题解-[ZJOI2005]沼泽鳄鱼

前置知识：

邻接矩阵

矩阵乘法

矩阵快速幂

[ZJOI2005]沼泽鳄鱼

给一个有 \(N\) 个点，\(M\) 条双向边的图 \(G\)，其中有 \(NFish\) 只鳄鱼以 \(T\) 个点 \(P_0\sim P_t\) 为周期运动。求从 \(Start\) 出发到 \(End\) 不停留走 \(K\) 步每步不碰到鳄鱼的方案数（节点下标从 \(0\) 开始编号）。

数据范围：\(1\le N\le 50\)，\(1\le K\le 2\times 10^9\)，\(1\le NFish\le 20\)，\(2\le T\le 4\)。

看到这个 \(K\) 的范围就知道要带个 \(\log\)，而在图上可以带 \(\log\) 的算法，唯有二分、倍增（树形图）和邻接矩阵快速幂（小图）。看到这题 \(N\) 很小，又无从二分，便知道可以邻接矩阵快速幂。

首先要知道什么是矩阵乘法。大小为 \(a\times b\) 的矩阵 \(A\) 和大小为 \(b\times c\) 的矩阵方可相乘，乘积矩阵 \(C\) 大小为 \(a\times c\)，满足 \(C_{i,j}=\sum\limits_{k=1}^bA_{i,k}\cdot B_{k,j}(1\le i\le a,1\le j\le c)\)。

矩阵乘法可以解决集合的定向求和变换操作。其中原矩阵乘以变换矩阵变成目标矩阵。

矩阵快速幂：原矩阵多次定向变换，可以通过多次乘以变换矩阵解决。矩阵乘法满足结合律，所以可以先求出变换矩阵的幂。矩阵也可以快速幂，时间复杂度 \(\Theta(n^3\log k)\)。

邻接矩阵：用于表示图边，在无权图中，如果矩阵 \(M\) 的元素 \(M_{i,j}=1\)，表示存在边 \((i,j)\)。

而邻接矩阵快速幂就是建立在邻接矩阵和矩阵快速幂上的。原矩阵表示起点状态，变换矩阵为邻接矩阵，每乘一次就表示不停留地走一步后的状态，乘 \(K\) 次就成了最终状态，取终点矩阵值则为答案。

状态：到每个节点的方案数。

Example

讲解时暂时初始下标为 \(1\) 吧，暂时不考虑鳄鱼。

例如 \(N=3\)，\(Start=1\)，\(End=3\)，有双向边 \({(1,3),(3,2)}\)，求走 \(K=3\) 步后到终点 \(End\) 的方案数。

原始状态：

\[A=
\begin{bmatrix}
1 & 0 & 0\\
\end{bmatrix}
\]

变换矩阵为邻接矩阵：

\[B=
\begin{bmatrix}
0 & 0 & 1\\
0 & 0 & 1\\
1 & 1 & 0\\
\end{bmatrix}
\]

目标状态：

\[\begin{split}
C=&A\times B^K\\
=&
\begin{bmatrix}
1 & 0 & 0\\
\end{bmatrix}
\times
\begin{bmatrix}
0 & 0 & 1\\
0 & 0 & 1\\
1 & 1 & 0\\
\end{bmatrix}
^3\\
=&
\begin{bmatrix}
1 & 0 & 0\\
\end{bmatrix}
\times
\begin{bmatrix}
0 & 0 & 2\\
0 & 0 & 2\\
2 & 2 & 0\\
\end{bmatrix}\\
=&
\begin{bmatrix}
0 & 0 & 2\\
\end{bmatrix}
\end{split}
\]

所以到终点 \(End=3\) 的方案数为 \(2\)。

但是鳄鱼怎么办呢？

可以发现 \(2\le T\le 4\)，所以所有鳄鱼运动的总周期是 \(12\)。可以计算 \(12\) 种变换邻接矩阵，表示到每个周期时可以走的边。然后顺次相乘，求乘积的 \(\lfloor\frac K{12}\rfloor\) 次幂（可以用矩阵快速幂）乘以前 \(\left(K\bmod 12\right)\) 种变换矩阵的乘积，就是总变换矩阵。用表示起点的原矩阵乘以总变换矩阵，即可得答案。

时间复杂度 \(\Theta(NFish+N^3\log K)\)（注意，\(NFish\) 为一个完整变量名）。

真的难讲，还是放代码吧。

Code

#include <bits/stdc++.h>
using namespace std;
//&Start
#define inf 0x3f3f3f3f
#define re register
#define il inline
#define hash unorded_map
typedef long long lng;
typedef unsigned long long ulng;
typedef vector<int> veci;
#define fo(i,st,xb,y) for(re int i=st;i xb;i y)
//&Data
#define N 50
#define mod 10000
int n,m,s,t,k,fish,p[25][12];
//&Matrix
struct Matrix{ //矩阵
	int arr[N+5][N+5];
	Matrix(re int op=0){
		memset(arr,0,sizeof arr);
		if(op==1) fo(i,1,<=N,++) arr[i][i]=1; //构造单位矩阵 E 满足 E*A=A*E=A
	}
	il int* operator[](re int x){return arr[x];}
	il friend Matrix operator*(re Matrix x,re Matrix y){
		re Matrix res;
		fo(k,1,<=N,++)fo(i,1,<=N,++)fo(j,1,<=N,++)
			(res[i][j]+=x[i][k]*y[k][j]%mod)%=mod;
		return res;
	}
	il void print(re char*s){
		puts(s);
		fo(i,1,<=n,++)fo(j,1,<=n,++)
			printf("%d%c",arr[i][j],"\n "[j<n]);
	}
}st,e,g[12],all,ans;
il Matrix Pow(re Matrix a,re int x){ //矩阵快速幂
	re Matrix res(1);
	for(;x;a=a*a,x>>=1)if(x&1) res=res*a;
	return res;
}
//&Main
int main(){
	scanf("%d%d%d%d%d",&n,&m,&s,&t,&k);
	s++,t++,st[1][s]=1; //原矩阵
	fo(i,1,<=m,++){
		re int u,v;scanf("%d%d",&u,&v);
		e[u+1][v+1]=e[v+1][u+1]=1; //邻接矩阵
	}
	scanf("%d",&fish);
	fo(i,1,<=fish,++){
		re int tmp; scanf("%d",&tmp);
		fo(j,0,<tmp,++) scanf("%d",p[i]+j),p[i][j]++;
		fo(j,tmp,<12,++) p[i][j]=p[i][j%tmp];
	}
	re int fb[N+5];
	fo(i,0,<12,++){
		fill(fb+1,fb+n+1,0);
		fo(j,1,<=fish,++) fb[p[j][i]]=1;
		fo(j,1,<=n,++)fo(k,1,<=n,++)
			if(!fb[k]) g[i][j][k]=e[j][k]; //12种变换矩阵
	}
	all=Matrix(1);
	fo(i,1,<12,++) all=all*g[i];
	all=all*g[0]; //12个矩阵顺次相乘（1,2,...,11,0）
	ans=st*Pow(all,k/12); //原矩阵乘以变换矩阵
	fo(i,1,<=k%12,++) ans=ans*g[i]; //乘以剩余 K%12 个矩阵
	printf("%d\n",ans[1][t]); //答案
	return 0;
}

祝大家学习愉快！