ACM里的期望和概率问题 从入门到精通

起因：在2020年一场HDU多校赛上。有这么一题没做出来。

题目链接：http://acm.hdu.edu.cn/showproblem.php?pid=6829

题目大意：有三个人，他们分别有X，Y，Z块钱（1<=X,Y,Z<=1e6)，钱数最多的（如果不止一个那么随机等概率的选一个）随机等可能的选另一个人送他一块钱。直到三个人钱数相同为止。输出送钱轮数的期望，如果根本停不下来（希望のはな繋いだ绊が~），输出-1。

做题过程：很显然我们可以得到一个DP想法dp[i][j]表示钱第二多的和第三多的比第一个人少多少钱。从而dp[i][j]+1=(dp[i-2][j-1]+dp[i-1][j-2])/2,但是很显然，这个状态数是1e12级别的。所以很容易想到结合组合数学，然后我有一个朋友，头脑发热（物理上发烧，心理上膨胀）的乱冲，瞎几把化简。没整出来。我的这位朋友事后登录我的账号写了这个博客。

总而言之，我的这位朋友（下称我）去重新整理了一下，期望和概率。

首先，是论文学习：

《信息学竞赛中概率问题求解初探》

《浅析竞赛中一类数学期望问题的解决方法》

《有关概率和期望问题的研究 》

（NOI集训队论文github也可以找到）

看完以后，总结下：第一篇，如果学过概率统计的大学生，可以简单过一下就行了。第二篇和第三篇有些许相似，选一个认真跟着思路读加做题，另外一个就比较容易的过掉了。第二篇比较适合入门，第三个多了一个期望概率系统(一种通常用迭代法情况下的高斯消元方法）

读完以后，对期望概率专题也就有了一个大概的映像了。我简单做了下个人的阅读总结。需要的知识有如下，1，2能让你写出方程，3，4，5能让你得到解法，6，7让你不至于无法实现。

1：组合数学能力（基本的公式运算和变换）

2：概率论知识（全概率，贝叶斯，各种基本概型）

3：DP能力（期望DP，图上树上DP，DP优化。

4：高斯消元解方程

5：迭代法&递推

6：基本数据结构能力（算贡献）

7：基本数论能力（快速幂，卢卡斯等）

题目可以简单分成三类，第一类，DP型和类DP型（迭代法&递推，DP），第二类，数学型（算贡献，解方程，组合数学，直接算公式），第三类，复合型，用数学优化DP的复杂度等。

总的来说，这类题目还是非常DP的，经常是给一个模型，然后你会得到一个变换规则。这个规则有时候会很数学，让你看着就知道这肯定不是DP，比如2017年西安区域赛这题 F God of Gamblers。通过分析规则，我们发现不论如何胜率都是对半，每次的期望得到金币都是0。从而等效于每次只赌1块，得到概率为n/（n+m)。当然这题是签到题，本质上看你敢不敢写（甚至是猜）。大多数情况，你会通过描述状态将变换规则转化成一个方程（不等于DP方程），有时候，这个方程不可避免的有后效性，那么我们可以用迭代法或者当成方程组用高斯消元解（注意精度）。如果可以转化为无后效性的方程，那显然我们已经得到了一个DP的做法，当然，很多时候，你会发现，这个做法铁TLE。这几场HDU多校赛就有几题如此，比如开头那个，也比如这个http://acm.hdu.edu.cn/showproblem.php?pid=6825。开头那个题目，是用先用DP算出一些必要的状态，然后用组合数学描述一部分的状态转移，从而降低时间复杂度。这个题目则是完完全全的组合数学题，和你很容易的就能描述的那个方程没什么太大关系（不过队里有人通过那个得到了一些小数据范围内的数据猜出了公式。。。）

以下是26道题目 后续等待更新。

A：light oj 1010 难度：入门

题目大意：有1—N，N个格子。每个格子有一些金币，路过就能拿到金币。从1开始投骰子前进，如果当前格子前进到的点超过N，就重投。问从1走到N得到的金币总数的期望。

题目分析：经典的丢骰子走格子，用概率DP求期望，倒推求期望。

B：HDU 4870 难度：普通（推荐）

题目大意：

有个人有两个0分账号，他可以打比赛，他每次用分低的那个账号打比赛，有p的概率名列前茅，加50分（上限1000分），否则掉100分（下限0分）。问有一个账号到1000分的概率。

题目分析：

这道题目有很多思路，非常适合给初学者做，这里提供3种。

首先，和之前说的一样，我们可以先描述状态。因为分数是50的倍数，所以把分数都除以50，名列前茅加1分，不然扣两分。用dp[n][m]描述两个账号分数分别为n，m（n>=m)。很容易得到一个状态转移方程dp[n][m]=1+p*dp[n][m+1](当n==m时，应为dp[m+1][n])+(1-p)*dp[n][m-1](若m==0,应为dp[n][0])，我们发现这个方程这个样子非常难看，因为dp[n][m]由dp[n][m+1]和dp[n][m-1]推得。

那么我们要：A 不DP了吧  B   我就是要DP

A：总共只有400个状态，把他们都当成变量高斯消元就行了。高斯消元是O（n^3）时间复杂度，没问题

B：我们把方程修改一下，dp[n][m-1]放到等式的左边。这下就可做了，时间复杂度是O（n^2）。

C：状态真的是400吗？我们可以发现：所有的状态不是都是有用的，为什么呢？升到1000分也就是20的过程一定是（0，0）（1，0）（1，1）（2，1）（2，2）（3，2）（3，3）.。。。（19，19）那每一次增加的期望为一个账号0——>1的期望，0——>1的期望，1——>2的期望，1——>2的期望，.。。。18——>19的期望，18——>19的期望，19——>20的期望。则期望总和是一个账号0——>19的期望加上一个账号0——>20的期望。时间复杂度是O（n）。

C：ZOJ 3415 难度：入门

题目大意：每次由1/m的概率回一滴血，否则扣一滴血，共n滴血，问期望上几轮会死。

题目分析：列出状态转移方程，我们发现是等比数列求和问题，不过当m等于2的时候公比是1，要分开来考虑。另外，需要写一个快速幂。

D：Light OJ 1408 难度 偏难（推荐，经典模型）

题目大意：

求投丢的概率为p;那么如果一直投到连续中k1个,或者连续丢k2个,所需要的球的期望;给出p,k1,k2;

题目分析：

千万不要纠结于已经投了多少次之类云云，写了一个到无限的求和，或者什么第几次出局的方程。想想你就知道，这很难做。我们可以用A[i]表示已经投丢了i个，还要丢多少球出局的期望。B[i]表示已经连续投中了i个，还需要投中几个出局的期望。初始状态当然是A[k1]=B[k2]=0。我们写出来以后会发现，这并不好DP。那高斯消元呢？会TLE，不过好在我们发现这个式子可以用数学直接化简。从而解决了这道题目。总结一下，这道题目难点是状态的描述，不能纠结于一些无价值的参量，比如次数，一个好的状态描述等于成功的一半，这非常的DP了。

E Light OJ 1342 难度 偏难

题目大意：

现在有n个物品，他们编号是1-n，每个物品都有一个自己的重量Wi。物品分两类，第一类物品，拿了以后不会放回去。第二类，拿了还会放回去， 每一次随机等概率拿。问使得所有物品都被拿过时拿过的物品的总重量的期望。

题目分析：

老样子，先描述好状态很轻松得到一个方程。这道题目有价值的参量显然是，还剩下的物品总数，第一类物品数量，第二类物品数量，不过它们有一个和的关系，两个就够了。我们这里选择用dp[n][m]表示当前剩下n个一类物品，m个二类物品的期望。那下一次无非是拿一类或二类，问题是重量怎么处理呢？我们很容易发现，对于第二类物品，拿了就会拿出去，又是等概率拿，所以每次拿出的二类物品的期望重量时确定的，即二类物品重量平均值。而一类物品呢？拿了就放不回去，最后每个都拿了且只拿了一次，所以结果加上一类物品的总和就行了。初状态是dp[0][j]和dp[0][i]，分别用一个一维的DP预处理一下，再总体DP一下。复杂度是O（n^2）

不过如果你读过我上面提到的三个大佬的论文，并且看过论文题目，你一定知道，一个n面骰子（假设严格随机等概率投），使得所有面都朝上过的次数的期望是1/1+1/2+1/3+1/4...+1/n，也就是调和级数。我们不难发现二类物品就是这个模型，而一类物品对结果的影响就是加上一类物品总重，所以我们可以很轻松的用O（n）的复杂度解决这个问题。

F HDU 6052 难度 难

题目大意：

有一个n*m的矩阵（1<=n,m<=100)，问随机选一个子矩阵，内部不同数字个数的期望。

题目分析：

经典算贡献，官方题解比较反人类（容斥分块单调栈）。不过这道题目只用单调栈就能做。首先转化题目，很容易想到算每种颜色的贡献，随之产生的问题是如何避免重复，很容易想到容斥（不过一看就会tle）。不过，只要每个子矩阵我们一个颜色的不同点只会统计一次就行了，给点规定顺序，是经典的解决方法。我们假设按从上到下，从左到右排序。使得每个矩阵的某种颜色的不同点，只统计按这个顺序最先的那个。遍历每个点，统计多少子矩阵包含它且同一种颜色的点它顺序最先。我们不难发现，子矩阵下界可以无限延申，而左右结都随上界变化而变化，具体来说是随上界向上而变小。我们可以用两个单调栈来维护它（双指针）

G Codeforce 148D 难度 普通

题目大意：

公主和恶龙从一个袋子里轮流抓老鼠，公主先抓，恶龙抓了以后，袋子里的老鼠会被随机吓跑一个。共W个白老鼠，B个黑老鼠，谁先抓到白老鼠的话就赢了。问公主赢的概率。

题目分析：

摆明车马，很容易描述状态dp[n][m]为还剩n个白老鼠，m个黑老鼠时公主的胜率，这里把公主抓 恶龙抓视为一轮操作。概率DP莽过去就完了，老样子需要特殊处理一下边界。

H HDU 4579 难度 偏难

题目大意：

有1-N个格子，你一开始在1号格子，给了你关于在第i个去第j格的概率。问走到n的期望步数。

题目分析：

很容易写出状态转移方程 我们发现这个方程里有11个状态n-5，n-4....n+5，如果我们把n-5放到左边，那方程可以无后效性，也不是不能DP。但是，很明显比较麻烦（我比较懒）。那能不能高斯消元呢？这次有50000个方程，50000个变量。emmm 似乎会tle的样子，不过别急，这道题有个很特殊的地方。就是这是个连续的11个状态，并且每个变量只会出现最多5次，我们可以每次只存5个方程，解出一个变量的值，再加一个方程，再解出下一个变量的值。魔改的高斯消元复杂度只需要16*5*50000。

I HDU 3366 难度 普通，

题目大意：

有n条路，m块钱。每条路，有pi概率到终点，qi概率交1块钱不然死，1-pi-qi概率不通。问出逃成功概率。（1<=n<=1000,1<=m<=100)

题目分析：

dp[n][m]表示在第1-i条路中选过并且还剩m块钱的出逃成功概率。做起来有点像背包，毕竟概率DP本质上只是DP的内容换成了概率而已。

J UVA 11722 难度 入门

题目大意：

a从[t1,t2]中随机选取，b从[s1,s2]中随机选取，问|a-b|<=w的概率

题目分析：

高中送分概率题（至少我肯定江苏是的），几何概型，画个图就出来了。

K CSU 1912 难度 普通

题目大意：

有n块钱，分给包括你在内的m个人，要求你的钱数是唯一的最多的那个且每个人都有钱，问分法（1<=m<n<=3e5)

题目分析：

枚举你的钱数，以及多少人和你一样多。再结合插板法，由于大数运算，结合卢卡斯。综合一点的组合数学题目。

L UVA 6672 难度 入门

题目大意：

有n个位置，竞选n轮。两种竞选方式，一种是icpc，一种是acm。icpc成功率是acm两倍。竞选n轮，每次决出一个位置，现在你要竞选，分别求出按icpc方式竞选的概率和按acm方式竞选的概率。

题目分析：

用两个数组分别表示有i轮j个人该方式成功。

M HDU 5985 难度 难

题目大意：

有几种硬币，告诉你每种硬币的数量和抛起朝上的概率p（0.4<=p<=0.6)。每次抛起所有硬币，去掉背面朝上的（硬币不会立起来）。如果只剩一种硬币或者没有硬币结束，只剩一种的话叫这种幸运硬币，问每种成为幸运硬币的概率。（n总和小于1e6，种类最多10种）精度1e-6

题目分析：

这道题目很独特，思路比较特殊，一般来说，这种描述状态是和轮数无关的，因为把轮数写进去通常会复杂，惯性思维下我一开始写dp[i][j]为i种当前这种和j个其它，然后我发现，这个转移非常难写，即便优化也没法不tle。然后一个条件吸引了我—— 0.4<=p<=0.6。这个条件很奇怪，不可能只是为了符合现实吧，应该有意义。迷茫了一会儿后发现，进行了很多轮后的胜利对结果的影响应该是忽略不计的。于是把轮数写了进去，描述某一种硬币前j轮死光的概率，从而得到每一种硬币在一定轮数前的胜率。为了达到精度，莽了一个50，后来发现wa了，后来发现要100。

N HDU 5955 难度 难

题目大意：

有n个人投骰子，每个人猜一个长度为l的获胜序列，出现就赢了。问每个人的获胜概率。（1<=n,l<=10)

题目分析：

AC自动机加概率DP，相信是一个不假思索地思路。不过冷静想一想，会tle。听说矩阵优化可卡，不过不想尝试，毕竟我代码不够优美，经常大常数（抱头痛哭）。不过状态数最多只有100，可以高斯消元。

O HDU 5956 难度 偏难

题目大意：

有一棵树，共N个节点，每个节点都有一个信息要送给根节点1。运送中每到一个结点，可以选择换一个信使，需要花P的等待时间 。对于一个信使，跑距离L需要L*L的时间。每个节点都用最优方法送出消息，问用时最多的那个要多少时间。(N ≤ 100000) and P (P ≤ 1000000).

题目分析：

很显然的树上DP嘛，然后写了方程，发现时间复杂度O（n^2），会tle。我们考虑两个思路。一：方程能后优化。二：方案能否合并，也就是重新定义状态，使得转移子树里的最大值。发现二不好操作，无法避免无后效性。而一可以斜率优化，从而得到正解。

P Gym 100608G 难度 普通

题目大意：

两人轮流摇一个[0,b−1]的骰子,各投d次得到一d位b进制数，最后数字大的赢。一：轮流投,二：第一个人投d次之后,第二个人投。两人都采用最佳策略，问两种情况下第一个人的胜率。0<d,b<=10,(b+1)^d<=3000

题目分析：

首先是如何描述状态，很容易想到用dp[i][j][k]表示第一个数是i，第二个数是j的情况下，当前是第k个人填数的情况下。第一个人的胜率，然后模拟填写过程。不过我们知道dp[i][j]的转移方程是求max或者min得到的，不可倒推。因此只能用dfs来写。紧接着的问题是，我们没法用当前值标记某个位填了0。因此我们做一个变换，改填0-b-1为1-b。考虑到比较值的大小是从高位到低位比较大小。这个变换是等价的。从而使得i，j能表示某个位有没有填数，从而使得第三维k可以消掉。（b+1)^d<=3000，时间复杂度也是合法的

Q HDU 5819 难度 普通

题目大意：

数轴上一段0-n+1上有n个棋子分别在1，2，3.。。n上。每个棋子要么往左，要么往右，单位时间走单位距离，到头尽头会回头。两个棋子相遇后会战斗，1/2的概率胜利，胜利的那个接着走，失败的就消失。问第n个棋子活到最后的概率。

题目分析：

一开始看成了每个棋子的胜率，首先发现了同向的棋子之间比较好处理，然后发现了步数有限，而且决斗顺序有一定规律，一个棋子往右，那它左边的情况比较好处理，右边就开始抓瞎了，然后再读了一遍题目，哦。读错题目了，嘿嘿嘿。

只要知道第n个棋子左边多少棋子自左往右就行了。dp[i][j]表示前i个棋子j个往右的概率。如果这个棋子往右，那前i-1个棋子在这个棋子被n干掉前没有机会干掉n。如果这个棋子往左去找n干架了，那它一定干翻了1-i-1。后者是对dp[i-1][j]/(2^j)求和。很容易想到优化。

时间复杂度O（n^2）

R  HDU 4089 难度 偏难

题目大意：

n个人在排队，每次，队首都会有如下4种情况：p1概率无事发生，p2概率跑到队列最后，p3概率离开队列，p4概率停止一切操作。问停止一切操作后，原来的第m号人在队列中顺序小于等于k的概率。

(1 <= M <= N <= 2000) p1+p2+p3+p4=1

题目分析：

很容易描述状态dp[i][j]为共j个人，原来的第m号人在队列第i个（i<=j),通过描述变换规则可以得到一个状态转移方程。问题是如何处理它，篇幅有限，描述下重点，我们让j从1-n循环，j-1的值我们都已经得到，可以视为常数。

剩下的问题大概是这样的X1=Xn*p+C1 X2=X1*p+C2,....Xn=Xn-1*p+Cn。解决方法是迭代，将第n-1个方程代入第n个方程。再把第n-2个方程代入。。。。于是我们消去了X1。。。Xi-1，得到

Xn= ∏((p2/（1-p1))^(j-i))*Ci / (1 - (p2/(1-p1))^j)。得到了一个变量的值，就很容易得到所有的值了。

有一个坑点。很多题解说是p4过小会崩溃，其实这话不完全对，起码没说清楚。本质上的问题是p1+p2接近1以及p1以及p2接近1的话会除0。而判断p4小于eps输出0包括了以上情况，而除了这个本质的问题外，其它p4小于eps的情况，只会导致结果是0，是不会RE的。

S UVA 12230 难度 入门

题目大意：

你在数轴上的0，要到数轴上的D，中间有n条河。每条河宽度为L，左岸坐标为Disti（不一样，河流也不重合），上面有一条船，船头随机等概率向正半轴和负半轴，随即等概率在河中间，船到头就会掉头到另外一边，速度为V（带不带人都一样），你只能坐船过河。你走路速度为1，问你到达目的地的期望时间。

题目分析：

船头向正半轴，那要过河需要行驶距离在[2L，3L]里均匀分布，向负半轴，在[L，2L]里均匀分布，所以平均为2L。一个循环搞定。

T UVA 1639

题目大意：

鲁迅（鲁迅确实喜欢吃糖）有两个糖罐子A，B,都有n个糖果（1<=n<=2e5）。每天有p的概率从A拿一个糖吃，1-p概率从B拿一个糖吃。有一天，他打开一个罐子发现它空了，问另一个罐子里糖果数量的期望。

题目分析：

枚举一下另一个罐子的糖果数量，经典二项分布。遗憾的是这个题目的精度已经杀疯了，需要用long double加log。。。精度杀我！

U UVA 10900 难度 入门

题目大意：你答题，依次面对第1，2.。。n个问题。初始奖金1元。第i个题目你可以选择

1：不回答，拿着已经拿到的奖金走

2：回答，若正确奖金变成2^i元，错误则失去所有奖金离开。

问你最优策略下，期望奖金。

题目分析：

道理很明白，设答对第i题概率为p，dp[i]=max(2^（i-1），p*dp[i+1]，dp[n+1]=2^n；倒推。下面就是数学问题了。

V Lightoj 1151 难度 普通

题目大意：给你100个方格，编号为1到100，每次你丢一次骰子，决定你下次往前走多少步，有些方格会有一些梯子或者蛇，使得你到该格子时直接转向另一个格子，若你当前的位置+骰子的点数>100，则在原地重新丢一次，问你到编号为100的格子所投骰子次数的期望是多少？

题目分析：有一道类似的题目忘了那里的了，梯子有序，所以可以dp做，和A差不多，只要特殊处理一下梯子就行了。这里不行，梯子无序，那就高斯消元。老策略了。

W Lightoj 1274 难度 普通

题目大意：

你是OI骗分小能手，现在测试数据n组，其中有m组YES（m是算出来的），n-m组NO。你打算这样骗分，先输出YES，然后下面每次都输出上一组的正确答案（骗分导论下一版稿费一定有你的份）。现在问你你不能通过的数据组数的期望。（1<=n<=5000）

题目分析：

很容易想到描述状态为dp[i][j][k]为从前往后填，填了i个yes，j个no，k描述前一个是yes还是no，然后用滚动数组优化。AC以后看了看题解，有直接公式算的。就思考了一下，贡献包含yes在1到n-1的位置并且后面是no，以及在2-n的位置前面是no。还有一个额外的no在开头的贡献。设有a组yes，b组no。所以是（a+b-1）/（a+b）*b/（a+b-1）*2*a+1/（a+b）*b。从而可以公式求解、

X light oj 1265 难度 普通

题目大意：

现在有t只老虎，d只鹿还有你，每天会随机选两个动物相遇。两个老虎相遇，两只老虎都会死，老虎遇到鹿或者你，你或鹿被吃，两只鹿相遇无事发生，你碰到鹿，可以选择杀或者不杀鹿。老虎死光了你就安全了，问你安全的最大概率。

题目分析：

很容易想到用dp[i][j]表示还剩t个老虎和d个鹿。你的生存概率。网上有题解说鹿没有影响，这个确实没有想到，主要是看到数据范围习惯性n^2dp不假思索草过去了。

Y light oj 1284 难度 普通

题目大意：

有一个x*y*z的立方体，内有若干整点，每次随机选一个子立方体。问被选到奇数次的点的个数的期望。

题目分析：每个点每次都是单独的，能算出每个点被选中的概率，也就是x，y，z都被选中在区间里。

Z light oj 1287 难度 普通

题目大意：

有n个城市（n<=15)，一个人一开始在一个城市，他等可能的选择去往一个其它与之有路径直接相连的城市或者停留5分钟，问遍历完的期望。

题目分析：

经典的随机游走问题，这里由于城市数量，很容易想到状态压缩DP，用已经遍历过的城市和当前所在点记录状态。随机游走问题也有一篇集训队论文，可以学习。

最后总结一下一些稍显特殊的处理方法

1：算贡献（其实已经是基本操作了，但是描述状态的时候有时候会忽略这个思路，描述的状态不一定是结果，也可以是贡献）

2：魔改高斯消元，方程组形式特殊的情况下，可以魔改高斯消元

3：对于如R hdu4089的情况，迭代求公式先求出一个值。

4：大多数情况下，我们不会考虑次数描述状态，但是当精度和概率范围比较确定的时候，一定次数后的结果将可以忽略不计

5：精度！精度！精度！long double+log可以更加精确。对于除0的判断结合精度（其实可以基本操作）