常数项时直接返回多项式的值
return a;
vector<complex<double> > Pe, Po; //即原文中的Pe与Po的系数表示法
complex<double> omega(cos(2.0 * Pi / n), sin(flag * 2.0 * Pi / n)), cur(1, 0); //omega为第一个n次复根, cur为第零个n次复根即1
for (unsigned int i = 0; i < n; i++) {
if(i & 1)
Po.push_back(a[i]);
else
Pe.push_back(a[i]);
}
vector<complex<double> > ye = FFT(Pe, flag), yo = FFT(Po, flag), y(n); //递归求得ye=Pe(xi), yo=Po(xi)
for (int i = 0; i < n / 2; i++) {
y[i] = ye[i] + cur * yo[i]; //求出P(xi)
y[i + n / 2] = ye[i] - cur * yo[i]; //由单位复根的性质可知第k个根与第k + n/2个根互为相反数
cur *= omega; //cur * omega得到下一个复根
}
return y; //返回最终的系数
}
当然需要注意的是, 如果当前进行的是IFFT时, 需要将最终结果除以n, 其中n为不小于原多项式阶+1的最小2的整数次幂.
因此你需要在上述代码的基础上增加一个代码, 向原系数向量补0直到向量中元素的个数为二的整数幂为止.
五、大数乘法的实现(FFT版)
了解了FFT的实现方法, 大数乘法的实现可以说是再简单不过了(毕竟前面的鬼东西都看懂了), 这里便直接贴上源代码了,当然有一个非常需要注意的地方, 最终获取的多项式系数是有可能大于等于10的, 此时需要做进位处理!
#include
#define sync ios::sync_with_stdio(false)
using namespace std;
typedef unsigned long long ull;
const double Pi = acos(-1.0); //将常数Pi的值设为arccos(-1)
vector<complex<double> > FFT(vector<complex<double> > &a, int flag) {
//第一个参数为一个多项式的系数, 以次数从小到大的顺序, 向量中每一项的实部为该项系数
//flag == 1->FFT, flag == -1->IFFT
int n = a.size();
if(n == 1) //如果当前多项式仅有常数项时直接返回多项式的值
return a;
vector<complex<double> > Pe, Po; //即原文中的Pe与Po的系数表示法
complex<double> omega(cos(2.0 * Pi / n), sin(flag * 2.0 * Pi / n)), cur(1, 0); //omega为第一个n次复根, cur为第零个n次复根即1
for (unsigned int i = 0; i < n; i++) {
if(i & 1)
Po.push_back(a[i]);
else
Pe.push_back(a[i]);
}
vector<complex<double> > ye = FFT(Pe, flag), yo = FFT(Po, flag), y(n); //递归求得ye=Pe(xi), yo=Po(xi)
for (int i = 0; i < n / 2; i++) {
y[i] = ye[i] + cur * yo[i]; //求出P(xi)
y[i + n / 2] = ye[i] - cur * yo[i]; //由单位复根的性质可知第k个根与第k + n/2个根互为相反数
cur *= omega; //cur * omega得到下一个复根
}
return y; //返回最终的系数
}
vector<complex<double> > read() { //获取系数, 注意需要从右向左获取(从0次幂的系数开始)
string num;
cin >> num;
vector<complex<double> > result;
for (int i = num.size() - 1; i >= 0; i--) {
complex<double> tmp(num[i] - '0', 0);
result.push_back(tmp);
}
return result;
}
void solve(vector<complex<double> > &a, vector<complex<double> > &b) { //多项式系数表达式的修饰
complex<double> tmp(0, 0);
int sum = a.size() + b.size();
while (a.size() < sum)
a.push_back(tmp);
while (b.size() < sum)
b.push_back(tmp);
//如果两式的阶不同, 先补齐
int temp = 1;
while (temp < a.size())
temp <<= 1;
//获取不小于n的最小2的整数次幂
while (a.size() < temp) {
a.push_back(tmp);
b.push_back(tmp);
}
//补齐
}
int main() {
sync;
vector<complex<double> > num1 = read(), num2 = read(), tmp1, tmp2, mid, ans;
solve(num1, num2);
tmp1 = FFT(num1, 1), tmp2 = FFT(num2, 1);
num1.clear();
num2.clear();
for (int i = 0; i < tmp1.size(); i++)
mid.push_back(tmp1[i] * tmp2[i]);
tmp1.clear();
tmp2.clear();
ans = FFT(mid, -1);
bool Ans = false;
int add = 0;
string final;
//进位处理
for (int i = 0; i < ans.size(); i++) {
int op = round(round(ans[i].real()) / ans.size()) + add;
add = 0;
if(op >= 10)
add = op / 10;
final += op % 10 + '0';
}
if(add > 0)
final += add % 10 + '0';
for (int i = final.size() - 1; i >= 0; i--) {
if(final[i] != '0')
Ans = true;
else if(!Ans)
continue;
cout << final[i];
}
cout << 'n';
}
后话(废话)
- 历时一个寒假! 终于把这篇万字长文(x)写完了, 多谢某csome同学的鼓励~~(催更)~~ !
- 理解FFT足足花了2天时间, 好难……
- 如果博客有错漏, 敬请指出并不吝赐教, 感谢!
卷积的定义请参见维基对卷积的定义. ︎
多项式的次数最大的项的次数即为多项式的阶. ︎
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