题解-CF1418G Three Occurrences

题面

CF1418G Three Occurrences

给一个 \(n\) 个数的序列 \(a_i\)，求每个出现过的数出现次数为 \(3\) 的子序列个数。

数据范围：\(1\le n\le 5\cdot 10^5\)，\(1\le a_i\le n\)。

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蒟蒻语

做了半个上午做出了最离谱的做法：表格打叉叉。

用线段树求矩阵面积并实现，时间复杂度 \(\Theta(n\log n)\)，总用时 \(1.40 min\)。

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蒟蒻解

想象有一个 \(n\times n\) 的表格，行表示右端点，列表示左端点。

如果表格上的数为 \(1\) 表示这个区间没被叉掉，对答案有贡献，否则这个区间不符合题目要求。

可以发现每次叉的都是一个矩阵，线段树扫描线求矩阵面积并即可。

考虑数据：

8
1 1 2 1 2 1 2 1

answer=2

现在的表表是：

\(1\)	\(1\)	\(1\)	\(1\)	\(1\)	\(1\)	\(1\)	\(1\)
\(1\)	\(1\)	\(1\)	\(1\)	\(1\)	\(1\)	\(1\)	\(1\)
\(1\)	\(1\)	\(1\)	\(1\)	\(1\)	\(1\)	\(1\)	\(1\)
\(1\)	\(1\)	\(1\)	\(1\)	\(1\)	\(1\)	\(1\)	\(1\)
\(1\)	\(1\)	\(1\)	\(1\)	\(1\)	\(1\)	\(1\)	\(1\)
\(1\)	\(1\)	\(1\)	\(1\)	\(1\)	\(1\)	\(1\)	\(1\)
\(1\)	\(1\)	\(1\)	\(1\)	\(1\)	\(1\)	\(1\)	\(1\)
\(1\)	\(1\)	\(1\)	\(1\)	\(1\)	\(1\)	\(1\)	\(1\)

\((1)\) 把左端点大于右端点的给叉了：

\(1\)	\(0\)	\(0\)	\(0\)	\(0\)	\(0\)	\(0\)	\(0\)
\(1\)	\(1\)	\(0\)	\(0\)	\(0\)	\(0\)	\(0\)	\(0\)
\(1\)	\(1\)	\(1\)	\(0\)	\(0\)	\(0\)	\(0\)	\(0\)
\(1\)	\(1\)	\(1\)	\(1\)	\(0\)	\(0\)	\(0\)	\(0\)
\(1\)	\(1\)	\(1\)	\(1\)	\(1\)	\(0\)	\(0\)	\(0\)
\(1\)	\(1\)	\(1\)	\(1\)	\(1\)	\(1\)	\(0\)	\(0\)
\(1\)	\(1\)	\(1\)	\(1\)	\(1\)	\(1\)	\(1\)	\(0\)
\(1\)	\(1\)	\(1\)	\(1\)	\(1\)	\(1\)	\(1\)	\(1\)

\((2)\) 把超过 \(3\) 个相同的数的区间叉了：

\(1\)	\(0\)	\(0\)	\(0\)	\(0\)	\(0\)	\(0\)	\(0\)
\(1\)	\(1\)	\(0\)	\(0\)	\(0\)	\(0\)	\(0\)	\(0\)
\(1\)	\(1\)	\(1\)	\(0\)	\(0\)	\(0\)	\(0\)	\(0\)
\(1\)	\(1\)	\(1\)	\(1\)	\(0\)	\(0\)	\(0\)	\(0\)
\(1\)	\(1\)	\(1\)	\(1\)	\(1\)	\(0\)	\(0\)	\(0\)
\(0\)	\(1\)	\(1\)	\(1\)	\(1\)	\(1\)	\(0\)	\(0\)
\(0\)	\(1\)	\(1\)	\(1\)	\(1\)	\(1\)	\(1\)	\(0\)
\(0\)	\(0\)	\(1\)	\(1\)	\(1\)	\(1\)	\(1\)	\(1\)

\((3)\) 把少于 \(3\) 个相同的数的区间叉了：

\(0\)	\(0\)	\(0\)	\(0\)	\(0\)	\(0\)	\(0\)	\(0\)
\(0\)	\(0\)	\(0\)	\(0\)	\(0\)	\(0\)	\(0\)	\(0\)
\(0\)	\(0\)	\(0\)	\(0\)	\(0\)	\(0\)	\(0\)	\(0\)
\(0\)	\(0\)	\(0\)	\(0\)	\(0\)	\(0\)	\(0\)	\(0\)
\(0\)	\(0\)	\(0\)	\(0\)	\(0\)	\(0\)	\(0\)	\(0\)
\(0\)	\(0\)	\(0\)	\(0\)	\(0\)	\(0\)	\(0\)	\(0\)
\(0\)	\(1\)	\(0\)	\(0\)	\(0\)	\(0\)	\(0\)	\(0\)
\(0\)	\(0\)	\(1\)	\(0\)	\(0\)	\(0\)	\(0\)	\(0\)

然后剩下的 \(2\) 就是答案了。

手玩一下就可以发现叉的规律了，非常简单易懂，蒟蒻就不负责任地放代码里了。

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代码

#include <bits/stdc++.h>
using namespace std;

//Start
typedef long long ll;
typedef double db;
#define mp(a,b) make_pair((a),(b))
#define x first
#define y second
#define be(a) (a).begin()
#define en(a) (a).end()
#define sz(a) int((a).size())
#define pb(a) push_back(a)
#define R(i,a,b) for(int i=(a),I=(b);i<I;i++)
#define L(i,a,b) for(int i=(b)-1,I=(a)-1;i>I;i--)
const int iinf=0x3f3f3f3f;
const ll linf=0x3f3f3f3f3f3f3f3f;

//Data
const int N=5e5;
int n,a[N],d[N]; ll ans;
vector<int> id[N];
struct line{
    int l,r,t; line(){}
    line(int l,int r,int t):l(l),r(r),t(t){}
};
vector<line> p[N+1];
void addmat(int xl,int xr,int yl,int yr){
    // cout<<"(["<<xl<<","<<xr<<"),["<<yl<<","<<yr<<"))\n";
    p[xl].pb(line(yl,yr,1)),p[xr].pb(line(yl,yr,-1));
}

//SegmentTree
const int tN=N<<2;
#define mid ((l+r)>>1)
int mn[tN],mc[tN],mk[tN];
void pushup(int k){
    if(mn[k*2+1]<mn[k*2+2]) mn[k]=mn[k*2+1],mc[k]=mc[k*2+1];
    else if(mn[k*2+1]>mn[k*2+2]) mn[k]=mn[k*2+2],mc[k]=mc[k*2+2];
    else mn[k]=mn[k*2+1],mc[k]=mc[k*2+1]+mc[k*2+2];
}
void pushadd(int k,int v){mn[k]+=v,mk[k]+=v;}
void pushdown(int k){pushadd(k*2+1,mk[k]),pushadd(k*2+2,mk[k]),mk[k]=0;}
void build(int k=0,int l=0,int r=n){
    if(r-l==1) return mn[k]=0,mc[k]=1,void();
    build(k*2+1,l,mid),build(k*2+2,mid,r),pushup(k);
}
void add(int x,int y,int v,int k=0,int l=0,int r=n){
    if(r<=x||y<=l) return; if(x<=l&&r<=y) return pushadd(k,v);
    pushdown(k),add(x,y,v,k*2+1,l,mid),add(x,y,v,k*2+2,mid,r),pushup(k);
}

//Main
int main(){
    ios::sync_with_stdio(0);
    cin.tie(0),cout.tie(0);
    cin>>n;
    R(i,0,n) id[i].pb(-1),id[i].pb(-1),id[i].pb(-1);
    R(i,0,n) cin>>a[i],--a[i],d[i]=sz(id[a[i]]),id[a[i]].pb(i);
    R(i,0,n) id[i].pb(n),id[i].pb(n),id[i].pb(n);
    // cout<<"ok 60\n";
    R(i,0,n){
        addmat(i,i+1,i+1,n); // 把左端点大于右端点的给叉了
        addmat(i,n,0,id[a[i]][d[i]-3]+1); //把超过 3 个相同的数的区间叉了
        addmat(i,id[a[i]][d[i]+2],id[a[i]][d[i]-1]+1,i+1); //把少于 3 个相同的数的区间叉了
    }
    // cout<<"ok 66\n";
    build();
    R(i,0,n){ //求个矩阵面积并
        for(line u:p[i])if(u.r>u.l) add(u.l,u.r,u.t);
        ans+=mc[0]*(mn[0]==0);
    }
    cout<<ans<<'\n';
    return 0;
}

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祝大家学习愉快！